Intégralesconvergentes

Théorème 2 (théorème de convergence dominée) Soit (fn)n∈N une suite de fonctions déﬁnies et continues par morceaux sur un intervalle I de Rà valeurs dans K=R ou C Soit f une fonction déﬁnie sur I à valeurs dans K On suppose que • la suite de fonctions (fn)n∈N converge simplement sur I vers la fonction f;

Intégralesconvergentes - imag

La convergence d’une intégrale ne dépend donc pas du comportement de la fonction sur des intervalles bornés, mais seulement de son comportementauvoisinagede+∞ 2

Convergence d une suite d finie par une int grale

Convergence d’une suite définie par une intégrale On considère la suite u définie pour tout n n∈ IN * par : u n = 2 0 2 3 e d 2 t t t t + ∫ + 1 ϕ est la fonction définie sur [0 ; 2] par ϕ (t) = 2 3 2 t t + + a Étudier les variation de ϕ sur [0 ; 2] b En déduire que pour tout réel t de [0 ; 2], 3 2 ≤ ϕ(t) ≤ 7 4 c

TD 2, Limites dintégrales - Claude Bernard University Lyon 1

Limites d’intégrales 1 Convergence dominée, convergence monotone 2 Exercices corrigés Pierre-Jean Hormière _____ 1 Théorèmes de convergence dominée, convergence monotone 1 1 Convergence simple Soient I un intervalle de R, ( fn) une suite de fonctions de I dans R ou C On dit que la suite ( fn)

Suites numériques Convergence, valeurs d’adhérence Exemples

n) une suite numérique et l un nombre réel ou complexe On dit que (u n) admetpourlimitelsi 8 >0;9N2N tel que n Nimplique ju n lj Théorème2 Si une suite numérique (u n) admet unelimite,alorselleestunique Déﬁnition3 On dit qu’une suite (u n) est convergente si elle admet une limite Dans le cas contraire,onditquelasuiteestdivergente

INTÉGRALES GÉNÉRALISÉES - u-bordeauxfr

la convergence de l’intégrale, il su t donc d’étudier le comportement au voisinage de 0 On a, puisque jcos xj 1, cos x p x jcos xj p x 1 p x; avec R 1 0 pdx x convergente (c’est une intégrale de Riemann R 1 0 dx x avec = 1 2

Suites et séries de fonctions

la convergence de la série P n2N u n est équivalente à la convergence de la suite (S N) N2N Simplement, selon les cas, il est plus agréable de travailler soit avec le terme général d’une suite soit avec la diﬀérence entre deux termes consécutifs Ce sera la même chose pour les suitesetsériesdefonctions

Intégrales généralisées - AlloSchool

avant d’avoir prouvé la convergence de tous les termes •L’intervalle In’est pas toujours directement donné : lorsque l’on étudie la convergence d’une intégrale généralisée R b a f(t)dt, il y a trois formes possibles pour I En pratique, on identiﬁe le

1 INTRODUCTION AUX SÉRIES - Christophe Bertault

suite (Vn)n∈N∗ converge Retenez bien ceci Les réels (−1)n n se sont compensés de proche en proche et nous ont permis de passer d’une somme de termes ASSEZ GROS en valeur absolue à des termes BEAUCOUP PLUS PETITS: 1 2n(2n −1) ≈ 1 4n2 La compensation a favorisé la convergence Déﬁnition (Somme d’une série convergente

Intégrales convergentes

La plupart des intégrales que vous rencontrerez ne sont pas des aires de domaines bornés du plan. Nous allons apprendre ici à calculer les intégrales de domaines non bornés, soit parce que l"intervalle d"intégration est infini, soit parce que la fonction à intégrer tend vers l"infini aux bornes de l"intervalle. Pour assimiler ce chapitre, vous avez juste besoin d"une petite révision des techniques de calcul des primitives, et d"une bonne compréhension de la notion de limite.

Table des matières

1 Cours 1

1.1 Définitions et propriétés . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 1

1.2 Fonctions positives, intervalle non borné . . . . . . . . . . . . . . . . . 5

1.3 Fonctions positives, intervalle borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

1.4 Fonctions oscillantes, intervalle non borné . . . . . . . . . . . . . . . . 11

1.5 Fonctions oscillantes, intervalle borné . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

1.6 Plan d"étude . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 15

1.7 Exemples . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17

2 Entraînement 19

2.1 Vrai ou faux . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19

2.2 Exercices . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22

2.3 QCM . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26

2.4 Devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28

2.5 Corrigé du devoir . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

3 Compléments 37

3.1 La pédagogie des sourds-muets . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.2 Un tour de passe-passe d"Euler . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37

3.3 La courbe de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38

9 mai 2012

Maths en LigneIntégrales convergentesUJF Grenoble1 Cours

1.1 Définitions et propriétés

Notre but dans ce chapitre est de calculer des intégrales sur des intervalles non bornés (allant jusqu"à+∞ou-∞), ou bien des intégrales sur un domaine borné, de

fonctions ayant une limite infinie en un point de l"intervalle d"intégration. Si on se réfère

à l"interprétation intuitive d"une intégrale comme la surface d"un domaine dans le plan, dans les deux cas nous cherchons à calculer des surfaces de domainesnon bornés. Considérons par exemple la fonctionfqui àt?R?associef(t) =|t|-3/2sin(t):

son graphe est représenté sur la figure 1. Comment donner un sens à l"intégrale def-20-16-12-8-4048121620-1.5

-1.0 -0.5 0.0 0.5 1.0 1.5 y=|t|^(-3/2) sin(t) tyFigure1 - Graphe de la fonctiont?→ |t|-3/2sin(t). surR? Nous souhaitons une définition qui respecte les propriétés de base que sont la relation de Chasles, la linéarité et la monotonie. On commence d"abord par identifier lespoints incertains, soit±∞d"une part, et d"autre part le ou les points au voisinage desquels la fonction n"est pas bornée (t= 0 dans notre exemple). On découpe ensuite l"intervalle d"intégration en autant d"inter- valles qui faut pour que chacun d"eux ne contienne qu"un seul point incertain, placé à l"une des deux bornes. La relation de Chasles impose que l"intégrale sur l"intervalle complet soit la somme des intégrales sur les intervalles du découpage. Dans l"exemple de la fonctionf(t) =|t|-3/2sin(t)ci-dessus, il faut découper en 4 sous-intervalles : 2 pour isoler-∞et+∞, et 2 autres pour le point incertain0. On pourra écrire par exemple : -∞f(t)dt=? -∞f(t)dt+? -1f(t)dt+?

0f(t)dt+?

1f(t)dt .

Le seul but est d"isoler les difficultés : les choix de-1et1comme points de découpage sont arbitraires (par exemple-3et10auraient convenu tout aussi bien). Par ce découpage, on se ramène à des intégrales de 4 types. Maths en LigneIntégrales convergentesUJF Grenoble1. intégrale sur]- ∞,a],

2. intégrale sur[a,+∞[,

3. intégrale sur]a,b], fonction non bornée ena,

4. intégrale sur[a,b[, fonction non bornée enb,

Le changement de variablet?→ -tpermet de réduire ces 4 cas à 2 seulement. En effet : -∞f(t)dt=? -af(-u)du , af(t)dt=? -bf(-u)du . Nous devons donc définir l"intégrale dans deux cas distincts.

Définition 1.

1. Soitfune fonction continue sur[a,+∞[. On dit que l"intégrale?+∞

af(t)dt convergesi la limite quandxtend vers+∞de la primitive?x af(t)dtexiste.

Si c"est le cas, on pose :

af(t)dt= limx→+∞? af(t)dt .(1) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge.

2. Soitfune fonction continue sur]a,b]. On dit que l"intégrale?b

af(t)dtconverge si la limite à droite quandxtend versade?b xf(t)dtexiste. Si c"est le cas, on pose :?b af(t)dt= limx→a+? xf(t)dt .(2) Dans le cas contraire, on dit que l"intégralediverge.

Observons que la deuxième définition est cohérente avec les propriétés de l"intégrale

d"une fonction continue : si la fonctionfest continue sur[a,b]tout entier, alors?b xf(t)dt est une fonction dexcontinue ena, et (2) est vérifié.

Dans?+∞

af(t)dt, la borne de gauche de l"intervalle d"intégration n"a pas d"influence sur le comportement de l"intégrale. Supposonsfcontinue sur[a,+∞[et choisissons un réela?> a. Par la relation de Chasles, af(t)dt=? f(t)dt+? ?f(t)dt Comme ?a? af(t)dtne dépend pas dex, la limite de?x af(t)dtexiste si et seulement si celle de?xquotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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