Valeurs absolues Partie entière Inégalités
k sont nuls et l’inégalité est immédiate Finalement, dans tous les cas, jån k=1 a kb kj6 q ån k=1 a 2 k q ån k=1 b 2: Cette inégalité est encore valable en remplaçant les a k et les b k par leurs valeurs absolues, ce qui fournit les inégalités intermédiaires Retrouvons alors l’inégalité de l’exercice4 Puisque les a
Planche no 9 Valeur absolue, partie entière, inégalités
Remarque 2 On peut visualiser l’inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique Si (ABC)est un triangle rectangle en A et A′ est le pied de la hauteur issue de A, on sait que AA′2 =A′B×A′C On se sert de cette remarque pour construire g et la comparer graphiquement à m On accole deux segments de longueurs respectives x et y
Planche no 9 Valeur absolue Partie entière Inégalités
(*I) (Inégalité de Bernoulli) Montrer que, pour aréel positif et nentier naturel donnés, (1+a)n >1+na Exercice no 3 (***) On veut montrer de manière élémentaire (c’est-à-dire en se passant du logarithme népérien et en ne travaillant qu’avec les deux opérations +et ×) que pour n∈ N∗, 1+ 1 n n
Planche no 7 Inégalités Valeur absolue Partie entière Corrigé
Partie entière Corrigé Cette inégalité est encore valable en remplaçant les ak et les bk par leurs valeurs absolues, ce qui fournit les inégalités
INÉGALITÉS ET FONCTIONS USUELLES SEMAINE N 4 A Questionsdecours
Valeur absolue Valeur absolue d’un produit, inégalité trian-gulaire, inégalité de Cauchy-Schwarz Les étudiants doivent savoir interpréter géométriquement les inégalités du type jx¡ajÉr Relation jxj˘ p x2 pour x 2R Exemples de résolution d’inéquations 2 Partieentière Partie entière d’un réel x Notation bxc
TD 5 Nombres rØels - Maths en Vrac
l’inégalité demandée 3)Comme précédemment, procédons par double inclusion — D’une part on a E(nx) 6 nx (par dé˙nition de la partie entière) d’où E(nx) n 6 x (car n>0) donc E E(nx) n 6 E(x) (car la fonction Eest croissante) — D’autre part on a E(x) 6 x (par dé˙nition de la partie entière) d’où nE(x) 6 nx (car n>0)
Inéquations - Free
★★☆☆ Exercice 28 – Soit A une partie majorée non vide de R, et soit a sa borne supérieure On suppose que a ~∈ A Montrer que pour tout ε > 0, l’intervalle [a −ε,a] contient une infinité de points de A En déduire que pour tout ε > 0, il existe deux éléments distincts x et y dans A tels que Sy −xS < ε
Exercices 7 Fonctions dérivables - WordPresscom
1 Avec partie entière Pas de souci en un point de R\Z Étudier la dérivabilité à gauche et à droite de n 2Z 2 Dérivée et monotonie Appliquer par exemple le théorème de la limite de la dérivée au a Considérer le signe de f 0(xk) avec xk ˘ 1/ p k pour tout k 2N⁄ 3 Dérivabilité de jf j
Chapitre14 NOMBRESRÉELS Enoncédesexercices
Exercice14 7Soit nun entier non nul, donner une formule simple (utilisant la fonction partie entière) pour déter- miner le nombre de chiffres de n Comment obtenir le premier chiffre et le dernier chiffre de n(en utilisant la partie entière)
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Planche no7. Inégalités. Valeur absolue. Partie entière. Corrigé n
1)On a déjàx=x+x
(on peut aussi écrire :m-x=x+y2-x=y-x2≥0).
2)On a ensuitex=⎷
3)m-g=x+y
2-⎷xy=12?(⎷x)2-2⎷xy+ (⎷y)2?=12?
4)D"après 1), la moyenne arithmétique de1
5)D"après 3), la moyenne géométrique des deux réels1
xet1yest inférieure ou égale à leur moyenne arithmétique. Ceci fournit 11x+1y?
1x+1y?
,g=⎷xyetm=x+y2.Remarque 1.On ah=2xyx+y, mais cette expression ne permet pas de comprendre que1hest la moyenne arithmétique
de 1 xet1y. Remarque 2.On peut visualiser l"inégalité entre moyenne arithmétiqueet géométrique.Si(ABC)est un triangle rectangle enAetA?est le pied de la hauteur issue deA, on sait queAA?2=A?B×A?C. On se
sert de cette remarque pour construireget la comparer graphiquement àm.On accolle deux segments de longueurs respectivesxety. On construit alors un triangle rectangle d"hypothénuse le
segment de longueurx+ynoté [BC], tel que le troisième sommetAait une projection orthogonaleA?sur(BC)vérifiant
BA ?=xetCA?=y. x+y mg xy A?BCALa moyenne arithmétique dexetyest
m=x+y2, le rayon du cercle, et la moyenne géométrique dexetyestg=⎷xy=⎷ A?B.A?C=AA?, la hauteur issue deAdu triangle(ABC). n o2Soienta?R+etn?N?.(1+a)n= (1+a)...(1+a) =1+na+...≥1+na. c ?Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.1 http ://www.maths-france.fr no3Pourn?N?,? 1+1n? n =n? k=0C k nnk. Pourk??0,n?, posonsuk=Cknnkpuisvk=uk+1uk.Pourk??1,n-1?, on a alors
v k=Ck+1n×nk Ckn×nk+1=1n×n!k!(n-k)!n!(k+1)!(n-k-1)!=n-kn(k+1)=(n+1) - (k+1)n(k+1)= -1n+n+1n(k+1) n+n+12n(cark≥1) 12-12n<12.
2uket donc, immédiatement par récurrence,
u2k-1u1=12k-1nn=12k-1.
En tenant compte deu0=1, on a alors pourn?N?,
1+1 n? n =n? k=0u k=112k-1=1+1-1 2n1-12=1+2?
1-1 2n? =3-12n-1< 3. ?n?N?,? 1+1n? n < 3. no4Soientn?N?eta1,a2,...,an,nréels strictement positifs. n? i=1a i? (n? j=11 aj)) iaj=n? i=1a iai+? aiaj+ajai? =n+? aiaj+ajai?Pourx > 0, posons alorsf(x) =x+1
x.fest dérivable sur]0,+∞[et pourx > 0,f?(x) =1-1x2=(x-1)(x+1)x2.festdonc strictement décroissante sur]0,1]et strictement croissante sur[1,+∞[.fadmet ainsi un minimum en1. Par suite,
?x > 0, f(x)≥f(1) =1+1 1=2.(Remarque.L"inégalité entre moyenne géométrique et arithmétique permet aussi d"obtenir le résultat :
1 2? x+1x? ≥?x×1x=1.)On en déduit alors que
n? i=1a i? (n? j=11 aj)) ≥n+? n o5Pourxréel, posonsf(x) =n? k=1(ak+bkx)2. On remarque que pour tout réelx,f(x)≥0. En développant lesncarrés, on obtient, f(x) =n? k=1(b2kx2+2akbkx+a2k) =? n? k=1b 2 k? x 2+2? n? k=1a kbk? x+? n? k=1a 2 k?1er cas.Sin?
k=1b 2k?=0,fest un trinôme du second degré de signe constant surR. Son discriminant réduit est alors négatif
ou nul. Ceci fournit c ?Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.2 http ://www.maths-france.fr0≥Δ?=?
n? k=1a kbk? 2 n? k=1b 2 k?? n? k=1a 2 k? et donc ?n k=1a kbk????? n? k=1a 2 k????n? k=1b 2 k.2ème cas.Sin?
k=1b 2 k=0, alors tous lesbksont nuls et l"inégalité est immédiate.Finalement, dans tous les cas,
?n k=1a kbk????? k=1a 2 k????n? k=1b 2 k.Cette inégalité est encore valable en remplaçant lesaket lesbkpar leurs valeurs absolues, ce qui fournit les inégalités
intermédiaires.Retrouvons alors l"inégalité du n
o4. Puisque lesaksont strictement positifs, on peut écrire : n? i=1a i?? n? i=11 ai? n? i=1(⎷ai)2?((n? i=1? ?1 ai?2))≥?
n? i=1⎷ai×?1 ai? 2 =n2. no6Si l"un des réelsa,boucest strictement plus grand que1, alors l"un au moins des trois réelsa(1-b),b(1-c),
c(1-a)est négatif (puisquea,betcsont positifs) et donc inférieur ou égal à1 4.Sinon, les trois réelsa,betcsont dans[0,1]. Le produit des trois réelsa(1-b),b(1-c)etc(1-a)vaut
a(1-a)b(1-b)c(1-c). Mais, pourx?[0,1],x(1-x)est positif et d"autre part,x(1-x) = -(x-1 43.Il est alors impossible que les trois réelsa(1-b),b(1-c)etc(1-a)soient strictement plus grand que1
4, leur produit
étant dans ce cas strictement plus grand que
1 43.On a montré dans tous les cas que l"un au moins des trois réelsa(1-b),b(1-c)etc(1-a)est inférieur ou égal à1
4. n o7E(x+1) =E(x) +1.
?x?R, E(x+1) =E(x) +1.vaut, suivant le cas,E(x) +E(y)ouE(x) +E(y) +1(et est dans tous les cas supérieur ou égal àE(x) +E(y)).
3)Soit(x,y)?R2. Posonsk=E(x)etl=E(y).
1er cas.Six??
k,k+1 2? ety?? l,l+12? , alorsx+y?[k+l,k+l+1[et donc c ?Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.3 http ://www.maths-france.fr E(x+y) =k+l, puisE(x) +E(y) +E(x+y) =k+l+k+l=2k+2l.D"autre part,2x?[2k,2k+1[et2y?[2l,2l+1[. Par suite,E(2x)+E(2y) =2k+2l. Dans ce cas,E(x)+E(y)+E(x+y) =
E(2x) +E(2y).
2ème cas.Six??
k+12,k+1?
ety?? l,l+12? , alorsx+y?? k+l+12,k+l+32? et donc E(x+y) =k+louk+l+1,puisE(x) +E(y) +E(x+y) =2k+2lou2k+2l+1.E(2x) +E(2y).
3ème cas.Six??
k,k+1 2? ety?? l+12,l+1?4ème cas.] Six??
k+12,k+1?
ety?? l+12,l+1? , on aE(x) +E(y) +E(x+y) =2k+2l+2=E(2x) +E(2y). n o8 ln10< p+1. Par suite, p=E(log10(n)). Le nombre de chiffres d"un entiernen base10est doncE(log10(n)) +1.En sommant ces inégalités, on obtient
E(x) +E(2x) +...+E(nx)
et aussi,E(x) +E(2x) +...+E(nx)
n2>(x-1) + (2x-1) +...+ (nx-1)n2=n(n+1)x/2-nn2=(n+1)x2n-1n.Finalement, pour tout entier naturel non nuln,
(n+1)x Les deux membres extrêmes de cet encadrement tendent vers x2quandntend vers+∞. D"après le théorème des gendarmes,
on peut affirmer que ?x?R,limn→+∞E(x) +E(2x) +...+E(nx)n2=x2. no101)Par définition d"un entier, il y anentiers entre1etn. Ensuite, les entiers entre1etxsont les entiers entre1etE(x).
Il y a doncE(x)entiers entre1etx.
2)Il y an+1entiers entre0etnetE(x) +1entiers entre0etx.
3)Les entiers naturels pairs sont les entiers de la forme2k,k?N. Or,
2.Le nombre des entiers pairs compris entre0etxest encore le nombre des entierskcompris au sens large entre0etx
2.D"après 2), il y aE?x
2? +1entiers pairs entre0etx.De même, six≥1
c ?Jean-Louis Rouget, 2008. Tous droits réservés.4 http ://www.maths-france.frIl y a doncE(x-1
2) +1=E(x+12)entiers impairs entre0etxce qui reste clair quandx?[0,1[.
4)Il y aE?x
3? +1multiples de3entre0etx.5)Soientn?Net(x,y)?N2. On a
x+2y=n?x=n-2y. doncE?n 2? +1couples solutions.6)Sixetysont respectivement le nombre de pièces de10centimes d"euros et le nombre de pièces de20centimes d"euros,
le nombre cherché est le nombre de couples d"entiers naturels solutions de l"équation10x+20y=1000qui s"écrit encore
x+2y=100. D"après 5), il y aE?100quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18