Représentation des nombres flottants
3 14 En Binaire (approx): 11 001000111101 •Normalisez (21) •Enlevez le bit caché 1001000111101 Exposant = 127 + 1 10000000 Valeur est positive: Bit de signe = 0 0 10000000 10010001111010000000000
Le codage des nombres
Conversion en binaire Exemple : 28,8625 10 en binaire •Conversion de 28 : 11100 2 •Conversion de 0,8625 : 0,8625 x 2 = 1,725 = 1 + 0,725
Représentation d’un nombre en machine, erreurs d’arrondis
binaire Par exemple 39 32 4 2 1 25 22 21 20 p 100111 q 2, 3 625 21 20 2 1 2 3 p 11 101 q2 1 1101 2 2 1 Représentation d’un nombre en machine : nombres flottants De façon générale tout nombre réels x sera représenté dans une base b (b 10 pour une calculatrice b 2 pour un ordinateur) par son signe ( ou ), la
Conversion de nombres en virgule flottante 32 bits
Donc, -18 75 en nombre binaire à virgule flottante à 32 bits vaut : 1100 00011001 0110 0000 0000 0000 0000 → 116000b C h Remarque Le signe est défini comme : positif = 0, négatif = 1 ATTENTION Le nombre, positif ou négatif, n'est JAMAIS stocké en complément à 2
Notion de nombre ottant
partie d ecimale de notre nombre : 0011 Nous avons (101;0011) 2 qui est la repr esentation binaire de (5;1875) 10 Exercice 1: Trouvez la repr esentation binaire de (4;125) 10 Il est possible de retrouver une repr esentation d ecimale en base 10 a partir d’une repr esentation en binaire Partons de (100;0101) 2 Pas de probl eme pour la partie
Université de Bouira Faculté de sciences Rappel codage Codage
Un nombre flottant normalisé a une valeur v donnée par la formule suivante : v = s × 2e × m • s = ±1 représente le signe (selon le bit de signe) ; • e est l'exposant avant son décalage de 127 ; • m = 1+mantisse représente la partie significative (en binaire), d'où 1 ≤ m < 2 (mantisse étant la
TD 2 – Corrigé
1,0000000000000000000000000000 ← Nombre 1 + 0,0000000000000000000000101010 ← Petit nombre = 1,0000000000000000000000101010 ← Résultat Le codage de la mantisse du résultat doit contenir autre chose que 23 zéros si l’on souhaite obtenir une différence avec le codage de la mantisse du nombre 1 Le plus petit nombre possible
Exercices Corrigés Exercice 1
Donner la représentation décimale des entiers signés suivant (codés en binaire complément à deux) : 11001101 et 00001101 Convertir en binaire, puis calculer sur 8 bits (-13) + 13, 23-46 et 127+2 Combien de bits sont nécessaires pour coder en binaire les entiers naturels inférieurs ou égaux à n Correction
Dieu a créé les entiers naturels, tout le L Kronecker Alain
Flottant 164 Format IEEE 754-1985: Limites Longueur totale mantisse + bit implicite exposant biais, max, min domaine approximatif précision approximative plus petit nombre normalisé plus petit nombre ≠ 0 32 bits 23 + 1 bits 8 bits 127, +127, -126 2 ≈3,8 10 2 ≈10 2 ≈10 2 64 bits 52 + 1 bits 11 bits 1023, +1023, -1022
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Rappel codage Chapitre 2: codage de l'information ModuleCodage et représentation de l'informationFilièreMI1ère Année
Représentation des entiers négatifs:
Valeur signée :
décimalsignevaleur1300001101
-1310001101Complément à 1 : inverser tous les bits.
décimalvaleur1300001101
-1311110010 Complément à 2 : inverser tous les bits et ajouter 1. décimalvaleur1300001101
-1311110010 +1= 11110011Virgule flottante IEEE 754 (32 bits)
L'exposant est donc décalé de dans ce cas. L'exposant d'un nombre normalisé va donc de-126 à +127. L'exposant -127 (qui est décalé vers la valeur 0) est réservé pour zéro et les nombres
dénormalisés, tandis que l'exposant 128 (décalé vers 255) est réservé pour coder les infinis et les NaN (voir
le tableau précédent). Un nombre flottant normalisé a une valeur v donnée par la formule suivante : v = s × 2e × m. ·s = ±1 représente le signe (selon le bit de signe) ; ·e est l'exposant avant son décalage de 127 ; partie décimale de la partie significative, comprise entre 0 et 1)Par exemple pour 0b 0 01111100 01000000000000000000000 : le signe est nul, l'exposant est 124 - 127 =
-3, et la partie significative est 0b 1,01 soit 1,25 en décimal (1×20 + 0×2-1 + 1×2-2) ; le nombre représenté est
donc +1,25×2-3 soit +0,15625.Novembre 20131/5
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Rappel codage Chapitre 2: codage de l'information ModuleCodage et représentation de l'informationFilièreMI1ère Année
Exercice corrigé 4
Convertir le nombre décimal 8,625 en virgule flottante suivant la norme IEEE 754 :Corrigé :
Conversion de 8,625 en binaire :
-Partie entière : 8 => 1000 -Partie décimale : 0,625 => 0,101r8,625 => 1000,101 ·Normalisation : 1000,101 x 20 <=> 0,1000101 x 24 ·Pseudo-normalisation IEEE 754 : <=> 1,0001010 x 23 (de la forme 1,xxxx où xxx = pseudo mantisse) ·Décomposition du nombre en ses divers éléments : oBit de signe : 0 (Nombre >0) oExposant sur 8 bits biaisé à 127 => 3 + 127 = 130 => 10000010 oPseudo mantisse sur 23 bits : 0001010 00000000 00000000SigneExposant biaiséPseudo mantisse
01 0 0 0 0 0 1 00 0 0 1 0 1 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0 0
Binary Coded Decimal
012345678910
Code Gray
012345678910
Codage décimalCodage binaire naturelCodage Gray ou binaire réfléchi000000000
100010001
200100011
300110010
401000110
501010111
601100101
701110100
Novembre 20132/5
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Rappel codage Chapitre 2: codage de l'information ModuleCodage et représentation de l'informationFilièreMI1ère Année
Méthode de création
·si le nombre de 1 est pair, il faut inverser le dernier chiffre.·si le nombre de 1 est impair, il faut inverser le chiffre situé à gauche du 1 le plus à droite.