[PDF] 2012/2013 Semestredeprintemps UniversitéLyonI

Intégrales curvilignes, intégrales multiples

Calculer l’intégrale de la forme différentielle w = e y x2+y2 ((xsinx ycosx)dx+(xcosx+ysinx)dy) le long de ce contour orienté 2 En déduire R R r sinx x dx en fonction d’une autre intégrale 3 En faisant tendre r vers 0 et R vers +¥, déterminer la valeur de R +¥ 0 sinx x dx Correction H [005909] Exercice 5 *** Soient (p 1;p 2;q 1;q

mathématiques- S2 TD 2 : Intégrales multiples - corrigé

corrigé succint : on passe en coordonnées polaires en prenant x =r cosθ, y =rsinθ, dxdy =rdrdθ D est le quart de disque inférieur droit donc θ varie entre −π/2et 0 La condition donc on calcule R1 r=0 R0 θ=−π/2 r2cosθsinθrdrdθ soit R1 r=0 r3dr R0 θ=−π/2 (cosθsinθ)dθ L’intégrale en r vaut 1/4

Intégrales multiples - LIPN

EA1-OutilsMathématiques Année2015-2016 Chapitre5-TravauxDirigés(Corrigés) Intégrales multiples Exercice 1 Considéronslesous-ensembleDdeR2 constituédespoints(x;y) telsque1 xy 4 et

Calcul intégral Exercices corrigés - Free

1 20 Intégrale et suite 5 23 1 21 Méthode d’Euler, Am du Nord 2006 23 1 22 Equa diff, intégrale, volume, Am du Sud 2004 26 1 23 Equa diff + fonction+intégrale, Antilles 2001 28 1 24 La chaînette 31 1 25 Primitive de ln 37 1 26 Equation différentielle 38 1 27 Equation différentielle et primitive 39 1 28

2012/2013 Semestredeprintemps UniversitéLyonI

2012/2013 Semestredeprintemps UniversitéLyonI Calculdifférentieletintégral Exercices sur les intégrales doubles Exercice 1 Calculer Z 1 0 Z 1

Intégrales doubles et triples - M—

l’Intégrale Double 2) Deuxième Décomposition 1 4- Propriétés de l’intégrale Double 1 5- Changement de variables dans l’intégrale double 2-Intégrales triples b) Changement de variables dans une intégrale double On admettra sans démonstration le théorème suivant: ZZ D f (x ,y )dxdy = ZZ ∆=ϕ−1(D) [ϕ u v)] J dudv

cours n o 2 Intégrales multiples - LeWebPédagogique

d'exercice sur le fait qu'un domaine soit quarrable ou pas On pourra par contre donner un exemple de domaine ouvert non-quarrable dont l'aire intuitive est plus petite que ce etrepourrait-^l'aire du bord intuitif pour faire comprendre la complexité de la notion de bord 1 2 onctionsF intégrables Soit fune fonction bornée dé nie sur un domaine

Intégrales Multiples et Algèbre Linéaire

Intégrales Multiples et Algèbre Linéaire François DE MARÇAY Département de Mathématiques d’Orsay Université Paris-Sud, France «Celui qui enseigne une chose la connaît rarement à fond, car s’il l’étudiait à fond

Exo7 - Exercices de mathématiques

Exercice 13 Calculer l’aire intérieure d’une ellipse d’équation : x2 a2 + y2 b2 =1: Indications On pourra calculer seulement la partie de l’ellipse correspondant à x >0, y >0 Puis exprimer y en fonction de x Enfin calculer une intégrale Indication H Correction H Vidéo [006863] Exercice 14 Calculer la limite des suites

L1PC - univ-tlnfr

Contrôle ‹ - thème A Exercice¶ :continuité,dérivabilité,différentiabilité [12points] 1 [3 points]Soit f: R2 →Rune application et (x 0;y 0)∈R2 Compléter les phrases suivantes par ⇒, ⇐, ⇔ou Aucune implication :

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2012/2013 Semestre de printemps

Université Lyon I Calcul différentiel et intégralExercices sur les intégrales doubles.

Exercice 1.CalculerZ

1 0 Z1 0x

2y2(x2+y2)2dy

dx, etZ 1 0 Z1 0x

2y2(x2+y2)2dx

dy.

Qu"en déduisez-vous?

Exercice 2.SoitD= [0;1]2. CalculerZZ

Ddxdy(x+y+ 1)2:

Exercice 3.On veut calculerI=Z

1

0ln(1 +x)1 +x2dx.

On poseJ=ZZ

Dx(1 +x2)(1 +xy)dxdy,D= [0;1]2.

CalculerJde deux manières différentes , et en déduire la valeur deI.

Exercice 4.1. Montrer l"existence deI=Z

=2 x=0ln(1 + cosx)cosxdx.

2. Montrer queI=ZZ

Dsiny1 + cosxcosydxdyoùD= [0;2

]2.

3. En déduire la valeur deI.

Exercice 5.Calculer les intégrales suivantes :

1.ZZ A 2. ZZ B (x2+y2)dxdyoùB=f(x;y)2R2=x2+y2< x;x2+y2> yg. 3. ZZ

Cxy1 +x2+y2dxdyoùC=f(x;y)2[0;1]2=x2+y21g.

4. ZZ

D1ycos(x) + 1dxdyoùD= [0;2

][0;12 Exercice 6.On noteDle domaine délimité par les droitesx= 0; y=x+ 2ety=x.

1. Calculer (directement)I=ZZ

D (xy)dxdy:

2. CalculerIau moyen du changement de variableu=x+yetv=xy:

Exercice 7.SoitDle disque de centre(0;1)et de rayon1du plan. CalculerZZ D (x2+ y

2)dxdy.

Exercice 8.SoitD=fx0;y0;x2+y22y0;x2+y210g. CalculerZZ Dpx

2+y2dxdy.

Exercice 9.Calculer à l"aide d"un changement de variables approprié : 1.ZZ A x2y dxdy, avecA=f(x;y):y0; x2+y22x0g. 2. ZZ C (x2y)dxdy, avecCle carré de sommets(1;0),(2;1),(1;2)et(0;1).

Exercice 10.SoitD=f(x2+y2)2xyg. CalculerZZ

Dpxy dxdy.

Exercice 11.Soient0< ab;0< cd;etD=fax2ybx2;cx

ydx g. Calculer l"aire deD. (Indication : poseru=yx

2etv=xy.)

Exercice 12.Soitp >0etD=fy22px0;x22py0g. CalculerZZ D ex

3+y3xy

dxdy. (Indication : poserx=u2vety=uv2) Exercice 13.SoitR >0,DR=fx2+y2R2;x >0;y >0getKR= [0;R]2. Montrer que :ZZ D

Re(x2+y2)dxdyZZ

K

Re(x2+y2)dxdyZZ

D

2Re(x2+y2)dxdy:

En déduire l"existence et la valeur de

lim R!+1Z R 0 et2dt:

Exercice 14.1. CalculerA=ZZ

0yx1dxdy(1 +x2)(1 +y2).

2. Démontrer la convergence des intégrales :

B=Z =4 =0ln(2cos

2)2cos2d; C=Z

=4 =0ln(2sin

2)2cos2d; D=Z

1 t=0lnt1t2dt :

3. Démontrer queA=B(passer en coordonnées polaires dansA).

4. CalculerB+CetBCen fonction deD.

5. En déduire les valeurs deCetD.

Exercice 15.CalculerZZ

D f(x;y)dxdydans les cas suivants :

1.D=f(x;y)2R2;x2+y21g:f(x;y) = (x+y)2etf(x;y) =jxyjpx

2+ 4y2.

2.D=f(x;y)2R2;y0;x+y1;yx1g:f(x;y) =x2y.

3.Dest le triangle de sommets(0;0),(1;1)et(2;1), etf(x;y) = (x+ 2y)2.

4.D=f(x;y)2R2:x1;y2;x+y5g, etf(x;y) =1(x+y)4.

5.D=f(x;y)2R2:x+y1;x2+y21g,f(x;y) =xy2.

6.D=f(x;y)2R2:x2a

2+y2b

21g,f(x;y) =r1x2a

2+y2b 2 Exercice 16.Justifier la convergence des intégrales suivantes, et les calculer : 1.ZZ T yexdxdy,T=f(x;y): 1x;0yxg. 2. ZZ

B1(x2+y2)2=3dxdy,B=f(x;y): (x2+y2)9g.

Exercice 17.On poseI=Z

R et22 dt,J=ZZ R

2e(x2+y2)2

dxdy:CalculerJ; en déduire la valeur deI. Exercice 18.SoitA= [0;1]]0;+1[. Montrer que la fonctionf: (x;y)7!eysin(2xy) est intégrable surA, et calculerZZ A f(x;y)dxdy.

En déduire la valeur de

Z +1 01y (sin(y))2eydy. Exercice 19.On fixe deux réelsa;btels que0< a < b, et on introduit le domaine D=f(x;y): 0< x <1; a < y < bg. Montrer que(x;y)7!xyest intégrable surD, et prouver queZ1 0x bxaln(x)dx= ln1 +b1 +a Exercice 20.SoitI=f(x;y): 0< x <1;xyxg; pourn2NetIn= f(x;y):1n < x <1;xyxg(n2N).

1. CalculerZZ

I neyx dxdy.

2. Montrer que

ZZ I eyx dxdyexiste et donner sa valeur.quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22