CHAPITRE 04 : STATIQUE GRAPHIQUE - wifeocom
Détermination de Ay et de By par la méthode graphique du dynamique et du funiculaire Le plan Le dynamique Considérons trois forces du plan appliquées sur une structure : Tracé du funiculaire relatif au pôle P et d’origine M quelconque Choix d’une échelle des forces et tracé du polygone des forces à partir d’un pôle P
Cours n°12 Structures en câbles - Free
Ecole Spéciale d’Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 – Structures à câbles Page 6 / 22 Le contour polygonal a0an est appelé funiculaire 2associé au dynamique Ai et au pôle P
FUNICULAIRES DAPRÈS LA METHODE DE M COLLIGNON 15
sième et soit wi3 le point où il coupe aussi la verticale d'ori gine; proposons-nous de calculer la distance m2m3 Soit x, l'abscisse du point B Le triangle mjlm3 du funiculaire est semblable au triangle polaire /"/O/V du dynamique, et l'on déduit de la similitude l'équation : METHODE DE M COLLIGNON 15 des côtés
FONCTION CONVERTIR L’ÉNERGIE Aspect physique Cours
Les côtés extrêmes (0’ et 3’) du funiculaire sont confondus avec la ligne de fermeture (IJ) Par correspondance, les rayons polaires (0 et 3) sont confondus avec P c Remarque 2 : sur le dynamique, les actions situées entre deux rayons polaires (0 et 1),
TP 2 : STATIQUE GRAPHIQUE - Technologue pro, cours
c-1 - Utilité du traçage du polygone et du funiculaire : Recherche graphique de la résultante R& des efforts appliqués sur le solide et son point d’application Recherche graphique des deux réactions aux appuis R & 1 et R 2 & c-2- Traçage du polygone des forces : Tracer les forces à l’échelle
STATIQUE - FranceServ
•Sur le dynamique tracer les forces F1 (ab), F2 (bc) et F3 (cd); on en déduit la direction et l’intensité de la résultante R •Choisir un point P appelé pole, dont la position n’a guère d’importance, tracer les rayons poliares, Pa, Pb, etc et les numéroter 0, 1, etc
GÉNÉRALITÉS MÉTHODE DE RÉSOLUTION
Les patins 3 et 5 frottent sur la jante 4, invisible ici On désire étudier l’équilibre du système L2, constitué du levier 2 et du patin 3 avec sa fixation, pour déterminer l’intensité de la force exercée par le patin sur la jante Placez un point de couleur sur chaque point de contact entre L2 et un autre solide
SCIENCES DE L’INGENIEUR Fiche cours FC
et 2 ont des points d'application différents, il est possible de les translater le long de leur ligne d'action jusqu'au point de concours I puis de les additionner suivant la règle du parallélogramme ou du triangle SCIENCES DE L’INGENIEUR Fiche cours FC 01b Modéliser et représenter le réel Résultante de forces ’ 1 ’ 2
2 – Méthode analytique
Page 6 2 – Méthode analytique Le câble 4 exerce une action verticale de 100N sur le levier 1 en C Celui-ci, articulé en B sur l’axe 3, exerce une
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Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 - Structures à câbles Page 1 / 22
Cours n°12
Structures en câbles
SOMMAIRE
1 HISTORIQUE DES CONSTRUCTIONS EN CÄBLES .......................................................3
2 NOTIONS DE STATIQUE GRAPHIQUE............................................................................4
2.1CORPS SOUMIS A DEUX FORCES..............................................................................4
2.2CORPS SOUMIS A TROIS FORCES.............................................................................4
2.3CORPS SOUMIS A QUATRE FORCES..........................................................................4
3 DYNAMIQUE DES FORCES ET POLYGONE FUNICULAIRE..........................................5
3.1 D
3.2 E
QUILIBRE D"UN CORPS SOLIDE..............................................................................7
3.4 M
OMENT RESULTANT D"UN ENSEMBLE DE FORCES FI...............................................8Cas 1 : Le dynamique est ouvert. .........................................................................8
Cas 2 : le dynamique est fermé ............................................................................9
3.5 F
UNICULAIRE PASSANT PAR DEUX POINTS.............................................................104 STATIQUE DES FILS......................................................................................................12
4.1 fil soumis à des charges concentrées....................................................12
4.2 fil soumis à des charges réparties..........................................................13
5 NOTION DE CÄBLE FUNICULAIRE ET MODE DE FONCTIONNEMENT D"UN
Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 - Structures à câbles Page 2 / 226 INTERÊT DE LA PRECONTRAINTE D"UN CÂBLE........................................................17
7 TECHNOLOGIE DES CÂBLES.......................................................................................18
7.1 L
ES DIFFERENTS TYPES DE CABLES......................................................................18
7.2DOMAINE D"EMPLOI :...............................................................................................21
7.3 P
ROTECTION CONTRE LA CORROSION : .................................................................22 7.4MODULE D"ELASTICITE :........................................................................................22
7.5 C
ONTRAINTE ADMISSIBLE :...................................................................................22
L"art de dérouler un câble toronné d"après le manuel de la compagnie Roebling Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 - Structures à câbles Page 3 / 22 1HISTORIQUE DES CONSTRUCTIONS EN CÄBLES
L"usage de câbles dans les constructions est très ancien. Des câbles de cuivre ont été retrouvés
dans les ruines de Ninive, près de Babylone. Ces vestiges datent de 685 avant Jésus Christ.Un pont suspendu à des chaînes de fer aurait été construit en chine à Yunnan en l"an 65 dont
on doit une description au jésuite allemand Athanase Kircher au XVIII ème siècle : " Ce pont
qui a vingt chaînes, a vingt perches de long, qui font 140 pieds : l"on dit que quand beaucoup de personnes passent dessus, ou qu"il y a quelque grand fardeau, il branle si fort qu"il fait peur à ceux qui y sontDes câbles de bronze ont également été découverts dans les fouilles de Pompéi (an 79).
On attribue également les premiers ponts suspendus à des chaînes de fer au moine tibétain
Thang-stong-rgyal-po (1385-1464) dont le pont sur la rivière Paro. En Europe, le pont de Menai, au pays de Galles, réalisé entre 1818 et 1826 par Thomas Telford et Davies Gilbert, est un des premiers ouvrages modernes, comprenant un arrangement de barres métalliques de 2.90 mauquel est suspendu un platelage de bois de 176 m. La suspension en chaînes a finalement été
remplacée par des câbles en 1941.Le pont de Menai -1826- (Pays de Galles)
La production industrielle de câbles, faits d"arrangements de fils métalliques, date de 1832 en
Angleterre (Wilson), puis de 1834 en Allemagne (A. Albert), et enfin se développe aux EtatsUnis grâce à John A. Roebling vers 1850.
Allegheny Bridge(1829) Brooklin Bridge (1883)Deux ponts suspendus de John A. Roebling
Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 - Structures à câbles Page 4 / 222 NOTIONS DE STATIQUE GRAPHIQUE
La statique graphique est l"étude des conditions d"équilibre des corps au repos à partir de la
mesure et du tracé des forces. Elle n"est plus guère utilisée aujourd"hui du fait des progrès du
calcul numérique par ordinateur. Cependant il est utile au constructeur d"apprécier, par un
moyen simple comme le dessin, le fonctionnement des pièces et le cheminement des forces. Le principe consiste à faire figurer sur une même épure les longueurs et les forces.Nous admettons par la suite que toute force est représentée par un vecteur glissant défini par
sa ligne d"action (directrice) et son intensité (longueur du vecteur) ainsi que son orientation. 2.1CORPS SOUMIS A DEUX FORCES
Ces deux forces sont égales et opposées
A B
2.2CORPS SOUMIS A TROIS FORCES
Les trois forces sont concourantes et l"une d"entre elles est égale à la somme vectorielle des deux autres. A 2.3CORPS SOUMIS A QUATRE FORCES
On regroupe les forces deux à deux. La résultante en A doit être égale et opposée à la
résultante en B. On appelle " droite de Cullman » la droite qui porte ces deux forces égales et
opposées. Il y a trois droites de Cullman, car il y a trois façons de grouper ces quatre forces.
A B
Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 - Structures à câbles Page 5 / 223 DYNAMIQUE DES FORCES ET POLYGONE FUNICULAIRE
3.1 D
EFINITIONS
Soit n forces coplanaires. Par un point A0 arbitraire, on mène A0 A1 équipollent à F1, puis A1A2
équipollent à F2, puis de proche en proche Ai-1 Ai équipollent à Fi, et enfin An-1Anéquipollent
1 à Fn. Le contour polygonal A0 An est appelé dynamique associé aux forces Fi.
La forme du dynamique ne dépend pas du point A0 mais de l"ordre dans lequel on examine ces forces. P AnA0 dynamique
An-1 Fn-1
A1 F1
A2 F2 Ai Fi
Le vecteur A0An est équipollent à la résultante des forces. Il ne dépend pas de l"ordre des
forces FiPar un pôle arbitraire P, on trace des droites liant P et l"extrémité des forces Fi du dynamique.
Par un point arbitraire du plan a1 choisi sur F1, on trace successivement les droites a0a1, a1a2, parallèles à A0P et A1P, puis à l"intersection avec F2, a2a3, et ainsi de suite...F1 a0
a1F2 funiculaire
a2Fi ai
ai+1 Fi+1 an-1 an F51 vecteurs équipollents = vecteurs parallèles, de même direction et de même intensité
Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 - Structures à câbles Page 6 / 22Le contour polygonal a0an est appelé funiculaire 2associé au dynamique Ai et au pôle P. A tout
dynamique, il correspond une infinité de funiculaires, le choix de a0 et P étant arbitraire. Tout système plan de forces est équivalent à un système de deux forces ayant pour ligned"action le premier et le dernier côté du funiculaire et équipollents au premier et au dernier
rayon polaires du dynamique, le premier rayon étant parcouru du dynamique vers le pôle, et le dernier rayon étant parcouru du pôle vers le dynamique. f0 Fi fn funiculaire Le dynamique est ouvert si ses sommets A0 et An sont distincts. L"ensemble des n forces est alors réductible à une force Rn équipollente à A0An. A0 0 dynamique ouvertRn P
n AnSi le dynamique est fermé :
si A0 coïncide avec An. Les rayons a0-P et P-an sont confondus. Si o" et n" sont distincts, le funiculaire est ouvert et l"ensemble est réductible à un couple.F1 m2
2" A0 A2
0 et 2
0" d P" P
1" 1
m0 F2 A1Funiculaire ouvert et dynamique fermé
Si o" et n" sont confondus, le funiculaire est fermé. L"ensemble des forces est réductible à zéro.
2 Le mot funiculaire vient du latin funiculus : petite corde.
Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 - Structures à câbles Page 7 / 22 A0 A4P dynamique fermé
A1A2 A3
Funiculaire fermé
Funiculaire et dynamique fermés
3.2 EQUILIBRE D"UN CORPS SOLIDE
Tout solide soumis à un ensemble de forces ou de réactions d"appui est en équilibre si l"on peut
associer à ces forces un polygone dynamique et un polygone funiculaire qui soient tous les deux fermés. F1 GGGG 1"1" 1"1" 2"F2 F3 funiculaire fermé
3" 1"
F30 et 3
dynamique fermé 2F2 P
1 F1 A0 Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 - Structures à câbles Page 8 / 22On peut choisir un funiculaire particulier, ayant son pôle situé à l"extrémité d"une des forces. On
trouve alors la ligne de pression. 3.3 LIGNE DE PRESSION :
C"est le funiculaire particulier pour lequel le pôle P du dynamique est confondu avec A0. La ligne
de pression permet de visualiser le cheminement des forces dans la matière. A12" 1
P 2 A2
1" a1 a2 3" A0
3 A3 funiculaire particulier dynamique 3.4 MOMENT RESULTANT D"UN ENSEMBLE DE FORCES FI
Le moment en un point d"un ensemble de forces est égal au moment en ce point de leur
résultante. Lorsque l"ensemble des forces est réductible à un couple, le moment se réduit au
moment du couple.Cas 1 : Le dynamique est ouvert
On trace le repère Gxy tel que Gx soit perpendiculaire à Rn, résultante des forces appliquées.
Le moment de la résultante est égal à :
y0" m0 bn x
funiculaire b"n mn n" Rn PA0 0 G
dynamique P"n n An nnnbbRM"r-= Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 - Structures à câbles Page 9 / 22Le moment de la résultante Rn du funiculaire en G est égal au produit de cette résultante par la
distance à l"axe GY. Les triangles P A0 An et bn m0 mn sont semblables. On en déduit la valeur
du moment en G. nnnnmmPPMRAAAAPP mmbbRbbM0000" """ r rCas 2 : le dynamique est fermé
On considère le cas où le funiculaire est ouvert (réductible à un couple), car sinon le moment est
nul en tout point du plan. y m"o mn n" - fn funiculaire ouvert f0 m0G x 0"
P" dynamique ferméA0 et An
0 et n
P P" est la projection de P sur la parallèle à Gy passant par A0. PA0 est parallèle à f0. Les triangles PP"A0 et m0 m"0 mn sont semblables.Le moment est égal à
nmmPPmmfM0000""´-=´-=r 00000 0 fPAmmmm PAPP nr-== Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 - Structures à câbles Page 10 / 223.5 FUNICULAIRE PASSANT PAR DEUX POINTS
A0"1 F1
0"2 Fn
n"1Oi i"1
(D) i"2 n"2 B On construction du funiculaire passant par A et B On trace un dynamique de pôle P1, puis un funiculaire passant par A. le coté n"1 ne passe pas par B. On choisit une droite D passant par A. On construit l"intersection de n"1 avec D. On obtient le point On. De ce point on trace la droite On B. L"intersection avec Fn permet d"obtenirle côté du funiculaire n"2... De proche en proche, on construit le funiculaire déformé passant par
A et B . Le pôle P2 est obtenu par intersection de P1 P2 parallèle à D et d"un rayon quelconque
i2 du dynamique, parallèle à i"2. Cette construction permet de tracé le polygone d"équilibre d"un
fil passant par deux points et soumis à des forces concentrées.F1 P1
dynamique P2F2 (D")
Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005Cours n°12 - Structures à câbles Page 11 / 22 Exemple : calcul d"une poutre isostatique de longueur L recevant une charge P au 1/3 de sa longueur
y>0L/3 2L/3
B"L/3 2L/3
A -1"" m-1 2"" B x>00" 1"
0"" 1" ' Ra A0
P1P"2 P2 dynamique
(D) m0 Rb A1 O1Funiculaire fermé
(D")On choisit un pôle arbitraire P1.
On trace le dynamique associé au pôle P1, puis le funiculaire associé 0"1".Le point B", intersection du rayon 1" avec la réaction d"appui Rb, ne correspond pas avec l"extrémité de la
poutre, on fait un changement de pôle par rapport à D, perpendiculaire à AB.On obtient le funiculaire 0""1"".
Les réactions d"appuis sont trouvées en lisant les grandeurs P"2 A0 et A1P"2.La poutre est en équilibre sous P, Ra, Rb : le dynamique et le funiculaire doivent être fermés.
La droite AB représente les côtés -1"" et 2"" du funiculaire associé à P2P"2.Le moment des forces de gauche à l"aplomb de la coupure (ou moment fléchissant) s"évalue simplement
en mesurant m-1 mo (<0) et en mesurant P"2P2 (>0) et en effectuant le produit des longueurs, affecté du
signe moins. On retrouve facilement par le graphique le résultat donné par la RDM. 92"33 2"
01220122
PLMmmPPMmmL
P PP Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 - Structures à câbles Page 12 / 224 STATIQUE DES FILS
Un fil est un solide à ligne moyenne infiniment souple et flexible. Tout moment de flexion
provoque une déformation importante. L"équilibre d"un fil est obtenu par un tracé tel que
l"équilibre des forces de gauche se résume à une traction dans le fil. Ce tracé est funiculaire de
l"état de charge appliqué au fil. Le fil est considéré, en première approche comme inextensible.
Sa longueur est invariable.
4.1 fil soumis à des charges concentrées
La figure d"équilibre est une ligne brisée passant par les appuis. Cette ligne est confondue avec
la ligne funiculaire particulière qui a la même longueur que le fil. Exemple 1 : fil soumis à une charge concentréeV1 a b
T1 T2 dynamique l H11 2
F P" P
f FLe funiculaire donne la géométrie du fil de longueur L. La flèche est calculée à partir de la longueur du fil
et la position de la charge. La valeur de la traction horizontale H est égale à PP", distance du pôle à la force F. fbaPabHHHfbfaLbaaPffbTbabPffaT )(21²²²²²²2²²1 Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 - Structures à câbles Page 13 / 22 Exemple 2 : fil soumis à 2 charges concentréesCâble =funiculaire dynamique
l l l TAF F
A B F H P f TB F La longueur du fil L permet d"obtenir la flèche f. Le calcul du moment le long du fil permet de déterminer H. fFlHlf HF=?=²²2fllL++=
Exemple 3 : fil soumis à n charges concentréesFi 0
H P dynamique
5 6A 0" funiculaire
B1" 5"
2" Fi 3" 4"
On trouve de proche en proche la ligne funiculaire, qui est aussi la forme d"équilibre du câble. La
connaissance de L, longueur du fil, permet de connaître la forme d"équilibre.4.2 fil soumis à des charges réparties
On découpe les forces en une infinité de petites forces élémentaires et on est ramené au cas
précédent. On trouve une courbe dynamique en choisissant P sur l"horizontale de A0, et unecourbe funiculaire. La figure d"équilibre du fil est la courbe funiculaire. A l"abscisse x, correspond
BATfflFT=+=²²
Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 - Structures à câbles Page 14 / 22le point A du dynamique repéré par l"angle alpha. A0A correspond à la somme des forces
élémentaires p(x)dx comprises entre 0 et x.
La valeur AAn/H est égale à la variation de l"angle de la tangente au polygone funiculaire, c"est
à dire la courbure 1/R de la courbe funiculaire. d=H PA0 a
da fi+10i p(x)dx
A 0i+1 p(x)dx da fi An -H H0 x
La courbure 1/R est égale à la densité de charge divisée par la composante horizontale de la
traction du câble qui est constante. Si p est constant, la solution de l"équation différentielle (1)
est une parabole.Manuel publié par la compagnie Roebling
pour promouvoir l"usage de ses câbles Hxp dxp Rd xp dxAAd dxdyddAAPAAAtgdxdydxxpdxxpAA
xx )()(1)1( )(1 00 000 00 a Ecole Spéciale d"Architecture Année 2001/maj 2005 Cours n°12 - Structures à câbles Page 15 / 225 NOTION DE CÄBLE FUNICULAIRE ET MODE DE FONCTIONNEMENT D"UN CÄBLE
Galilée, en 1638, décrit la forme d"une chaine tendue comme celle d"une parabole. La
description mathématique d"un câble soumis à ses charges de poids propre est due à Jacques
Bernoulli (Bâles-1690).
On considère un câble symétrique plan de longueur l et de flèche f, ancré à ses deux extrémités
A et C. Il est soumis à une charge uniforme p, constante. Le point B est situé sur l"axe desymétrie de la figure. Les trois équations de la statique permettent de trouver la tension le long
du câble. T0 )3(0 )2(0 )1(
ByxMFF
M H HB a0222)3()2()1(
2 222Hy xpHypxxpHyVxxppxVHH B B 2
2 )4(xHpy=
C"est l"équation d"une parabole rapportée à son sommet B. L"équilibre des forces permet de
définir la géométrie du câble. En désignant par R le rayon de courbure au sommet, l"équation
devient : Hp R xdydHpx Rx dxdytgRxyquotesdbs_dbs44.pdfusesText_44