annexe04 chiffrement affine - Académie de Bordeaux
Chiffrement affine Chaque lettre , $ , < est codé par son rang entre 0 et 25 On choisit deux nombres = et > (On peut se restreindre entre 0 et 25 au sens large car on retrouve ensuite les même résultats) On note T le rang d’une lettre et N : T ; le reste de la division euclidienne de U L = T E > par 26 La lettre correspondante
Cryptographie : chiffre de César et chiffrement affine 1
4 Déchiffrement affine, partie facultative Soit un chiffrement affine de clef (a; b) ˘(11; 3) a ˘11 et 26 n’ont pas de diviseur commun donc cette clef est possible d’après un résultat admis Pour le vérifier, il nous suffit de montrer que toute lettre chiffrée correspond à une unique lettre en clair (s’il y
chiffrement affine tsspé
Le chiffrement ou cryptage consiste à coder un message Le déchiffrement consiste à décoder un message codé Un chiffrement élémentaire est le chiffrage affine On se donne une fonction de codage affine f, par exemple : f (x) = +11 8x À une lettre du message : • on lui associe un entier x entre 0 et 25 suivant le tableau ci-dessus
Thème : Quelques applications des congruences
Activité 3 Déchiffrement affine (2 exercices) Exercice 1 : Déchiffrer avec l’inverse modulaire de a Pré requis : Règles d’opérations sur les congruences Objectifs : Utiliser les opérations sur les congruences Utiliser l’inverse modulaire pour simplifier
Cryptographie
2 3 Chiffrement affine a est un entier naturel non nul fixé b est un entier naturel fixé 00⩽x⩽25 E(x) est le reste de la division euclidienne deax+ b par 26, donc : E(x)≡ax+ b(26)et00⩽E(x)=y⩽25 Pour le déchiffrement, connaissant y il faut être capable de déterminerx y=ax+ b+ 26k (k∈ℤ) Donc, ax+ 26k=y−b
Les deux premières lettres du texte en clair sont R et A
Le texte suivant a été chiffré à l'aide d'un chiffrement affine : J U H K W J Q J E T W 1 Les deux premières lettres du texte en clair sont R et A Donnez deux équations (mod 26) qui vous permettra de trouver la clé de cryptage 2 Donnez deux équations qui vous permettent de trouver la clé de déchiffrement 3
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2, le message avec le affine et et dèterminer deus et v tels que On considðre I I d'Euclide étendu (on vous demande de les des de la de déchiffrement conespondante à la fonction de la G), en cette dernière, le message (Q, I, W) ; A covoyel' message par l'algorilhtne El-Gamal, une qui message ceta, choisie un nombre premierp 19, un
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Chiffrer le message numérisé précédent avec le chiffrement affine et la clef (15,S) On considère I'entier a = 15, calculer pgcd(15,26) et déterminer deux entiers u etv tels que 15u+26v pgcd(15,26) en utilišant I'algorithme d'Euclid étendu (on demaåde de donner les détails des calculs)
11 > 21 Février 2016 Il était une fois Germaine Tillion
Cette “ grille de déchiffrement “, chacun de nous la possède et l’affine au cours de sa vie J’ai affiné la mienne entre 1940 et 1945, dans la fraternité du grand danger, auprès de gens de toutes origines, de toutes formations, mais qui tous avaient réellement envie
CRYPTOGRAPHIE - mpsimmac
Le déchiffrement d'un texte chiffré par une méthode de substitution monoalphabétique n'est pourtant pas impossible, à condition que le texte soit assez long Pour cela, il suffit de connaître la fréquence d'apparition des lettres Les statistiques révèlent que, dans un texte rédigé en français, la fréquence des lettres est la
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Cryptographie.
1. Introduction.....................................................p24. Exemple d'algorithme à clés publiques.
Cryptage RSA......................................................p62. Algorithmes à clés secrètes..............................p2
3. Propriétés (compléments d'arithmétique)........p4
Cryptographie.
1. Introduction
La cryptographie permet à 2 personnes de correspondre de manière confidentielle. Ainsi toute personne interceptant un message ne comprend pas la signification de ce message. On noteEl'algorithme de cryptage, simest un message,E(m)est le message chiffré.On noteDl'algorithme de décryptage donc
D(E(m))=m.
On distingue deux types de d'algorithmes de cryptographie.1.1. Les algorithmes à clés secrètes
C'est dans le cas où l'algorithme de déchiffrement se déduit facilement de l'algorithme de chiffrement (dans ce
cas l'algorithme de chiffrement doit être secret.)1.2. Les algorithmes à clés publiques
C'est dans le cas où il n'est pas possible de déduire (facilement) l'algorithme de déchiffrement connaissant
l'algorithme de chiffrement. (dans ce cas, l'algorithme de chiffrement peut être connu de tout le monde.)
2. Algorithmes à clés secrètes
2.1. Codage des lettres de l'alphabet
Chaque lettre des 26 de l'alphabet est codée par un nombre à deux chiffres.Exemple : A:00
2.2. Décalage affine
best un entier relatif non nul fixé.00⩽x⩽25
E(x)est le reste de la division euclidienne dex+bpar 26, donc : Donc, D(y)est le reste de la division euclidienne de y-6par 26.D(y)≡y-b(26)
D(y)=D[E(x)]=x
Exemple : b=10
messagemESSAI04 18 18 00 08
chiffrement de m14 02 02 10 18 OCCKS2.3. Chiffrement affine
aest un entier naturel non nul fixé. best un entier naturel fixé.00⩽x⩽25
E(x)est le reste de la division euclidienne deax+bpar 26, donc : Pour le déchiffrement, connaissant yil faut être capable de déterminerx.Donc, ax+26k=y-b
aet bsont donnés et on doit déterminer xpour toutes valeurs possibles de y(00⩽y⩽25).Rappel sur les équations diophantiennes :
Si aet 26 ne sont pas premiers entre eux, il existe des solutions à l'équation si et seulement si le pgcd de aet
26 divisey-b(ceci n'est pas possible pour toutes les valeurs dey)
Conséquence : pour pouvoir calculer
xquelque soit yil faut que aet 26 soient premiers entre eux.Exemple : on choisit a=7etb=3
Cryptographie.
Pgcd(7;26)=1
On détermine une solution de l'équation :
7u+26v=1
(-11;3) est une solution particulière. On utilise l'algorithme d'Euclide, ou, pour le logiciel Xcas l'instruction iabcuv(7,26,1).Une solution de l'équationax-26k=y-best donc :
(-11(y-b);-3(y-b)) x≡-11(y-b)(26)x≡-11y+11b(26)Or, b=3
x≡-11y+33(26) x≡15y+7(26) (15+11=26) D(y)est le reste de la division euclidienne de 15y+7par 26. D(y)≡15y+7(26)(00⩽D(y)⩽25)Donc, D(y)=D[E(x)]=x3. Propriétés (compléments d'arithmétique)
3.1. Propriété 1
pest un nombre premier.Si kest un entier naturel tel que
k≡1(p-1)alors pour tout entier naturela : ak≡a(p).Sipest un nombre premier ne divisant pasaalors
ap-1≡1(p)(théorème de Fermat)Pour tout entier naturelq :
(ap-1)q≡1q(p)Cryptographie.
aq(p-1)≡1(p)aq(p-1)×a≡a(p) aq(p-1)+1≡a(p)Sipest un nombre premier divisanta, alors : a≡0(p) aq(p-1)+1≡0(p)Donc, aq(p-1)+1≡a(p)Conséquence :On pose k=q(p-1)+1 (kest un entier naturel)
k≡1(p-1) Et, ak≡a(p)(qest le quotient de la division euclidienne dekpar (p-1))3.2. Propriété 2
petqsont deux nombres premiers distincts.Si kest un entier naturel tel que
k≡1((p-1)(q-1))alors pour tout entier naturela : ak≡a(pq). p etqsont deux nombres premiers distincts doncpetqsont premiers entre eux. kest un entier naturel tel quek≡1((p-1)(q-1)), on a : k=α(p-1)(q-1)+1avecαentier naturel
Donc, k≡1(p-1)etk≡1(q-1).
On utilise la propriété 1, pour tout entier naturela, ak≡a(p).Donc, ak-a=βp(βentier naturel)
De même,
ak-a=γq(γentier naturel)Conséquence :
βp=γqDonc, pdiviseγqetpetqsont premiers entre eux, donc d'après le théorème de Gauss pdiviseγ.
Donc, γ=δp(δentier naturel)
Conclusion :
ak-a=δpqet ak≡a(pq)3.3. Remarque petqsont deux nombres premiers distincts. Si cest un entier naturel premier avec (p-1)(q-1)tel que1Le théorème de Bezout nous permet d'affirmer qu'il existe deux entiers relatifs uet vtels que :
uc+v(p-1)(q-1)=1Donc, uc≡1((p-1)(q-1))
Soit dle reste de la division euclidienne de
upar(p-1)(q-1)Cryptographie.
u=α(p-1)(q-1)+dαest un entier relatif et dest un entier naturel tel que1⩽d⩽(p-1)(q-1)
(d≠0car un'est pas divisible par(p-1)(q-1)et dans ce cas, on auraituc≡0((p-1)(q-1))) cu=c[α(p-1)(q-1)+d]Donc, cu≡cd((p-1)(q-1))Donc, cd≡1((p-1)(q-1))Sid=1alors c≡1((p-1)(q-1))Or,1 d≠1et13.4. Propriété 3
petqsont deux nombres premiers distincts. Soientcet N=pqdeux entiers naturels tels
que1 c.d≡1((p-1)(q-1)). Pour tous entiers naturels
0⩽x⩽N-1etC(x), sixcalorsbd≡a(p.q)
c.d=k≡1((p-1)(q-1))En utilisant la propriété 2, on aacd≡a(p.q). Si on poseb=acalors
bd=acdEt, bd≡a(p.q)4. Exemple d'algorithme à clés publiques. Cryptage RSA 4.1. Généralités
L'algorithme R.S.A (du nom des trois auteurs RIVEST, SHAMIR, ADLEMEN) est un exemple d'algorithme à clés publiques utilisé par les services secrets. On choisit deux nombres premiers distincts " très grands »petqet on considère le nombre N=pq. Connaissant
N, il est très difficile même pour les ordinateurs actuels de retrouverpetqlorsqueNa plus de 200 chiffres.
On choisit un entier naturelctel quecsoit premier avec (p-1)(q-1)et14.2. Principe de cryptage et du décryptage
N=pq c.d≡1((p-1)(q-1))Cryptage xest un entier naturel. Pour tous entiers naturels
0⩽x⩽N-1etC(x), sixcalorsbd≡a(p.q)
c.d=k≡1((p-1)(q-1))En utilisant la propriété 2, on aacd≡a(p.q).Si on poseb=acalors
bd=acdEt, bd≡a(p.q)4. Exemple d'algorithme à clés publiques. Cryptage RSA4.1. Généralités
L'algorithme R.S.A (du nom des trois auteurs RIVEST, SHAMIR, ADLEMEN) est un exemple d'algorithme à clés publiques utilisé par les services secrets. On choisit deux nombres premiers distincts " très grands »petqet on considère le nombre N=pq.Connaissant
N, il est très difficile même pour les ordinateurs actuels de retrouverpetqlorsqueNa plus de200 chiffres.
On choisit un entier naturelctel quecsoit premier avec (p-1)(q-1)et10⩽x⩽N-1
C(x)est le reste de reste de la division euclidienne dexcparN.C(x)≡xc(pq)et
Cryptographie.
DécryptageD(y)est le reste de la division euclidienne deydparN.D(x)≡yd(pq)et
0⩽D(y)⩽N-1.
Or, yd≡(xc)d(pq)On utilise la propriété 3. yd≡xcd(pq) yd≡x(pq)et0⩽x⩽N-1 Donc,D(y)=x4.3. Exemple
Pour les calculs, on utilisera le logiciel Xcas en choisissant des nombres premiers permettant l'utilisation de ce
logiciel. p=3559 q=4049( petqne sont pas des nombres premiers très grands)N=pq=14410391
(p-1)(q-1)=3558×4048=14402784 c=71est un nombre premier ne divisant pas pas(p-1)(q-1).On considère le mot CHRONOLOGIQUE
On obtient le nombre :
02071714131411140608162004 (26 chiffres)
xdoit être compris entre 0 et N-1. Or, Na huit chiffres, mais tout nombre de huit chiffres n'est pas nécessairement inférieur ou égal àN-1.On considère donc des nombres de 7 chiffres. (on pourrait prendre des nombres de 6 chiffres, ...).
On sépare le nombre donné, en commençant à gauche par des nombres de sept chiffres sauf le dernier de 5
chiffres.