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Représentation des nombres flottants

3 14 En Binaire (approx): 11 001000111101 •Normalisez (21) •Enlevez le bit caché 1001000111101 Exposant = 127 + 1 10000000 Valeur est positive: Bit de signe = 0 0 10000000 10010001111010000000000

Le codage des nombres

Conversion en binaire Exemple : 28,8625 10 en binaire •Conversion de 28 : 11100 2 •Conversion de 0,8625 : 0,8625 x 2 = 1,725 = 1 + 0,725

Représentation d’un nombre en machine, erreurs d’arrondis

binaire Par exemple 39 32 4 2 1 25 22 21 20 p 100111 q 2, 3 625 21 20 2 1 2 3 p 11 101 q2 1 1101 2 2 1 Représentation d’un nombre en machine : nombres flottants De façon générale tout nombre réels x sera représenté dans une base b (b 10 pour une calculatrice b 2 pour un ordinateur) par son signe ( ou ), la

Conversion de nombres en virgule flottante 32 bits

Donc, -18 75 en nombre binaire à virgule flottante à 32 bits vaut : 1100 00011001 0110 0000 0000 0000 0000 → 116000b C h Remarque Le signe est défini comme : positif = 0, négatif = 1 ATTENTION Le nombre, positif ou négatif, n'est JAMAIS stocké en complément à 2

Notion de nombre ottant

partie d ecimale de notre nombre : 0011 Nous avons (101;0011) 2 qui est la repr esentation binaire de (5;1875) 10 Exercice 1: Trouvez la repr esentation binaire de (4;125) 10 Il est possible de retrouver une repr esentation d ecimale en base 10 a partir d’une repr esentation en binaire Partons de (100;0101) 2 Pas de probl eme pour la partie

Université de Bouira Faculté de sciences Rappel codage Codage

Un nombre flottant normalisé a une valeur v donnée par la formule suivante : v = s × 2e × m • s = ±1 représente le signe (selon le bit de signe) ; • e est l'exposant avant son décalage de 127 ; • m = 1+mantisse représente la partie significative (en binaire), d'où 1 ≤ m < 2 (mantisse étant la

TD 2 – Corrigé

1,0000000000000000000000000000 ← Nombre 1 + 0,0000000000000000000000101010 ← Petit nombre = 1,0000000000000000000000101010 ← Résultat Le codage de la mantisse du résultat doit contenir autre chose que 23 zéros si l’on souhaite obtenir une différence avec le codage de la mantisse du nombre 1 Le plus petit nombre possible

Exercices Corrigés Exercice 1

Donner la représentation décimale des entiers signés suivant (codés en binaire complément à deux) : 11001101 et 00001101 Convertir en binaire, puis calculer sur 8 bits (-13) + 13, 23-46 et 127+2 Combien de bits sont nécessaires pour coder en binaire les entiers naturels inférieurs ou égaux à n Correction

Dieu a créé les entiers naturels, tout le L Kronecker Alain

Flottant 164 Format IEEE 754-1985: Limites Longueur totale mantisse + bit implicite exposant biais, max, min domaine approximatif précision approximative plus petit nombre normalisé plus petit nombre ≠ 0 32 bits 23 + 1 bits 8 bits 127, +127, -126 2 ≈3,8 10 2 ≈10 2 ≈10 2 64 bits 52 + 1 bits 11 bits 1023, +1023, -1022

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Flottant 158

Virgule flottante

Dieu a créé les entiers naturels, tout lereste a été fait par l'hommeL. Kronecker Techniques de l'Informatique et de la Microélectronique pour l'Architecture. Unité associée au C.N.R.S. n° B0706 (33) 04 76 57 46 16

Alain.Guyot@imag.fr

http://tima-cmp.imag.fr/Homepages/guyot

Alain GUYOT

Concurrent Integrated Systems

TIMA

Flottant 159

Dieu a créé les entiers naturels, tout le reste a été fait par l'hommeL. Kronecker But de la virgule flottante: Représentation et calcul des nombres réels. Approximés par des rationnels (avec une certaine erreur) Problèmes d'implémentation: les opérations sur les réels sont

assez complexes et ont une grande influence sur les performances de la machine La puissance de calcul se mesure en MFLOP (million de flottant par seconde). Actuellement de 5 à 200.

Solutions: 1- Anticipation

2- Prédiction

3- SpéculationBut du "standard": assurer la portabilité des logiciels de calcul.

Flottant 160

Standard ANSI/IEEE 754-1985 for

Binary Floating-Point Arithmetic

Le standard spécifie: 1-Les formats virgule flottante simple et double précision normalisés 2-Les échappement du format: ±0, ± , dénormalisé, nonnombres (NaN) 3-Les opérations addition, soustraction, multiplication, division,racine carrée, reste et comparaison (pas de fonction prévue) 4-Les conversions entre entiers et virgule flottante 5-Les conversions entre formats virgule flottante 6-Les conversions entre virgule flottante et chaîne décimales 7-Les modes d'arrondi (très important) 8-Les exceptions et leurs traitement

Flottant 161

Format IEEE 754-1985 Réels Normalisés

format double précision S

63 510

exposant mantisse format simple précision 031
S 22
mantisse exposant

V = (-1)

r 31
×2 r i+23

Σi=07

2 i -127 2 23
+ r 2 ii i =0222 23

Calcul de la valeur de

V

Mantisse normalisée

Champs et bits dans les champs rangés par importance décroissante

Flottant 162

Normalisation de la mantisse

(ou significande)

Avantages

1- Notation unique 11,00 2

-1

1,10 2

0

0,11 2

1 *= 3 = 1,5 = 0,75 * 12 *2non valide non valide

2 - "1" avant la virgule implicite (peut être omis ou caché)

Inconvénients

1 - La valeur "0" ne s'exprime pas

2 - Les valeur "petites" ( < 2 ) ne s'expriment pas? [ 1, 2 [

min expo

Flottant 163

Représentation "biaisée" de l'exposant

Avantages

Pas de "bit de signe".

1- Comparaison de nombres:

nombres en virgule flottante ≡entiers (les champs sont par ordre de signification)

Inconvénients

Lorsqu'on ajoute deux exposants, il faut rajouter le biais Lorsqu'on soustrait deux exposants, il faut retrancher le biai s.

Remarque: la représentation biaisée (biased) s'appelle également la représentation par excès (excess)

2- Comparaison d'exposant

S champs le plus significatifchamps le moins significatif

Flottant 164

Format IEEE 754-1985: Limites

Longueur totale

mantisse + bit implicite exposant biais, max, min domaine approximatif précision approximative plus petit nombre normalisé plus petit nombre ≠032 bits

23 + 1 bits

8 bits

127, +127, -126

2

3,8 10

2 ≈

10 2 10

264 bits

52 + 1 bits

11 bits

1023, +1023, -1022

2

9 10

2 10 2 10 2

128 38

-23 -7 -126 -381024 307 -52 -15 -1022 -308

Mantisse normalisée ?

1- Notation spéciale du 02- Notation spéciale de nombres "dénormalisés"

3- Notations spéciales pour

et NaN(Not aNumber ) -148 -1073 Le rapport entre la masse de l'univers et celle du proton est d'environ 10 78
(Paul Dirac)

Flottant 165

Standard IEEE 754-1985

Échappements des formats

Le standard spécifie pour les simple précision:

1-Si e = 255 et m ≠0 alors v est NaN

2-Si e = 255 et m = 0 alors v est (-1)

s

3-Si 0 < e < 255 alors v = (-1)

s 2 e-127 (1,m)

4-Si e = 0 et m ≠0 alors v = (-1)

s 2 -126 (0,m) (dénormalisé)

5-Si e = 0 et m = 0 alors v = (-1)

s 0 Le standard spécifie pour les double précision:

1-Si e = 2047 et m ≠0 alors v est NaN

2-Si e = 2047 et m = 0 alors v est (-1)

s

3-Si 0 < e < 2047 alors v = (-1)

s 2 e-1023 (1,m)

4-Si e = 0 et m ≠0 alors v = (-1)

s 2 -1022 (0,m) (dénormalisé)

5-Si e = 0 et m = 0 alors v = (-1)

s 0

Flottant 166

Standard IEEE 754-1985 Algèbre d'exceptions

0 0 0 x x x NaN NaN NaN0 y 0 y 0 y 0 y 0 z z

0, z ou

NaN NaN NaN NaN0 0 NaN 0

0, z ou

NaN NaN NaN

NaNNaN

0 0

0, z ou

0 NaN NaN NaN NaN

NaNa b a + b a * b a ÷ b

x > 0 y > 0 z > 0

Flottant 167

Standard IEEE 754-1985 Incohérence

a = Lnn (Lnn est le plus grand nombre représentable) b = a + a c = b ÷ a d = 1 ÷ c e = 1 ÷ ( d - 0,5)b = Lnn+Lnn = 2 Lnn c = 2 (Lnn ÷ Lnn) = 2 d = 1 ÷ 2 = 0,5 e = 1 ÷ (0,5 - 0,5) =b = Lnn+Lnn = c = ÷ Lnn = d = 1 ÷ = 0 e = 1 ÷ ( 0 - 0,5) = -2 Exécution théorique Exécution réelle1: 2: 3: 4: 5: " It makes me nervous to fly an airplane since I know they are designed using floating-point arithmetic " Anton Householder, un des pères de l'algorithmique numérique

Flottant 168

Nombres dénormalisés

(1) optionnels dénormalisé précision absolue constantenormalisé (précision relative constante ≈2 , 2 ) -23 0 pas 2 pas 2 -125 pas 2 -124 plus petit nombre normalisé plus petit nombre positifquotesdbs_dbs5.pdfusesText_9