The Jacobson radical - University of Washington
local ring with maximal ideal the augmentation ideal IG, so J(FG) = IG (Exercise ) Note that if Ris local with maximal ideal m, then R=m is a division ring (because it has no proper nonzero left ideals) For us, it is almost invariably a eld (even when Ris noncommutative) 2 Semisimplicity and the Jacobson radical
TD2 : Généralités sur les anneaux et les modules
arlerpons dans un TD ultérieur de l'exercice 13 Exercice 1 (à préparer) : Radical d'un idéal (ex 15 du TD1) Soientp Aun anneau et Iun idéal de A On appelle radical de Il'ensemble I= fa2Aj9n2N ;an 2Ig 1 Montrer que p Iest un idéal 2 Reconnaître p Aet p (0) 3 Soit Jun idéal de A Déterminer si les assertions suivantes sont
Corrigé du TD 1
On fait une récurrence sur le nombre d'indéterminées et on utilise le fait (évident) qu'un quotient d'un anneau n÷thérien est n÷thérien Remarque : Dans un anneau A, le radical d'un idéal Iest l'idéal noté √ Iconstitué des éléments de Aqui ont une puissance dans I Le radical de Iest aussi égal à l'intersection des idéaux
Idéaux - univ-toulouse
L’exercice ci-dessus indique un lien entre l’arithmétique dans A et les relations entre ses idéaux;envoiciuneconfirmation Proposition3 1 3 Supposonsquel’idéalAx1+···+Axnestprincipal:
Agcorrigés - Free
est un isomorphisme de groupes (la loi au départ étant bien sûr l’addition) Mais cela pose un problème de commutation de a et b On va essayer de trouver un élément a qui commute avec tous les autres, en arrivant par des moyens si possibles modestes à une application classique de l’action d’un groupe sur un ensemble et de l
ALGEBRE` APPROFONDIE Notes de M2 (1995–1996)
modulo nest un homomorphisme d’anneaux 1 5 D´efinition Un sous-ensemble I d’un anneau Aest un id´eal, si I est stable par l’addition et si ∀a∈ A,a· I⊂ I N B Un id´eal est stable par addition et multiplication et donc peut ˆetre consid´er´e comme sous-anneau (sans 1), mais la r´eciproque est faux 1 6 Exemples
Courbes algébriques (notes de cours v2)
Un idéal r d’un anneau Aest dit radical lorsque l’anneau quotient A=r est un anneau réduit, autrement dit lorsque xn 2r implique x2r (la réciproque est toujours vraie) Un idéal premier (et a fortiori un idéal maximal) est, en particulier, un idéal radical 1 1 10 À titre d’exemple, parmi les idéaux de Z (dont on rappelle qu
21 Dé nitions, premières propriétés 7 22 Morphismes entre
4 3 Les idéaux d'un anneau quotient 23 4 4 Le théorème chinois sous sa forme générale 24 5 Idéaux premiers, maximaux 26 5 1 Dé nitions, premières propriétés 26 5 2 Existence d'un idéal maximal 28 6 Localisation 31 6 1 Dé nitions, premières propriétés 31 6 2 Idéaux d'un anneau localisé 37 7 Anneaux principaux 39 7 1
ALGÈBRE 2 ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE 2012–2013
d’anneaux Le noyau d’un morphisme d’anneaux f : ABest un idéal de Anoté Ker(f) (mais l’image de f n’est en général pas un idéal de B) Plus généralement, l’image réciproque par fd’un idéal de Best un idéal de A Si Iest un idéal de A, le morphisme fse factorise par la projection AA=Isi et seulement si I Ker(f
Feuille d’exercices n 13 : Anneaux
(Un exemple d’anneau ni factoriel, ni noethérien) 1 Montrerquepouruncorps K quelconque, K [ X 2 ,X 3 ] ⊂ K [ X ] n’estpasfactorielmalgrél’existence d’une décomposition en irréductibles
[PDF] accueil 6eme prof principal
[PDF] réacteur photochimique exemple
[PDF] idéaux de z/nz
[PDF] anneau principal est factoriel
[PDF] anneau euclidien
[PDF] anneau factoriel non principal
[PDF] anneau principal non euclidien
[PDF] a quoi sert le sang wikipedia
[PDF] ideas association
[PDF] sinus carotidien barorécepteur
[PDF] ideas logiciel
[PDF] role du sinus carotidien sur l'activité cardiaque
[PDF] ideas economics
[PDF] ideas traduction
Olivier Debarre
ALGÈBRE 2
ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE
2012-2013
Olivier Debarre
ALGÈBRE 2
ÉCOLE NORMALE SUPÉRIEURE
2012-2013
Olivier Debarre
TABLE DES MATIÈRES
I. Extensions de corps.. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. ... .. .. .. .. .. .. .. .. .. .. . 1
1. Anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.1. Idéaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1
1.2. Divisibilité, éléments irréductibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2
1.3. Anneaux principaux, anneaux euclidiens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3
2. Corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
2.1. Caractéristique d"un corps. . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . . . . . .. . . . . . . . . . . . . 5
2.2. Racines de l"unité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.3. Extensions de corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.4. Éléments algébriques et transcendants. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.5. Constructions à la règle et au compas. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 9
3. Polynômes et racines... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... ....... . 11
3.1. Corps de rupture. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
3.2. Corps de décomposition. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
3.3. Clôture algébrique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12
4. Extensions normales. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15
5. Séparabilité. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.1. Polynômes séparables. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
5.2. Corps parfaits. .. .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. .. .. ... .. .. ... .. .. .. ... .. 18
5.3. Extensions séparables....... ............. ............. ............. ............. ... 19
5.4. Théorème de l"élément primitif. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
5.5. Corps finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
5.6. Trace. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 23
6. Théorie de Galois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.1. Groupe de Galois d"une extension de corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 25
6.2. Groupe de Galois deK ,!K(X)et théorème de Lüroth. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
viTABLE DES MATIÈRES6.3. Extensions galoisiennes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
6.4. Correspondance de Galois, lemme d"Artin. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
6.5. Clôture galoisienne. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
7. Théorie de Galois générale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 32
8. Applications de la théorie de Galois. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.1. Correspondance de Galois pour les corps finis. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
8.2. Constructibilité à la règle et au compas, polynômes cyclotomiques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34
8.3. Extensions cycliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
8.4. Extensions radicales, équations résolubles par radicaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
II. Modules. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
1. Modules libres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43
2. Modules de torsion. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
3. Modules de type fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
4. Modules de type fini sur les anneaux principaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47
4.1. Application aux groupes abéliens de type fini. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.2. Application à la réduction des endomorphismes. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
III. Anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57
1. Anneaux factoriels.. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. .. . .. .. .. .. .. . .. .. .. 58
2. Anneaux noethériens.. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. .. .. . .. 61
3. Radical d"un idéal. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
4. Décomposition primaire. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 66
4.1. Idéaux primaires, idéaux irréductibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
4.2. Décomposition primaire dans un anneau noethérien. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
4.3. Idéaux premiers associés, idéaux premiers immergés. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
5. Topologie de Zariski. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.1. Spectre d"un anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74
5.2. Espaces topologiques irréductibles, composantes irréductibles. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 78
5.3. Espaces topologiques noethériens. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
5.4. Dimension d"un espace topologique, dimension de Krull d"un anneau. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81
6. Localisation. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
7. Hauptidealsatz. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
8. Extensions finies et entières d"anneaux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 87
8.1. Traces d"entiers. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
8.2. Anneaux intégralement clos. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90
9. Lemme de normalisation de Noether. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 93
10. Théorème des zéros de Hilbert. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
TABLE DES MATIÈRESvii
11. "Going-up» et théorème de Cohen-Seidenberg. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
12. Bases et degré de transcendance. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105
13. "Going-down». . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 107
14. Dimension des algèbres de type fini sur un corps. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
15. Anneaux de valuation discrète. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 112
16. Anneaux de Dedekind. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 114
Bibliographie. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
CHAPITRE I
EXTENSIONS DE CORPS
1. Anneaux
Nous reviendrons au chapitre III plus longuement sur la théorie des anneaux. Nous nous contentons ici
des quelques préliminaires nécessaires pour aborder la théorie des extensions de corps.Tous nos anneaux sont commutatifs unitaires (mais il se peut que1 = 0; cela arrive si et seulement si
l"anneau est nul!). Un morphisme (d"anneaux unitaires)f:A!Bdoit vérifierf(1A) = 1B.Un élément deAestinversible(on dit aussi que c"est uneunitédeA) s"il admet un inverse pour la
multiplication. L"ensemble des éléments inversibles, muni de la multiplication, est un groupe noté habi-
tuellementA.Un anneauAestintègre(" anneau intègre » se dit " integral domain », ou simplement " domain » en
anglais) s"il n"est pas nul et si le produit de deux éléments non nuls deAest encore non nul. C"est uncorps
s"il n"est pas nul et si tout élément non nul deAadmet un inverse. Si un anneauAest intègre, on définit soncorps des quotients(oucorps des fractions)KAcomme l"ensemble des "fractions» ab , aveca2Aetb2Af0g, modulo la relation d"équivalence ab a0b0()ab0=a0b:
Muni des opérations (addition et multiplication) habituelles sur les fractions, on vérifie queKAest bien un
corps.Exercice 1.1. - SoitAun anneau.
a) SiAest intègre, montrer que l"anneauA[X]des polynômes à une indéterminée à coefficients dansAest
aussi intègre. b) SiAest intègre, quelles sont les unités deA[X]?c) SiAest quelconque, caractériser les unités deA[X](c"est difficile à faire directement! Noter que(2X+
1)2= 1dans(Z=4Z)[X], donc2X+ 1est une unité dans cet anneau).
1.1. Idéaux. -SiAest un anneau, une partieIAest unidéalsi c"est un sous-groupe additif et si,
pour touta2Aet toutb2I, on aab2I. C"est exactement la propriété qu"il faut pour pouvoir mettre sur
le groupe additifA=Iune structure d"anneau qui fait de la projection canoniqueA!A=Iun morphisme d"anneaux. Le noyau d"un morphisme d"anneauxf:A!Best un idéal deAnotéKer(f)(mais l"image defn"est en général pas un idéal deB). Plus généralement, l"image réciproque parfd"un idéal deBest un
idéal deA. SiIest un idéal deA, le morphismefse factorise par la projectionA!A=Isi et seulement
siIKer(f). Exemple 1.2. - L"anneauAest un corps si et seulement si ses seuls idéaux sontf0getA. Exemple 1.3. - Les idéaux de l"anneauZsont lesIn=nZ, avecn2N.2CHAPITRE I. EXTENSIONS DE CORPS
L"intersection d"une famille quelconque d"idéaux deAest encore un idéal deA. SiSest une partiedeA, l"intersection de tous les idéaux deAcontenantSest donc un idéal deAque l"on notera(S), ouAS.
C"est l"ensemble des sommes finiesPn
i=1aisi, pourn2N,ai2Aetsi2S.SoitIun idéal de l"anneauA. L"anneauA=Iest intègre si et seulement siIest unidéal premier,c"est-
à-dire qu"il est distinct deAet qu"il vérifie la propriété :8a;b2A ab2I)(a2Ioub2I):
L"anneauA=Iest un corps si et seulement siIest unidéal maximal,c"est-à-dire qu"il est distinct deA
et que l"unique idéal deAcontenant strictementIestA(en particulier, tout idéal maximal est évidemment
premier). Il résulte du théorème de Zorn que tout idéal deAdistinct deAest contenu dans un idéal
maximal (1). En particulier, tout anneau non nul possède un idéal maximal. Exemple 1.4. - L"anneauAest un corps si et seulement sif0gest un idéal maximal deA. Exercice 1.5. - SoitAun anneau. Montrer l"égalité[ midéal maximal deAm=AA Exercice 1.6. - SoitCl"anneau des fonctions continues de[0;1]dansR. a) Montrer que les idéaux maximaux deCsont les I x=ff2Cjf(x) = 0g; pour chaquex2[0;1](pour lesquelsC=Ix'R).b) Montrer que tout idéal premier deCest contenu dans un unique idéal maximal deC, et qu"il y est dense
(pour la topologie de la convergence uniforme). Tout idéal premier fermé deCest donc maximal(2).
1.2. Divisibilité, éléments irréductibles. -SoitAun anneau intègre et soientaetbdes éléments deA.
On dit queadiviseb, et on écritajb, s"il existeq2Atel queb=aq. En termes d"idéaux, c"est équivalent
à(a)(b). En particulier,0ne divise que lui-même, et une unité divise tous les éléments deA.
On a (ajbetbja) si et seulement s"il existeu2Atel quea=ub. On dit alors queaetbsont associés. Un élément deAestirréductiblesian"est pas inversible et que sia=xy, alors soitx, soityestinversible. La seconde condition signifie que les seuls diviseurs deasont ses associés et les unités deA.
Enfin, on dit que des éléments deAsontpremiers entre euxsi leurs seuls diviseurs communs sont les
unités deA. Par exemple, siaest irréductible, tout élément deAest ou bien premier aveca, ou bien
divisible para.Exemple 1.7. - Les éléments irréductibles deZsont lesp, avecpnombre premier. Ceux deR[X]sont
les polynômes de degré 1 et les polynômes de degré 2 sans racine réelle.Soitaun élément non nul deA. Si l"idéal(a)est premier,aest irréductible, mais la réciproque est
fausse en général, comme le montre l"ex. 1.9 ci-dessous. Exemple 1.8. - Sin>1, l"anneauZ=nZest intègre si et seulement sinest premier. C"est alors un corps. On anest un nombre premier,l"idéal(n)est premier,nest irréductible.1. SoitIun idéal deAdistinct deA. L"ensemble des idéaux deAcontenantIet distincts deAest inductif car si(Ij)j2Jest une
famille totalement ordonnée d"idéaux deAdistincts deA, la réunionS j2JIjest encore un idéal (parce que la famille est totalement ordonnée) distinct deA(parce qu"elle ne contient pas1A). On applique alors le lemme de Zorn.2. En revanche, la description générale des idéaux premiers deCest un problème très difficile! Même montrer qu"il existe des
idéaux premiers non maximaux n"est pas évident (cf.exerc. III.3.4).1. ANNEAUX3
Exemple 1.9. - Dans le sous-anneauZ[ip5]deC, le nombre 3 est irréductible (pourquoi?) mais l"idéal(3)n"est pas premier, car 3 divise le produit(1 +ip5)(1ip5)mais aucun des facteurs.Noter que la " bonne façon » de voir l"anneauZ[ip5]est de le considérer comme l"anneau quotient
Z[X]=(X2+ 5): inutile de construireCpour cela!
1.3. Anneaux principaux, anneaux euclidiens. -Un anneauAestprincipal(" principal ideal do-
main», ou "PID»,en anglais) siAest intègreet quetout idéal deAest principal,c"est-à-dire qu"ilpeut être
engendré par un élément. L"anneauZest donc principal (ex. 1.3), mais pas l"anneauCde l"ex. 1.6, ni l"an-
neauZ[X]des polynômes à coefficients entiers, ni l"anneauK[X;Y]des polynômes à deux indéterminées
à coefficients dans un corpsK.
Dans la pratique, on montre souvent qu"un anneau intègre est principal en exhibant unedivision eucli-
dienne surA,c"est-à-dire une fonction':Af0g !Ntelle que pour tous élémentsaetbdeA, avec b6= 0, on puisse écrirea=bq+ravecr= 0, our6= 0et'(r)< '(b). Les deux exemples fondamentaux sont : l"anneauZest euclidien pour la fonction'(n) =jnj; siKest un corps, l"anneauK[X]est euclidien pour la fonction'(P) = deg(P).Si on a une telle fonction', on montre qu"un idéalInon nul deAest engendré par tout élémentxnon nul
deIpour lequel'(x)est minimal.Exercice 1.10. - SiKest un corps, l"anneau des séries formellesK[[X]]est euclidien. Ses idéaux sontf0g
et lesIm= (Xm)pour chaquem2N.Exercice 1.11. - L"anneau des nombres décimaux (c"est-à-dire les nombres rationnels dont le développement
décimal est fini) est principal. Exercice 1.12. - Montrer que les idéaux maximaux de l"anneauCdes fonctions continues de[0;1]dansRne sont pas principaux (cf.exerc. 1.6 et III.2.17). Que se passe-t-il si l"on remplaceCpar l"anneau des fonctions
continues de classeC1de[0;1]dansR?Exercice 1.13. - SoitAunanneauintègredanslequeltoutidéalpremierestprincipal.Montrerquel"anneauA
est principal (Indication :on pourra considérer un élément maximalIdans la famille des idéaux non principaux
deA, des élémentsxetydeAItels quexy2I, un générateurzde l"idéalI+ (x), un générateurwde
l"idéalfa2Ajaz2Ig, et montrer quezwengendreI).Siaetbsont des éléments d"un anneau principalA, l"idéal(a;b)est engendré par un élément deA,
uniquement déterminé à multiplication par un élément inversible deAprès. On l"appelle unpgcd(" plus
grand commun diviseur»; "gcd» ou "greatest common divisor» en anglais) deaetb, parfois notéa^b.
De même, l"idéal(a)\(b)est engendré par un élément deA, uniquement déterminé à multiplication par
un élément inversible deAprès, leppcm(" plus grand commun multiple »; " lcm » ou " least common
multiple» en anglais) deaetb, parfois notéa_b. Dans ce contexte, le "théorème de Bézout», qui dit que
aetbsont premiers entre eux si et seulement s"il existexetydansAtels que xa+yb= 1est une tautologie. Mentionnons comme conséquence un résultat classique (nous reviendrons sur ces ques-
tions dans le § III.1). Lemme 1.14(Lemme de Gauss). -SoitAun anneau principal. Sia,betcsont des éléments deAtels queadivisebcmais est premier avecb, alorsadivisec. Démonstration. - Écrivonsbc=adetxa+yb= 1. On a alorsc= (xa+yb)c=xac+yad, qui est bien divisible para.4CHAPITRE I. EXTENSIONS DE CORPS
Dans un anneau principalA, les équivalences de l"ex. 1.8 restent vraies.Proposition 1.15. -SoitAun anneau principal et soitaun élément non nul deA. Les propriétés sui-
vantes sont équivalentes : (i)l"idéal(a)est premier, c"est-à-dire que l"anneau quotientA=(a)est intègre; (ii)aest irréductible; (iii)l"idéal(a)est maximal, c"est-à-dire que l"anneau quotientA=(a)est un corps. En particulier, l"anneauZ[ip5]de l"ex. 1.9 n"est pas principal.Démonstration. - On sait qu"en général (iii))(i))(ii). Supposonsairréductible et soitIun idéal
deAcontenant(a). CommeAest principal, on peut écrireI= (x), de sorte qu"il existey2Atel que a=xy. Commeaest irréductible, soitxest inversible etI=A, soityest inversible etI= (a). Commean"est pas inversible, on a(a)6=A, donc l"idéal(a)est maximal.Nous montrerons plus tard (cor. III.2.6) de façon indépendante que tout anneau principal estfactoriel,
c"est-à-dire que tout élément non nul s"écrit de façon unique comme produit d"irréductibles. Comme nous
aurons besoin dans le chapitre suivant de ce résultat dans le cas particulier de l"anneau principalK[X],
oùKest un corps, nous donnons ici une démonstrationad hoc. Théorème 1.16. -SoitKun corps. Tout élément non nulPdeK[X]admet une décomposition P=umY i=1P riiavecu2Ketm>0, où les polynômesP1;:::;Pmsont irréductibles unitaires, distincts deux à deux.
Cette décomposition est unique au sens suivant : siP=vQn i=1Qsiiest une autre telle décomposition, on am=net il existe une permutation2Smtelle queQi=P(i)etsi=r(i)pour touti2 f1;:::;mg.Démonstration. - On procède par récurrence sur le degré deP, les assertions étant claires lorsque celui-
ci vaut 0. Supposons doncPde degré>1et montrons d"abord l"existence d"une décomposition. SiPest irré-ductible de coefficient directeuru, on écrit simplementP=u(P=u). Sinon, il existe une décomposition
P=QRoùQetRsont non constants et on applique l"hypothèse de récurrence àQetR.C"est l"unicité qui est le point important. CommeQ1est irréductible, le lemme de Gauss (lemme 1.14)
entraîne queQ1divise l"un desPi, que l"on noteP(1). Comme ce dernier est irréductible et que ces
deux polynômes sont unitaires, ils sont égaux. Il suffit maintenant d"appliquer l"hypothèse de récurrence à
P=Q1=P=P(1).2. Corps
SiKetLsont des corps, unmorphisme (de corps)deKversLest un morphisme d"anneaux unitairesdeKversL; il est nécessairement injectif et l"on dit queLest uneextensiondeK. On identifiera souvent
une extensionK ,!Lavec une inclusionKL. L"intersection d"une famille quelconque de sous-anneaux deLest encore un sous-anneau deL. SiAest une partie deL, l"intersection de tous les sous-anneaux deLcontenantKetAest donc un sous-anneau deLque l"on noteraK[A]; c"est uneK-algèbre intègre appeléesous-anneau deLengendré parA.2. CORPS5
De même, l"intersection d"une famille quelconque de sous-corps deLest encore un sous-corps deL. Il
existe donc un plus petit sous-corps deLcontenantKetA, que l"on appelle lesous-corps deLengendré parA,notéK(A); c"est le corps des fractions deK[A]. On dit qu"une extensionK ,!Lestde type fini s"il existe une partie finieALtelle queL=K(A).2.1. Caractéristique d"un corps. -SoitKun corps. Il existe un plus petit sous-corps deK, appelé
sous-corps premierdeK: c"est le sous-corps engendré par1K. Il est isomorphe soit àQ, auquel cas on dit
queKest de caractéristique0, soit à un corps de la formeZ=pZ(que l"on note plus habituellementFp);
l"entierpest alors premier et l"on dit queKest de caractéristiquep. Dans ce dernier cas, on ap1K= 0K
et la formule magique (3) (1)8x;y2K(x+y)p=xp+yp:Autrement dit, l"application de Frobenius
Fr K:K!K x7!xp est un morphisme de corps (injectif). On noteKpson image.2.2. Racines de l"unité. -SoitKun corps et soitnun entier>1. On appelle groupe desracines
n-ièmes de l"unitédansKle groupe multiplicatif n(K) =f2Kjn= 1g:Il a au plusnéléments. Un élémentden(K)est ditracine primitiven-ième de l"unitésid6= 1pour
toutd2 f1;:::;n1g; en d"autres termes, siest d"ordrendans le groupen(K).S"il existe une racineprimitiven-ième de l"unité dansK,elle engendre le groupen(K), qui est alors isomorphe àZ=nZ. Il y
a alors '(n) := Card((Z=nZ)) = Cardfd2 f1;:::;n1g jd^n= 1g: différentes racines primitivesn-ièmes de l"unité. Exercice 2.1. - SoitKun corps de caractéristiquep >0et soitrun entier>1. Quels sont les groupes pr(K)? Proposition 2.2. -Pour tout corpsKet tout entiern>1, le groupen(K)est cyclique d"ordre un diviseur den. Plus généralement, tout sous-groupe fini de(K;)est cyclique. En particulier, le groupe multiplicatif d"un corps fini est cyclique. Démonstration. - Posonsm= Card(n(K)). Tout élémentden(K)est d"ordre un diviseurddem(par le théorème de Lagrange) et den(puisquen= 1); c"est alors une racine primitived-ième de l"unité.
On a vu plus haut que l"ensemblePdn(K)des racines primitivesd-ièmes de l"unité est soit vide, soit
de cardinal'(d). Comme n(K) =[ djm^nP d; on a doncm6P djm^n'(d). On vérifie (exercice!) que pour tout entiere>1, on aP dje'(d) =e. On en déduitm6m^n, doncmjn, etPm6=?. Il existe donc un élément d"ordremdansn(K), qui estainsi cyclique. Ceci montre le premier point.3. On peut l"obtenir en remarquant que la dérivée du polynôme(X+y)p2K[X]est nulle, de sorte que le coefficient deXi,
pour chaque0< i < p, est nul (puisque la dérivée deXine l"est pas).6CHAPITRE I. EXTENSIONS DE CORPS
SiGest un sous-groupe de(K;)de cardinalm, il est contenu par le théorème de Lagrange dans le groupe cycliquem(K), qui est de cardinal au plusm. On a doncG=m(K)'Z=mZ. Ceci termine ladémonstration de la proposition.Exercice 2.3. - SoitKun corps infini. Montrer que le groupe(K;)n"est pas cyclique.
2.3. Extensions de corps. -Ledegréd"une extension de corpsK ,!Lest la dimension duK-espace
vectorielL, notée[L:K]. L"extension est ditefiniesi ce degré l"est,infiniesinon. Exemple 2.4. - On a[C:R] = 2,[C:Q] =1et[K(X) :K] =1(4). Théorème 2.5. -SoientK ,!LetL ,!Mdes extensions de corps. On a [M:K] = [M:L][L:K]: En particulier, l"extensionK ,!Mest finie si et seulement si les extensionsK ,!LetL ,!Mle sont. Démonstration. - Soit(li)i2Iune base duK-espace vectorielLet soit(mj)j2June base duL-espace vectorielM. Nous allons montrer que la famille(limj)(i;j)2IJest une base duK-espace vectorielM. Cette famille est libre.Supposons que l"on ait une relationP (i;j)2IJki;jlimj= 0, avec deski;j2K presque tous nuls. On a 0 =X (i;j)2IJk i;jlimj=X j2J X i2Ik i;jli m j: Comme la famille(mj)j2Jest libre, on en déduit que pour chaquej2J, on a X i2Ik i;jli= 0: Comme la famille(li)i2Iest libre, on en déduit que pour chaquei2Iet chaquej2J, on aki;j= 0.Cette famille est génératrice.Soityun élément deM. Comme la famille(mj)j2Jest génératrice, il
existe desxj2Lpresque tous nuls tels quey=P j2Jxjmj. Comme la famille(li)i2Iest génératrice, il existe pour chaquej2Jdeski;j2Kpresque tous nuls tels quexj=P i2Iki;jli. On a donc y=P j2JP i2Iki;jli.On en déduit
[M:K] = Card(IJ) = Card(I)Card(J) = [M:L][L:K];ce qui termine la démonstration du théorème.2.4. Éléments algébriques et transcendants. -
Définition 2.6. - SoitK ,!Lune extension de corps et soitxun élément deL. On dit quexest algébrique surKs"il existe un polynôme non nulP2K[X]tel queP(x) = 0. Dans le cas contraire, on dit quexesttranscendant surK. L"extensionK ,!Lest ditealgébriquesi tous les éléments deLsont algébriques surK.Exemple 2.7. - Le corpsCest une extension algébrique deR. Le réelp2est algébrique surQ. L"en-
semble des réels algébriques surQest dénombrable : il existe donc des nombres réels transcendants
surQ(on dit souvent simplement " transcendants »). Le nombre réelP n>010n!est transcendant (Liou-ville, 1844), ainsi que(Lindemann, 1882).4. On ne se préoccupera pas des différentes "sortes» d"infini dans ce cours; mais ce degré devrait bien sûr être considéré comme
un cardinal.2. CORPS7
SoitK ,!Lune extension de corps et soitx2L. La sous-K-algèbreK[x]deLengendrée parxest l"image du morphisme deK-algèbres x:K[X]!LQ7!Q(x):
Théorème 2.8. -SoitK ,!Lune extension de corps et soitxun élément deL. a)Sixest transcendant surK, le morphisme'xest injectif, leK-espace vectorielK[x]est de dimen- sion infinie et l"extensionK ,!K(x)est infinie.b)Sixest algébrique surK, il existe un unique polynôme unitairePde degré minimal vérifiant
P(x) = 0. Ce polynôme est irréductible, on aK[x] =K(x)et cette extension deKest finie de degrédeg(P). On appellePlepolynôme minimaldexsurK.Démonstration. - La transcendance dexest équivalente par définition à l"injectivité de'x. Si'xest
injectif, le sous-anneauK[x]deLengendré parxest isomorphe àK[X]donc c"est unK-espace vectorielde dimension infinie. De même, le sous-corpsK(x)deLengendré parxest isomorphe à l"anneau des
fractions rationnellesK(X)(corps des fractions deK[X]) donc c"est unK-espace vectoriel de dimension infinie. Ceci montre a).Sixest algébrique surK, le noyau de'xest un idéal non nul deK[X], qui est donc principal (§ 1.3),
engendré par un polynôme non nul de degré minimalPqui annulex(c"est-à-direP(x) = 0). Il est
unique si on le prend unitaire. L"anneauK[x]est alors isomorphe à l"anneau quotientK[X]=(P)(§ 1.1).
Or l"anneauK[x]est intègre car c"est un sous-anneau deL; il s"ensuit que l"idéal(P)est premier, donc
que l"anneauK[X]=(P)est un corps (prop. 1.15) et il en est de même pourK[x]. Enfin, lesK-espaces vectorielsK[x]etK[X]=(P)sont aussi isomorphes, et on vérifie que ce dernier admet comme base lesclasses de1;X;:::;Xd1, oùd= deg(P). Ils sont donc de dimensiond.Exemple 2.9. - Sia+ibest un nombre complexe avecb6= 0, son polynôme minimal surRest(X
a)2+b2. Le polynôme minimal dep2surQestX22. Le sous-anneauQ[p2] =fx+yp2jx;y2Qg deRest un corps.Exercice 2.10. - SoitK ,!Lune extension de corps. Montrer qu"un élémentxdeLest algébrique surKsi
et seulement si l"anneauK[x]est un corps. Corollaire 2.11. -Toute extension finie de corps est algébrique. Attention! La réciproque est fausse (cf.ex. 2.16). Démonstration. - SoitK ,!Lune extension finie de corps et soitx2L. LeK-espace vectorielK[x]est contenu dansL, donc est de dimension finie. Le th. 2.8 entraîne quexest algébrique surK.Corollaire 2.12. -Toute extensionK ,!Lengendrée par un nombre fini d"éléments algébriques surK
est finie, donc algébrique. En particulier, toute extension de corps algébrique et de type fini est finie.
Démonstration. - On procède par récurrence sur le cardinal d"une partie finieALtelle queL= K(A). SiAest vide, c"est évident. Sinon, on prendx2Aet l"on poseL0=K(Afxg). L"hypothèse derécurrence entraîne que l"extensionK ,!L0est finie. Commexest algébrique surK, il l"est surL0, donc
L0,!Lest finie par le th. 2.8. Le corollaire résulte alors du th. 2.5 (et du cor. 2.11).Théorème 2.13. -SoitK ,!Lune extension de corps. L"ensemble des éléments deLalgébriques surK
est un sous-corps deLcontenantKappeléclôture algébrique deKdansL.C"est une extension algébrique
deK.8CHAPITRE I. EXTENSIONS DE CORPS
Attention à ne pas confondre cette notion avec celle de clôture algébrique deK, qui sera définie dans
le § 3.3. Sous les hypothèses du théorème, on dit queKest algébriquement clos dansLsi sa clôture
algébrique dansLestK(attention à ne pas confondre avec la définition de corps algébriquement clos (tout
court) donnée dans la déf. 3.9).Démonstration. - Soientxetydes éléments non nuls deLalgébriques surK. Le cor. 2.12 entraîne que
l"extensionK ,!K(x;y)est finie, donc algébrique. Les élémentsxyetx=ydeLsont donc algébriques
surK.Corollaire 2.14. -Toute extensionK ,!Lengendrée par des éléments algébriques surKest algébri-
que. Démonstration. - SoitALun ensemble d"éléments deLalgébriques surKet engendrantL. Laclôture algébrique deKdansLcontientA, donc c"estL, qui est donc une extension algébrique deKpar
le théorème.Exemple 2.15. - Le réelp2 + p3 + p5est algébrique (surQ), de même que le nombre complexep2 + p3 +ip5. Exemple 2.16. - Le corpsQCdes nombres algébriques (surQ) est une extension algébrique deQ.Elle n"est pas finie (parce que, comme on le verra plus tard, par exemple dans l"exerc. III.1.12, il existe des
polynômes irréductibles dansQ[X]de degré arbitrairement grand). Théorème 2.17. -SoientK ,!LetL ,!Mdes extensions de corps. Si un élémentxdeMest algébrique surLet queLest une extension algébrique deK, alorsxest algébrique surK. En particulier, siLest une extension algébrique deKet queMest une extension algébrique deL, alorsMest une extension algébrique deK.Démonstration. - Si un élémentxdeMest algébrique surL, il est racine d"un polynômeP2L[X].
Si l"extensionK ,!Lest algébrique, l"extensionL0LdeKengendrée par les coefficients dePestalors finie (cor. 2.12). Commexest algébrique surL0, l"extensionL0,!L0(x)est finie (th. 2.8). Le th. 2.5
entraîne que l"extensionK ,!L0(x)est finie, donc algébrique (cor. 2.11), etxest algébrique surK.SoitK ,!Lune extension de corps et soientx1;:::;xndes éléments deL. On montrera plus tard
(th. III.10.2) que l"extensionK ,!K(x1;:::;xn)est algébrique si et seulement si l"anneauK[x1;:::;xn]
est un corps (cela généralise l"exerc. 2.10, mais c"est bien plus difficile!). Remarque 2.18. - SiK ,!LetL ,!Msont des extensions de corps, on a donc (th. 2.5 et th. 2.17)K ,!LetL ,!Mfinies()K ,!Mfinie,
K ,!LetL ,!Malgébriques()K ,!Malgébrique.
L"équivalence
K ,!LetL ,!Mde type fini()K ,!Mde type fini
est aussi vraie, mais plus difficile à montrer (cf.exerc. III.12.4). Exercice 2.19. - On considère le corpsK=Q(T)et ses sous-corpsK1=Q(T2)etK2=Q(T2T). Montrer que les extensionsK1KetK2Ksont algébriques, mais pas l"extensionK1\K2K.2. CORPS9
2.5. Constructions à la règle et au compas. -
Définition 2.20. - Soitun sous-ensemble deR2. On dit qu"un pointP2R2estconstructible (àla règle et au compas) à partir desi on peut obtenirPà partir des points depar une suite finie
d"opérations de l"un des types suivants :prendre l"intersection de deux droites non parallèles passant chacune par deux points distincts déjà
construits;prendre l"un des points d"intersection d"une droite passant par deux points distincts déjà construits
et d"un cercle de rayon joignant deux points distincts déjà construits;prendre l"un des points d"intersection de deux cercles distincts, chacun de rayon joignant deux points
distincts déjà construits.Exercice 2.21. - On dira qu"une droite est constructible (à partir de) si elle passe par deux points construc-
tibles distincts, et qu"un cercle est constructible si son centre l"est et qu"il passe par un point constructible.
Montrer que la perpendiculaire et la parallèle à une droite constructible passant par un point constructible sont
constructibles. Montrer que le cercle de centre un point constructible et de rayon la distance entre deux points
constructibles est constructible.Exercice 2.22. - SoitKun corps de caractéristique 3. Montrer que les médianes de tout triangle dansK2
sont parallèles. Siest un sous-ensemble deRcontenant0et1, on dit qu"un réelxest constructible à partir desi c"est l"abcisse d"un pointPconstructible à partir de f0gau sens de la définition ci-dessus. Par
l"exerc. 2.21, cela revient au même de dire que le point(x;0)est constructible à partir de f0g.
Théorème 2.23. -Soitun sous-ensemble deRcontenant0et1. L"ensembleCdes réels construc- tibles à partir deest un sous-corps deRtel que, six2C, alorspjxj 2C.Démonstration. - L"addition et l"opposé sont évidents. La multiplication et l"inverse s"obtiennent à partir
du théorème de Thalès et la racine carrée à partir de celui de Pythagore.En particulier, être constructible à partir def0;1gest la même chose qu"être constructible à partir deQ;
on dit simplement "constructible».Théorème 2.24(Wantzel, 1837). -SoitKun sous-corps deR. Un réelxest constructible à partir de
Ksi et seulement s"il existe une suite d"extensionsK=K0K1 KnR
telle que[Ki:Ki1] = 2etx2Kn.Avant de démontrer le théorème, on va décrire en général les extensions de degré 2.
Lemme 2.25. -SoitKun corps de caractéristique différente de2et soitK ,!Lune extension de degré2. Il existex2LKtel quex22KetL=K[x]. On remarquera que l"extensionZ=2Z,!(Z=2Z)[X]=(X2+X+ 1), de degré 2 entre corps de carac- téristique 2, ne peut être engendrée par un élément dont le carré est dansZ=2Z. Démonstration. - Siy2LK, la famille(1;y)estK-libre, donc c"est une base duK-espace vecto- rielL. Il existe doncaetbdansKtels que y2=ay+b:
10CHAPITRE I. EXTENSIONS DE CORPS
Comme la caractéristique deKest différente de 2, on peut poserx=ya2 . On a alors x2=y2ay+a24
=b+a24 2K;etL=K[y] =K[x].Démonstration du théorème. - SoitLun sous-corps deR. On vérifie par des calculs directs que :
les coordonnées du point d"intersection de deux droites non parallèles passant chacune par deux
points distincts à coordonnées dansL, sont dansL;les coordonnées de l"un des points d"intersection d"une droite passant par deux points à coordonnées
dansLet d"un cercle de rayon joignant deux points distincts à coordonnées dansLsont solutions d"une équation de degré 2 à coefficients dansL;les coordonnées des points d"intersection de deux cercles distincts, chacun de rayon joignant deux
quotesdbs_dbs21.pdfusesText_27