Intégrales multiples

Exercice 1

Considérons le sous-ensembleDdeR2constitué des points(x;y)tels que1xy4et xy3x, soitD=f(x;y)2R2: 0< x;y;1xy4;1yx

3g, comme illustré

dans la figure suivante.L"objectif est ici d"évaluer l"intégrale double ZZ D (x2+y2)dxdy. 1. Co nsidéronsle c hangementde v ariablesu=xy,v=yx . Quelle est l"imageRdeD par ce changement de variable? 2. Év aluerle jacobien de ce c hangementde v ariables. 3. Ca lculerl"in tégraledouble à l"aide du c hangementde v ariables.

Solution 1

Bien sûr R= [1;4][1;3].

On observ eque x=u12

v12 ety=u12 v12 . Soit alors(u;v) = (x;y) = (u12 v12 |{z}

1(u;v); u

12 v12 |{z}

2(u;v)).

On a donc

J @1@u (u;v)@1@v (u;v) 2@u (u;v)@2@v (u;v) 12 u12 v12 12 u12 v32 12 u12 v12 12 u12 v12

On adetJ=12

v16= 0. 3. I lrésulte des q uestionsprécéden tesque RR

D(x2+y2)dxdy=RR

R((u12

v12 )2+ (u12 v12 )2)12 v1dudv =RR R12 (uv2+u)dudv 12 R 4 1 R3

1(uv2+u)dv

du 12 R 4

1[uv1+uv]v=3v=1du

43
R 4 1udu 43
[u22 ]41= 10:(1) 1

Exercice 2

1. Ca lculerla longueur du cercle unité (en utilisan tune in tégralecurviligne). 2.

Ca lculerR

fd`quandf(x;y) =px

2+ 4y2et =f(x;y)2R2: 2y=x2; x2

[0;1]g 3.

Ca lculerR

fd`quandf(x;y) = (x2;0)et =f(x;y)2R2:y= coshx; x2[0;1]g.

Solution 2

On éc rit =f

(t):t2[0;2]gpour une paramétrisation (t) = (cost;sint). Donc

0(t) = (sint;cost)etk

0(t)k= 1. La longueur deest donnée parR

d`=R2

0dt= 2.

2. Une paramétrisation de la courb eest donnée par (t) = (t;t22 ),t2[0;1]. Alors, comme

0(t) = (1;t), on trouve

Z fd`=Z 1 0rt

2+ 4(t22

)2p1 +t2dt=Z 1 0 t(1 +t2)dt=12 +14 =34 3.

Dans ce cas on p eutprendre

(t) = (t;cosht)de sorte que

0(t) = (1;sinht). On a

doncZ fd`=Z 1 0 (t2;0)(1;sinht)dt=13

Exercice 3

CalculerR

ifd`quandf(x;y) = (xy;y2x)et1=f(t;t): 0t1g,2= f(t;et): 0t1get3=f(pt;t

2): 1t2g

Solution 3

Dans ce cas comme

1(t) = (t;t),

01(t) = (1;1)et donc on trouve immédiatement

1fd`=Z

1 0 (t2;t2t)(1;1)dt=Z 1 0 (2t2t)dt=16 2.

On c hoisit

2(t) = (t;et)donc

02(t) = (1;et)et ainsi

2fd`=Z

1 0 (tet;e2tt)(1;et) =Z 1 0 e3tdt=13 (e31): 3.

Dans ce dernier ca son écrit

3(t) = (pt;t

2)et donc

03(t) = (12

pt ;2t). Puis, R

3fd`=R2

1(t2pt;t

4pt)(12

pt ;2t)dt R2 1(12 t2+ 2t52tpt)dt 68930
165
p2:(2)

Exercice 4

SoientU=f(x;y)2R2:x2+y2<1getf(x;y) = (y2;x). Vérifier le théorème de Green. 2

Solution 4

Calculons tout d"abord l"intégrale doubleZZ

U @f2@x @f1@y dxdy. On a@f2@x @f1@y

12y. En effectuant le changement de variablesx=rcos,y=rsin, on obtient par le

théorème de Fubini, ZZ U @f2@x @f1@y dxdy=Z 1 0Z 2 0 (12rsin)rdrd=:

Calculons maintenant

R @Ufd`. On pose () = (cos;sin), et on a alors R @Ufd`=R2

0(sin2;cos)(sin;cos)d

=R2

0cos2 dR2

0sin3 d

(sin3est impaire et2-périodique, doncR2

0sin3 d= 0)

12 R 2

0(cos2+ 1)d

= [sin2+2 ]20=:(3) (Rappelons quecos2x=12 (cos2x+ 1)puisquecos2x+ sin2x= 1etcos2xsin2x= cos2x.)

Exercice 5

Vérifier le théorème de Green pourU=f(x;y)2R2:x2+y2<1getf(x;y) = (xy;y2).

Solution 5

Calculons tout d"abord l"intégrale doubleZZ

U @f2@x @f1@y dxdy. On a@f2@x @f1@y =x. On passe ensuite en coordonnées polairesx=rcost,y=rsintet le jacobien de la transformation est égal àr. On a alors ZZ U @f2@x @f1@y dxdy=Z 1 0Z 2 0 (rcost)rdrdt= 0:

Calculons ensuite

R @Ufd`que l"on obtient, si@Uest paramétré par (t) = (cost;sint), parR @Ufd`=R2

0(costsint;sin2t)(sint;cost)dt

=R2

0(costsin2t+ costsin2t)dt

= 0:(4)

Exercice 6

Calculer l"aire de =f(x;y;z)2R3:x2+y2+z2=R2g.

Solution 6

On définit(;') = (Rcossin';sinsin';cos')etK=]0;2[]0;[. On a@@

R2sin'(cossin';sinsin';cos')et donck@@

k=R2sin'. L"aire est alors donnée par ZZ ds=Z 2 0Z 0

R2sin'dd'= 2R2Z

0 sin'd'= 4R2:

Exercice 7

CalculerRR

fdsoùf(x;y;z) =x2+y2+z2et =f(x;y;z)2R3:x2+y2= 1;0z 1g. 3

Solution 7

On définit(;z) = (cos;sin;z)etU=]0;2[]0;1[. On trouve@@ ^@@z = (cos;sin;0), ce qui donnek@@ ^@@z k= 1. Le résultat souhaité est donc RR fds=R1 0R 2

0(cos2+ sin2+ 2z)ddz

= 2R1

0(1 + 2z)dz

= 4:(5) 4quotesdbs_dbs16.pdfusesText_22

[PDF] Intégrales multiples - LIPN

EA1 - Outils Mathématiques Année 2015-2016

Chapitre 5 - Travaux Dirigés (Corrigés)