Résolutionnumériqued’équationsdifférentielles
Elle permet de résoudre des ED du type y0(t) = F(y(t),t) avec y(t 0) = y 0 Elle prend en argument la fonction F, la condition initiale y 0 et une liste de temps
Résolution numérique d’équations différentielles
Résolution numérique d’équations différentielles dans cette section nous ne considérons que des équations différentielles de la forme Sortie Python
Résolution numérique d’une équation différentielle
Résolution numérique d’une équation différentielle Exercice 1 On commence par importer les différents modules et fonctions dont nous auront besoin : import numpy as np import matplotlib pyplot as plt from scipy integrate import odeint
Résolution numérique des équations différentielles 1 Les
Résolution numérique des équations différentielles 1 Les équations différentielles ordinaires (O D E) Sébastien Charnoz & Adrian Daerr Université Paris 7 Denis Diderot CEA Saclay 2 Les systèmes dynamiques L’évolution des systèmes dynamiques sont régis par des équations différentielles • Chute d’un corps :
A HASSAN
Résolution des équation différentielles ordinaires (EDO) Le Problème Le Problème (suite) Problème de Cauchy Méthodes de résolution: Ordres 1 et 2 Méthode d’Euler ou RK1 (Runge-Kutta d’ordre 1) Implémentation de l’algorithme d’Euler Implémentation de la méthode d’Euler en Python Runge Kutta d’ordre 4 (RK4) Méthode de
Résolution des Équations Différentielles
Résolution des Équations Différentielles •Déjà vues •Le plus souvent, résolution analytique •Nombreux problèmes sans solution analytique –Par ex pb à 3 corps –Résolution numérique † a˙ y ˙ +by ˙ +cy=0 D=b2-4ac D>0,y=ler1x+mer2x D
Méthodes numériques de résolution d’équations différentielles
Nous voulons simplement tester notre capacité à trouver la solution de façon numérique La connaissance d’une solution exacte nous permet de tester différentes méthodes de résolution numérique d’équations différentielles Pour résoudre les équations différentielles d’ordre 2 de l’éq (16) on va définir des fonctions
Informatique en CPGE (2018-2019) Résolution numérique d
Résolution numérique d’équations différentielles: méthode d’Euler Lycée des EK 26 mars 2019 (2018-2019) Résolution numérique d'équations
MÉTHODES NUMÉRIQUES ET SIMULATIONS
d’un système d’équations linéaires, diagonalisation d’une matrice, etc ) sont omniprésentes en calcul scientifique, quel que soit le domaine d’application Mais tout n’est pas qu’algorithme La représentation numérique des objets mathématiques ou phy-siques est également très importante
Equations Différentielles Ordinaires et Partielles
L’objet de ce cours est de proposer une introduction à l’étude des équations différentielles ordinaires (EDO) et de certaines équations aux dérivées partielles (EDP) Beaucoup de résultats existent dans ce domaine : il est possible de trouver des solutions explicites à ces équations, mais elles ne sont pas nombreuses
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Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentInformatique en CPGE (2018-2019)
Résolution numérique d"équations
différentielles: méthode d"Euler S. B.Lycée des EK
26 mars 2019
S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentLes équations différentielles permettent de modéliser de nombreux phénomènes physiques. En général, on ne dispose pas de solutions analytiques : par exemple, l"équation00=k1sink20permet d"étudier le mouvement d"un
pendule amorti et il donc est intéressant de pouvoir visualiser une approximation de la solution.S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentS"il existe une unique solutiony, sur un intervalle[a;b], de l"équationy0(x) =f(x;y(x))avecy(a)fixé, il s"agit d"approcher yen un certain nombre de points répartis dans cet intervalle. En particulier, sin+1 points sont répartis régulièrement sur [a;b], on définit le pash=ban , soitxk=a+khpour k=0;1;2;:::;n. L"objectif est de calculer des approximations y kdes valeursy(xk).S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentOn utilise l"approximation
y(x+h)y(x)h 'y0(x)appliquée pour chaquexk, et on obtient y(xk+1)y(xk)'hy0(xk) =hf(xk;y(xk))'hf(xk;yk)Schéma :on calcule les approximations pour
k=0;1;2;:::;n1 par : x k+1=xk+hetyk+1=yk+hf(xk;yk) On initialise avecy0=y(x0) =y(a)(qui est la seule valeur exacte).S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentUne programmation de ce schéma consiste à construire deux listes, une pour la suite(xk)des abscisses et une pour la suite (yk)des ordonnées. On définit une fonctioneulerqui prend en arguments les valeurs extrêmes de l"intervalleaetb, la valeur initialey(0), le pash, la fonctionfet renvoie les listes des abscisses et des ordonnées.S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
Complémentdef euler(a, b, y0, h, f) :
y = y0 x = a liste_y = [y0] # la liste des valeurs renvoyées liste_x = [a] while x + h <= b : y += h * f(x, y) liste_y.append(y) x += h liste_x.append(x) return liste_x, liste_yS. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3On cherche une solution approchée de l"équation différentielle y0=2x+1, avecy(0) =2, sur l"intervalle[0;4]. La solution
exacte esty(x) =x2+x+2. Avec la méthode d"Euler, on calculeyk+1=yk+hf(xk;yk).S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3On obtient la figure suivante avec un pash=0:5 :S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3On cherche une solution approchée de l"équationy0=y, avec y(0) =1, sur l"intervalle[0;5]. La solution exacte esty(x) =ex. Avec la méthode d"Euler, on calculeyk+1=yk+hyk, soit y k+1= (1+h)yk. Avecy0=1, on obtientyk+1= (1+h)k+1.S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3La figure suivante est réalisée avec différentes valeurs du pas h.S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3Avec la méthode d"Euler, l"erreur a deux causes constatées sur les exemples précédents : des erreurs d"arrondi dans les opérations effectuées par l"ordinateur et une erreur dediscrétisation, (ek=yky(xk)), due au procédé de calcul.S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3Il est important que l"erreur de discrétisation diminue lorsque le pashdiminue. On dit que la méthode converge si, pour toutk, y ktend versy(xk)quandhtend vers 0. Dans ce cas il faudra comme souvent faire un compromis entre la précision de l"approximation et le temps de calcul.S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3Problème de stabilité : on résout l"équationy0=yavec y(0) =1 sur l"intervalle[0;30]. La solution exacte est y(x) =ex. Ici l"intervalle est "grand" et si le pas n"est pas assez petit, on a un problème de stabilité.S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3Instabilité pourh=2;5 :S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentExemple 1
Exemple 2
Exemple 3Stabilité pourh=1;5 :S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentOn peut résoudre une équation différentielle de degré 2 ou plus en vectorisant l"équation.L"équationy00+y=0 est équivalente à
(y;y0)0= (y0;y) =F(y;y0), soit en posantY= (y;y0), on obtient l"équationY0=F(Y). (OuY0=F(x;Y)dans le cas général). La méthode d"Euler peut s"appliquer ici et pour la programmation,Ysera un objet de typetupleoulist.S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentMais les calculs se compliquent car par exemple : (3,4)+(2,5)=(3,4,2,5) (concaténation des deux couples) et non pas (5,9) comme on le souhaiterait. Il faudra donc en particulier détailler le calcul deY+hF(Y)dans la définition de la fonction euler.S. B.Présentation en Latex avec BeamerMéthode d"Euler
Exemples
ComplémentOn commence par modifier la définition de la fonction f : def f(x, y) : # y est un couple return (y[1], -y[0])S. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
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ComplémentPuis la définition de la fonctioneuler:def euler(a, b, y0, h, f) : x = a y = y0 liste_x = [a] liste_y = [y0] while x + h <= b : y = (y[0] + h * (f(x, y)[0]), y[1] + h * (f(x, y)[1])) liste_y.append(y) x += h liste_x.append(x) return liste_x, liste_yS. B.Présentation en Latex avec Beamer
Méthode d"Euler
Exemples
ComplémentIl est aussi possible et plus simple d"utiliser un objet de type array, (tableau en français). Un objet de typearrayressemble à un objet de typelist, mais ici, tous les éléments doivent être du même type et le nombre d"éléments doit être connu à la création. Les objets de type arrayse trouvent dans une bibliothèque appelée "NumericalPython" (NumPy) élaborée pour un calcul numérique optimisé.S. B.Présentation en Latex avec Beamer