Valeurs absolues Partie entière Inégalités
k sont nuls et l’inégalité est immédiate Finalement, dans tous les cas, jån k=1 a kb kj6 q ån k=1 a 2 k q ån k=1 b 2: Cette inégalité est encore valable en remplaçant les a k et les b k par leurs valeurs absolues, ce qui fournit les inégalités intermédiaires Retrouvons alors l’inégalité de l’exercice4 Puisque les a
Planche no 9 Valeur absolue, partie entière, inégalités
Remarque 2 On peut visualiser l’inégalité entre moyenne arithmétique et géométrique Si (ABC)est un triangle rectangle en A et A′ est le pied de la hauteur issue de A, on sait que AA′2 =A′B×A′C On se sert de cette remarque pour construire g et la comparer graphiquement à m On accole deux segments de longueurs respectives x et y
Planche no 9 Valeur absolue Partie entière Inégalités
(*I) (Inégalité de Bernoulli) Montrer que, pour aréel positif et nentier naturel donnés, (1+a)n >1+na Exercice no 3 (***) On veut montrer de manière élémentaire (c’est-à-dire en se passant du logarithme népérien et en ne travaillant qu’avec les deux opérations +et ×) que pour n∈ N∗, 1+ 1 n n
Planche no 7 Inégalités Valeur absolue Partie entière Corrigé
Partie entière Corrigé Cette inégalité est encore valable en remplaçant les ak et les bk par leurs valeurs absolues, ce qui fournit les inégalités
INÉGALITÉS ET FONCTIONS USUELLES SEMAINE N 4 A Questionsdecours
Valeur absolue Valeur absolue d’un produit, inégalité trian-gulaire, inégalité de Cauchy-Schwarz Les étudiants doivent savoir interpréter géométriquement les inégalités du type jx¡ajÉr Relation jxj˘ p x2 pour x 2R Exemples de résolution d’inéquations 2 Partieentière Partie entière d’un réel x Notation bxc
TD 5 Nombres rØels - Maths en Vrac
l’inégalité demandée 3)Comme précédemment, procédons par double inclusion — D’une part on a E(nx) 6 nx (par dé˙nition de la partie entière) d’où E(nx) n 6 x (car n>0) donc E E(nx) n 6 E(x) (car la fonction Eest croissante) — D’autre part on a E(x) 6 x (par dé˙nition de la partie entière) d’où nE(x) 6 nx (car n>0)
Inéquations - Free
★★☆☆ Exercice 28 – Soit A une partie majorée non vide de R, et soit a sa borne supérieure On suppose que a ~∈ A Montrer que pour tout ε > 0, l’intervalle [a −ε,a] contient une infinité de points de A En déduire que pour tout ε > 0, il existe deux éléments distincts x et y dans A tels que Sy −xS < ε
Exercices 7 Fonctions dérivables - WordPresscom
1 Avec partie entière Pas de souci en un point de R\Z Étudier la dérivabilité à gauche et à droite de n 2Z 2 Dérivée et monotonie Appliquer par exemple le théorème de la limite de la dérivée au a Considérer le signe de f 0(xk) avec xk ˘ 1/ p k pour tout k 2N⁄ 3 Dérivabilité de jf j
Chapitre14 NOMBRESRÉELS Enoncédesexercices
Exercice14 7Soit nun entier non nul, donner une formule simple (utilisant la fonction partie entière) pour déter- miner le nombre de chiffres de n Comment obtenir le premier chiffre et le dernier chiffre de n(en utilisant la partie entière)
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Lycée Louis-Le-Grand,Paris2017/2018
MPSI 4- Mathématiques
A. Troesch
Chapitre 7 - Réels
Inéquations
Exercice 1- Résoudre dansRles équations et inéquations suivantes (adésigne un paramètre réel) :
1.x2-3x+2⩽a
2.-x2+2x-3⩽a
3.xn⩾a,n?N?.
4.cos(5x) =⎷
3 25.sinx+cosx=1
6.sinx⩾1
27.sin(x)cos(x) ⩽⎷
2 48.tanx⩾1.
Exercice 2- Soitx?R,x⩾1. Montrer que(x-1)2
8x⩽x+12-⎷x⩽(x-1)28.????
Exercice 3- Résoudre dansRles inéquations suivantes :???? a)⎷x2-5x+4⩾ ?x-1?;b)⎷x2-5x+4⩾x-1; c)⎷ x2-5x+4> ?2x+1?;d)⎷x2-5x+4>2x+1. Exercice 4- Soitmun paramètre réel. Résoudre dansRl"inéquation⎷1+x2⩽x+m.????
Exercice 5- Résoudre dansRl"inéquation suivante, en discutant suivant la valeur du paramètrea:????
ax+3 a+2x⩽3.Partie entière
Exercice 6- Résoudre dansRl"équation⌊⎷ x2+1⌋ =2.????Exercice 7-????
1. Soitx?R. Montrer que⌊x2⌋+⌊x+12⌋ = ⌊x⌋.
2. Plus généralement, montrer que pourm?N?,m-1
i=0⌊x+i m⌋ = ⌊x⌋.Exercice 8- Soitn?N?, etx=?
n2+?4n2+?16n2+⎷64n2+1. Montrer que⌊x⌋ =n.????Comment généraliseriez-vous ce résultat?
Exercice 9- Soitx?Retn?N?. Montrer que⌊⌊nx⌋ n⌋ = ⌊x⌋.???? 1 Exercice 10- Résoudre dansRl"équation⌊⎷x2+x⌋ = ⌊x⌋.????Exercice 11- Soitn?N. Montrer que⌊⎷n+⎷n+1⌋ = ⌊⎷4n+1⌋ = ⌊⎷4n+2⌋ = ⌊⎷4n+3⌋.????
Exercice 12-????
1. Montrer que pour toutx?R,⌊x⌋ + ⌊-x⌋ =1Z(x) -1.
2. Soitpetqdeux entiers naturels premiers entre eux. Calculerq-1
k=1kp qetq-1 k=1⌊kpq⌋. Exercice 13- Démontrer que pour toutn?N,⎢⎢⎢⎢⎣n+2-⌊n25⌋
Exercice 14- Soitfune application strictement croissante de limite+∞en+∞, et telle quef(x+1)-f(x) →0en+∞.????
Montrer queE={f(n)-⌊f(n)⌋}est dense dans[0,1].Rationnalité, Irrationnalité
Exercice 15-(Autour des formules de Cardan)?
1. Montrer queαetβsont irrationnels.
2. Calculer
3⎷
3. Montrer quea=3⎷
α+3⎷βest rationnel.
Exercice 16- Soitαun nombre irrationnel, et soitEle sous-ensemble deRdéfini par???E={a+bα? (a,b)?Z2}.
1. Soitε=inf(E∩R?+). Montrer que siε>0, alors
E=Zε={nε?n?Z}.
2. Montrer queEest dense dansR.
Inégalités classiques
Exercice 17-(Cauchy-Schwarz)??
Prouver l"inégalité de Cauchy-Schwarz par récurrence. Exercice 18-(Encore Cauchy-Schwarz, ou le coup de la normalisation)??1. Montrer que pour(x,y)?R2,xy⩽12(x2+y2).
2. En déduire :
n k=1?akbk?⩽1 2?n k=1a2k+n k=1b2k?.3. En déduire l"inégalité de Cauchy-Schwarz.
Exercice 19-(Le coup du 1 - The 1-Trick)
Montrer que pour tous réelsa1,...,an,
n k=1a k⩽⎷ n?n k=1a2k?1 2Exercice 20-(Le coup du partage)
2Montrer que pour tous réelsa1,...,an,
n k=1a k⩽?n k=1?ak?2?3?1 2 ?n k=1?ak?4?3?12 Exercice 21- Montrer que pour tous réelsx,y,zstrictement positifs :?? ?x+yx+y+z?12+?x+z
x+y+z?12+?y+z
x+y+z?12⩽⎷6.
Exercice 22- Montrer que pour tous réels strictement positifsx,yetz,?? x+y+z⩽2?x2y+z+y2x+z+z2x+y?. Exercice 23- Montrer que pour tous réels positifs ou nulsa1,...,an,b1,...,bn,?? ?n i=1a i?1 n +?n i=1b i?1n ⩽?n i=1(ai+bi)?1n Exercice 24- Montrer que sixyz⩾1, alors(1+x)(1+y)(1+z)⩾8. Généraliser.???Bornes supérieures, inférieures
Exercice 25- SoitAetBdeux parties non vides deRtelles que pour tout(a,b)?A×B,a⩽b. Comparersup(A)et?
inf(B).Exercice 26- SoitAune partie bornée non vide deR. Exprimersup(x,y)?A2?y-x?en fonction desup(A)etinf(A).?
Exercice 27- SoitAetBdeux parties non vides majorées deR, et soit????A+B={a+b, a?A, b?B}.
Montrer queA,BetA+Badmettent des bornes supérieures dansR, et que ces bornes vérifient la relation :sup(A+B)=
sup(A)+sup(B).Exercice 28- SoitAune partie majorée non vide deR, et soitasa borne supérieure. On suppose quea??A. Montrer??
que pour toutε>0, l"intervalle[a-ε,a]contient une infinité de points deA. En déduire que pour toutε>0, il existe
deux éléments distinctsxetydansAtels que?y-x? <ε. Donner un contre-exemple sia?A.Exercice 29- SoitE=?(-1)n+1
p, n?N,p?N??.L"ensembleEadmet-t-il une borne supérieure? une borne inférieure?????Si oui, les déterminer.
Exercice 30- SoitAetBdeux parties bornées et non vides deR.??1. Dans cette question, on suppose queA?B. Comparerinf(A),inf(B),sup(A)etsup(B).
2. Est-ce queA?Badmet des bornes inférieure et supérieure? Si oui, les déterminer en fonction deinf(A),inf(B),
sup(A)etsup(B).3. Est-ce queA∩Badmet des bornes inférieure et supérieure? Si oui, que peut-on en dire?
3 Exercice 31- Soit∑anune série à termes positifs convergente. Montrer que???? n=0a n=sup I?N?? i?Ia i?, le sup étant pris sur tous les sous ensemblesfinisdeN.Exercice 32- Soit(An)n?Nune suite de sous-ensembles non vide bornés deR+, de borne supérieuremn. On suppose???
que∑mnconverge.1. Montrer que pour toute suite(xn)telle que pour toutn?N,xn?An, la série∑xnest convergente.
2. SoitS=?+∞
n=0x n??n?N,xn?An?. Montrer queSadmet une borne supérieurem, et exprimermen fonction des m n.Exercice 33- SoitIetJdeux ensembles non vides, et(ui,j)(i,j)?I×June famille de réels. Montrer que cette famille est??
majorée si et seulement si pour touti?I, la famille(ui,j)j?Jest majorée et la famille?sup j?Jui,j? i?Iest majorée. Dans ce cas, on a : sup (i,j)?I×Ju i,j=sup i?I?sup j?Jui,j?.Topologie
Exercice 34-(Autour de Borel-Lebesgue)????
SoitEun sous-ensemble deR. On appellerecouvrement deEpar des ouvertsune famille(Ui)i?Id"ouverts tels que
E?⋃
i?IUi(les unions ne sont pas forcément disjointes). Le recouvrement est ditfinisi la famille(Ui)i?Iest une famille
finie.On suppose queEvérifie la propriété suivante (propriété de Borel-Lebesgue) : de tout recouvrement deEpar des ouverts
deR, on peut extraire un recouvrement fini.1. Montrer queEest fermé.
2. Montrer queEest borné.
3. Mêmes questions siEest un sous-ensemble deRn.
Exercice 35-(Description des ouverts deR)???
SoitUun sous-ensemble ouvert deR.
1. Montrer, pour toutx?U, l"existence d"un intervalle ouvertIxmaximal pour l"inclusion tel quex?Ix?U.
2. Montrer queUest union au plus dénombrable d"intervalles ouverts deux à deux disjoints.
Exercice 36- SoitIun intervalle deRnetI1,...,Indes intervalles deRtels quen k=1I k=I. Montrer qu"il existei?[[1,n]]??? tel que⋃ k≠jI kest un intervalle. Que se passe-t-il si la famille est infinie?Exercice 37-(Ouverts deRn)????
Un pavé ouvert deRnest un sous-ensemble deRnde la formeI1×⋯×In, où lesIksont des intervalles ouverts deR.