Intégrales curvilignes, intégrales multiples
Calculer l’intégrale de la forme différentielle w = e y x2+y2 ((xsinx ycosx)dx+(xcosx+ysinx)dy) le long de ce contour orienté 2 En déduire R R r sinx x dx en fonction d’une autre intégrale 3 En faisant tendre r vers 0 et R vers +¥, déterminer la valeur de R +¥ 0 sinx x dx Correction H [005909] Exercice 5 *** Soient (p 1;p 2;q 1;q
mathématiques- S2 TD 2 : Intégrales multiples - corrigé
corrigé succint : on passe en coordonnées polaires en prenant x =r cosθ, y =rsinθ, dxdy =rdrdθ D est le quart de disque inférieur droit donc θ varie entre −π/2et 0 La condition donc on calcule R1 r=0 R0 θ=−π/2 r2cosθsinθrdrdθ soit R1 r=0 r3dr R0 θ=−π/2 (cosθsinθ)dθ L’intégrale en r vaut 1/4
Intégrales multiples - LIPN
EA1-OutilsMathématiques Année2015-2016 Chapitre5-TravauxDirigés(Corrigés) Intégrales multiples Exercice 1 Considéronslesous-ensembleDdeR2 constituédespoints(x;y) telsque1 xy 4 et
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Intégrales doubles et triples - M—
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cours n o 2 Intégrales multiples - LeWebPédagogique
d'exercice sur le fait qu'un domaine soit quarrable ou pas On pourra par contre donner un exemple de domaine ouvert non-quarrable dont l'aire intuitive est plus petite que ce etrepourrait-^l'aire du bord intuitif pour faire comprendre la complexité de la notion de bord 1 2 onctionsF intégrables Soit fune fonction bornée dé nie sur un domaine
Intégrales Multiples et Algèbre Linéaire
Intégrales Multiples et Algèbre Linéaire François DE MARÇAY Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France «Celui qui enseigne une chose la connaît rarement à fond, car s’il l’étudiait à fond
Exo7 - Exercices de mathématiques
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L1PC - univ-tlnfr
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mathématiques - S2
TD 2 : Intégrales multiples - corrigé
département Mesures Physiques - IUT1 - Grenoble exercices théoriques1. SoitRle rectangle[-1,1]×[0,2]. Calculer? ?
Rx2+ 2xydxdy.
corrigé succint : ?1 x=-1(?2 y=0x2+ 2xydy)dx=?1 x=-1[x2y+xy2]20dxdonc?1 x=-12x2+ 4xdx= [2x3/3 + 2x2]1-1= 4/3.Dxydxdy.
corrigé succint : on passe en coordonnées polaires en prenantx=rcosθ,y=rsinθ, dxdy=rdrdθ.Dest le quart de disque inférieur droit doncθvarie entre-π/2et 0.La condition donc on calcule?1
r=0? 0 r=0r3dr?0θ=-π/2(cosθsinθ)dθ.
L"intégrale enrvaut 1/4.
Pour calculer l"intégrale enθon utilisecosθsinθ= sin(2θ)/2de primitive-cos(2θ)/4donc
d"intégrale-1/2. Finalement on trouve que la valeur de l"intégrale est-1/8.3. On considère une surface triangulaire de sommetsA(0,0),B(1,1),
C(1,0)et de masse surfaciqueσ.
Déterminer sa masse et son centre de gravitéG. corrigé succint : la surface du triangle estS=? ?Tdxdysoit?1
x=0? x y=0dydx=?1 x=0xdx= [x2/2]10= 1/2, et sa masse estM=σS=σ/2. la coordonnéexGdu centre de gravité x G=? ?Txdxdy/S= 2?1
x=0? x y=0xdydx= 2?1 x=0x2dx= 2[x3/3]10= 2/3.De même, la coordonnéeyG=? ?
Tydxdy/S= 2?1
x=0? x y=0ydydx= 2?1 x=0x2/2dx= 1/3. bonus :calcul du moment d"inertie par rapport àG: il vaut I=? ?Tσ((x-2/3)2+ (y-1/3)2)dydx, donc
I=σ?1
x=0x(x-2/3)2+ (x-1/3)3/3-(-1/3)3/3dx=σ?1
x=0x(x-2/3)2+ (x-1/3)3/3-(-1/3)3/3dx,I=σ?1
x=0x(x2-4/3x+ 4/9) + (x3-x2+x/3)/3dx,I=σ?1
x=04/3x3-5/3x2+ 5x/9dx=σ[x4/3-5x3/9 + 5x2/18]10=σ/18.4. (*) L"objectif de l"exercice est de calculer l"intégrale?+∞
-∞e-x2dx, fon- damentale en probabilités, statistiques, métrologie...On noteRun réel positif puis
CRle carré[-R,R]×[-R,R],
D1Rle disque de centreOet rayonR,
D2Rle disque de centreOet rayon⎷
2R.On notef(x,y) =e-(x2+y2).
(a) Expliquer pourquoi D C D2Rfd2S.
(b) En utilisant les coordonnées polaires, calculer D1Rfd2S
(c) Calculer de même D2Rfd2S
(d) Calculer CRfd2Sen fonction de?R
-Re-x2dx (e) En déduire la valeur de -∞e-x2dx. corrigé succint : (a) La fonction est positive et les domaines d"intégration sont inclus les uns dans les autres (D1R?CR?D2R) donc les intégrales (que l"on peut interpréter comme des volumes d"en- sembles eux aussi inclus les uns dans les autres) vérifient bien l"inégalité demandée. (b)? ? D1Rfd2S=?R
r=0? 2πθ=0e-r2rdrdθ=?2π
θ=0dθ×?R
r=0re-r2dr= 2π×[-e-r2/2]R0=π(1-e-R2)
(c) On trouve de mêmeπ(1-e-2R2) (d)? ? CRfd2S=?R
x=-R? R y=-Re-x2e-y2dxdy=?R x=-Re-x2dx×?R y=-Re-y2dy= (?R -Re-x2dx)2(les variables sont "muettes" dans ces intégrales : que la variable utilisée soitxouy, les valeurs des intégrales sont identiques) l"intégrale (qui est positive)?+∞ -∞e-x2dxvaut⎷ exercices pratiques5. Calculer le moment d"inertie par rapport à son centre d"une règle plate de
dimensionsaetL corrigé succint : l"aide du rectangle estaLet sa masse estM=σaLoùσest la masse surfacique.on peut choisir par exemple de placer le repère au centre de larègle ou bien sur les bords gauche
(axe vertical) et bas (axe horizontal).si on choisit un repère sur els bords de la règle, la règle correspond au rectangle[0,L]×[0,a]et
les coordonnées du centreGsont(L/2,a/2). Le moment d"inertieIest l"intégrale de σd2(M,G)dxdy=σ((x-L/2)2+ (y-a/2)2)dxdy.
AlorsI=?L
x=0? a y=0σ((x-L/2)2+ (y-a/2)2)dxdy=σ?L
x=0(?a y=0σ((x-L/2)2+ (y-a/2)2)dy)dx, doncI=σ?L
x=0a(x-L/2)2+ 2(a/2)3/3dx=σ?L x=0a(x-L/2)2+a3/12dx=2a(L/2)3/3 +a3L/12soit finalementI=σ(a3L+aL3)/12 =M(a2+L2)/12.
6. Déterminer les moments d"inertie :
(a)I0d"un cylindre de masseM, rayonR, longueurL, par rapport à son axe de symétrie. (b)Idd"un cylindre de masseM, rayonR, longueurL, par rapport à un axe parallèle à son axe de symétrie et situé à la distancedde celui-ci. (c)Ipd"un cylindre de masseM, rayonR, longueurL, par rapport à un axe perpendiculaire à son axe de symétrie et passant par le centre de masse du cylindre. corrigé succint : On noteρla masse volumique du cylindre, on aM=ρπR2L. On choisit un repère de coordonnées cylindre d"axe(Oz)l"axe du cylindre, de plan(xOy)une (a)I0=?L z=0? R r=0? 2πθ=0r2ρrdrdθdz=ρ?L
z=0? R r=0? 2πθ=0r3drdθdz= 2πρR4L/4 =
πρR
4L/2 =MR2/2
(b) on peut supposer que l"axe par rapport auquel on calcule le moment a pour équationx=d, y= 0,zquelconque.AinsiId=?L
z=0? R r=0? 2πθ=0((x-d)2+y2)ρrdrdθdz=?L
z=0? R r=0? 2πθ=0((rcosθ-
d)2+ (rsinθ)2)ρrdrdθdz=ρ?L z=0? R r=0? 2πθ=0(r2-2drcosθ+d2)rdrdθdz=
ρ?L
z=0? R r=0? 2πθ=0(r3-2dr2cosθ+d2r)drdθdz.
Cette intégrale se sépare en 3 :
I d=ρ?L z=0? R r=0? 2πθ=0r3drdθdz+ρ?L
z=0? R r=0? 2πθ=0-2dr2cosθdrdθdz+
ρ?L
z=0? R r=0? 2πθ=0d2rdrdθdz.
La première intégrale estI0, la deuxième intégrale vaut 0 (on intègre un cosinus sur une
période), la troisième vautd2M.Ainsi,Id=I0+Md2.
(c) On peut suppose que l"axeDpar rapport auquel on fait le calcul est l"axex= 0,z=L/2. Alors la distance au carré entre un pointMde coordonnées cylindriquer,θ,z(donc de coor- données cartésiennesrcosθ,rsinθ,z) et l"axeDestx2+ (z-L/2)2.Ipvaut doncIp=ρ?L
z=0? R r=0? 2πθ=0(r2cos2θ+ (z-L/2)2)rdrdθdz, doncIp=
ρ?L
z=0? R r=0? 2πθ=0r3cos2θdrdθdz+ρ?L
z=0? R r=0? 2πθ=0(z-L/2)2rdrdθdz.
L"intégrale pourθentre 0 et2πdecos2θvautπ(voir S1 : linéariser...), et ainsi : I p=R4/4×π×L+R2/2×2π×[(z-L/2)3/3]z=Lz=0et doncIp=πLR4/4+πR2H3/12.Finalement, on voit queIp=MR2/4 +ML2/12.
7. Calculer le volume et la masse d"un cône (droit) de rayonR, de hauteur
Het de masse volumique constanteρ.
corrigé succint : (a) on fixe un repère orthonormé direct(O,?i,?j,?k)tel que : - l"axe(Oz)est l"axe du cône, - la base du cône est située dans le plan(O,?i,?j), - le sommet a pour coordonnées cartésiennes(0,0,H). puis on considère alors les coordonnées cylindriques associées.(b) Le cône est alors l"ensemble des points dont les coordonnées(r,θ,z)vérifient les trois condi-
tions :θ?[0,2π],z?[0,H],r?[0,R(H-z)
H]. Remarques : 1) la troisième condition exprime le fait que, pour une côtezdonnée, le rayon de la section du cône par un plan horizontal est un cercle de rayon variable (qui dépend dez).2) on peut bien sûr choisir de fixer d"abordrentre 0 etR, puiszentre 0 et une borne qui
dépend der.3) l"ensemble de points dont les coordonnées vérifientθ?[0,2π],z?[0,H],r?[0,R]est
uncylindreet non un cône. (c) Le volume du cône est alors 2πθ=0?
H z=0?R(H-z)
H r=0rdr dz dθ, qui se calcule par étapes suc- cessives : 2πθ=0?
H z=0R2(H-z)2
2H2dz dθ,
2πθ=0[-R2(H-z)3
6H2]H0dθ,
2πR2H3
6H2, soitπR2H/3.
Et la masse du cône estM=ρV=πρR2H/3.
(d)bonus :calcul du moment d"inertie du cône par rapport à son axe. La méthode est la même :
l"intégrale est celle der2dm=r2ρdV, soit? 2πθ=0?
H z=0?R(H-z)
H r=0r3ρdrdz dθ, et la même technique donne comme valeurπρR4H
20. En utilisant la valeur de la masse, on trouve3MR2/10. (remarque : ce n"est pas le tiers du moment d"inertie du cylindre correspondant!!)8. Calculer le volume et la masse d"une boule de rayonRet de masse volu-
mique variableρ(r) =R r+Rρ0. 2 corrigé succint : Le volume4/3πR3est bien entendu identique à celui d"une boule homogène. Mais pour la masse la formule change : on calcule? ? ?Bρ(r)r2sinθdrdθd?=?2π
?=0d?×?πθ=0sinθdθ×?R
r=0R r+Rρ0r2dr, doncM= 4πRρ0?R
r=0r2 r+Rdr. Si on pose la division du polynômer2parr+R(la variable étantr,Rest une constante) on trouver2= (r-R)(r+R) +R2doncr2 r+R=r-R+R2 r+R, de primitive r2/2-Rr+R2ln(r+R), doncM= 4πRρ0(R2/2-R2+R2ln(2R)-R2ln(R))soit
finalementM= 4πRρ0(-R2/2 +R2ln(2)) = 4πR3ρ0(ln(2)-1/2). Le résultat est cohérent :ln(2)-1/2<1/3, pour une boule moins dense en moyenne qu"une boule de masse volumique constanteρ0. bonus :calcul du moment d"inertie par rapport à son centre de la boule. C"estI=? ? ?
Bρ(r)r2×r2sinθdrdθd?= 4πRρ0?R
r=0r4 r+Rdr=4πRρ0?R
r=0(r3-r2R+rR2-R3+R4r+R)dr=4πRρ0(R4/4-R4/3 +R4/2-R4+R4ln(2) = 4πR5ρ0(ln(2)-7/12).
9. Calculer la surface et le moment d"inertie par rapport à son centre d"une
sphère de masse surfacique constanteσ. corrigé succint :La surface est? ?
SσR2sinθdθd?=R2?2π
?=0d?×?πθ=0sinθdθ= 4πR2. La masse est
M= 4πσR2.
Le moment d"inertie vaut
SσR2R2sinθdθd?= 4πσR4=MR2.
10. On rappelle que le flux d"un champ de vecteurs à travers unesurfaceS
est? ?S?B.?dS.
Calculer le flux à travers le rectangle horizontal[x0,x0+L]×[y0,y0+H] d"un champ magnétique ?B=B0e-α(x-x0)e-β(y-y0)(?i+?j+?k) (α,β,x0,y0,L,H,B0étant des constantes) corrigé succint :Ici le vecteur dS, normal à la surface, vaut dxdy?k, donc le produit scalaire?B.?dS=B0e-α(x-x0)e-β(y-y0)dxdy.