Exercices : des exemples classiques, quelques calculs

2/45 1 Tendance,stationnarité,autocovariance,opérateurretard temps température 1920 1925 1930 1935 1940 30 40 50 60 année passagers 1950 1952 1954 1956 1958 1960

Corrig´e de l’examen de s´eries chronologiques du 5 juin 2006

Exercice 1 Soit {X n} un processus stationnaire au second ordre On suppose que {X n} est un processus AR(1), qui v´eriﬁe l’´equation X n = aX n−1 + n, ou` { n} est une suite de variables i i d centr´ees de variance σ2 et a

Renforcement S´eries Chronologiques - univ-toulouse

Feuille d’exercices n˚1 : Processus stationnaires, AR et MA Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer que la somme de deux processus stationnaires n’est pas n´ecessairement stationnaire Soit (ηt)t∈Z un bruit blanc; v´eriﬁer que les processus d´eﬁnis par : Xt = ηt, ∀t∈ Z et Yt = (−1)tηt, ∀t∈ Z sont stationnaires

M1 ISMAG MIS243Y - S´eries chronologiques

Feuille d’exercices n˚1 : Processus stationnaires, AR et MA Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer que la somme de deux processus stationnaires n’est pas n´ecessairement stationnaire Soit (ηt)t∈Z un bruit blanc; v´eriﬁer que les processus d´eﬁnis par : Xt = ηt, ∀t ∈ Z et Yt = (−1)tηt, ∀t ∈ Z sont stationnaires

Université Kairouan ISMAI - e-monsite

Corrigé de l'examen Janvier 2013 - Série temporelle (voir Exercice 1) Exercice 4 : Le processus X donc le processus est stationnaire et inversible Ainsi

Travaux dirig´es - Université Grenoble Alpes

Exercice 2 2 Soient A et B deux variables al´eatoires r´eelles centr´ees ind´ependantes, de mˆeme variance 1 Montrer que le processus X = (Xt)t∈Z d´eﬁni par Xt = Acos(π 3 t)+Bsin(π 3 t), est stationnaire au sens large 2 Trouver sa fonction d’autocovariance 3 Tracer une trajectoire de ce processus (choisir A et B) pour t = 1

Dur´ee : 1 h 15 - LAAS

1- Montrer que x(t) est stationnaire au sens large 2- Montrer que le processus est `a moyenne et `acorr´elation ergodiques Exercice 5 : On d´eﬁnit une certaine classe de signaux y(t) par : y(t)=rx(t)cos(ω pt+φ) o`u x(t) est un signal al´eatoire stationnaire modulant une porteuse sinusoidale rcos(ω pt + φ) La moyenne de x(t) est

Master 1 ESA Econométrie et Statistique Appliquée TD SERIES

EXERCICE 3: Etude d’un Processus MA(1) – suite On considère à présent le processus MA(1) suivant : xt = (1 − 0 5 L)ut 1 Reprendre les questions 3) et 4) de l’exercice précédent pour ce processus 2 Ci-dessous, sont représentées les fonctions d’autocorrélation totale et partielle des deux processus de l’exercice 2 et 3

Processus al eatoires et applications

1 1 EXEMPLES DE CHA^INES DE MARKOV 5 1 2=3 1=3 2=31 Figure 1 3 Le mod ele d’urnes d’Ehrenfest, dans le cas de 3 boules On peut a nouveau d ecrire le syst eme par une cha^ ne de Markov, cette fois sur l’espace