Travaux dirig´es - Université Grenoble Alpes

2/45 1 Tendance,stationnarité,autocovariance,opérateurretard temps température 1920 1925 1930 1935 1940 30 40 50 60 année passagers 1950 1952 1954 1956 1958 1960

Corrig´e de l’examen de s´eries chronologiques du 5 juin 2006

Exercice 1 Soit {X n} un processus stationnaire au second ordre On suppose que {X n} est un processus AR(1), qui v´eriﬁe l’´equation X n = aX n−1 + n, ou` { n} est une suite de variables i i d centr´ees de variance σ2 et a

Renforcement S´eries Chronologiques - univ-toulouse

Feuille d’exercices n˚1 : Processus stationnaires, AR et MA Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer que la somme de deux processus stationnaires n’est pas n´ecessairement stationnaire Soit (ηt)t∈Z un bruit blanc; v´eriﬁer que les processus d´eﬁnis par : Xt = ηt, ∀t∈ Z et Yt = (−1)tηt, ∀t∈ Z sont stationnaires

M1 ISMAG MIS243Y - S´eries chronologiques

Feuille d’exercices n˚1 : Processus stationnaires, AR et MA Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer que la somme de deux processus stationnaires n’est pas n´ecessairement stationnaire Soit (ηt)t∈Z un bruit blanc; v´eriﬁer que les processus d´eﬁnis par : Xt = ηt, ∀t ∈ Z et Yt = (−1)tηt, ∀t ∈ Z sont stationnaires

Université Kairouan ISMAI - e-monsite

Corrigé de l'examen Janvier 2013 - Série temporelle (voir Exercice 1) Exercice 4 : Le processus X donc le processus est stationnaire et inversible Ainsi

Travaux dirig´es - Université Grenoble Alpes

Exercice 2 2 Soient A et B deux variables al´eatoires r´eelles centr´ees ind´ependantes, de mˆeme variance 1 Montrer que le processus X = (Xt)t∈Z d´eﬁni par Xt = Acos(π 3 t)+Bsin(π 3 t), est stationnaire au sens large 2 Trouver sa fonction d’autocovariance 3 Tracer une trajectoire de ce processus (choisir A et B) pour t = 1

Dur´ee : 1 h 15 - LAAS

1- Montrer que x(t) est stationnaire au sens large 2- Montrer que le processus est `a moyenne et `acorr´elation ergodiques Exercice 5 : On d´eﬁnit une certaine classe de signaux y(t) par : y(t)=rx(t)cos(ω pt+φ) o`u x(t) est un signal al´eatoire stationnaire modulant une porteuse sinusoidale rcos(ω pt + φ) La moyenne de x(t) est

Master 1 ESA Econométrie et Statistique Appliquée TD SERIES

EXERCICE 3: Etude d’un Processus MA(1) – suite On considère à présent le processus MA(1) suivant : xt = (1 − 0 5 L)ut 1 Reprendre les questions 3) et 4) de l’exercice précédent pour ce processus 2 Ci-dessous, sont représentées les fonctions d’autocorrélation totale et partielle des deux processus de l’exercice 2 et 3

Processus al eatoires et applications

1 1 EXEMPLES DE CHA^INES DE MARKOV 5 1 2=3 1=3 2=31 Figure 1 3 Le mod ele d’urnes d’Ehrenfest, dans le cas de 3 boules On peut a nouveau d ecrire le syst eme par une cha^ ne de Markov, cette fois sur l’espace

Exercices : des exemples classiques, quelques calculs

Exercice 4 Un jeu organis e par une compagnie consiste a r eunir une collection compl ete de ncoupons a n d’obtenir un lot On suppose que le client qui cherche a collectionner consomme chaque jour un paquet du produit vendu par la compagnie et re˘coit du coup chaque jour un nouveau coupon, qu’on supposera choisi uniform ement parmi les n,

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Travaux dirig

´es

Statistique descriptive

Exercice 1.1On consid`ere deux s´eriesx= (x1,...,xn) ety= (y1,...,yn). On appelleay/xle

coefficient directeur de la droite de r´egression du nuage (xi,yi)i=1,...,netax/ycelui de la droite

de r´egression du nuage (yi,xi)i=1,...,n.

1. Donneray/xetax/yen fonction des (xi)i=1,...,net (yi)i=1,...,n.

2. Montrer queay/xax/y= corr(x,y)2.

3. interpr´eter les cas corr(x,y) = 0, corr(x,y) = 1 et corr(x,y) =?1.

Exercice 1.2On consid`ere la m´ethode de l"ajustement polynomial par moindres carr´es ordi- naires.

1. On suppose que la s´erie peut se d´ecomposer en

x t=a1t2+a2t+a3+et, t= 1,2,...,n. Donner dans le cadre de l"ajustement polynomial, les valeurs dea1,a2eta3en fonction des observations dex.

2. SoitqN?. On suppose que sur chaque intervalle de longueur 2q+ 1, la s´erie peut ˆetre

approch´ee par un polynˆome de degr´e 2 : x t+i=a1(t)i2+a2(t)i+a3(t)+et+i, i ?q,?q+1,...,q?1,q, t=q+1,2,...,n?q. Comment proc´ederiez-vous pour d´eterminer les valeurs dea1,a2eta3en fonction des observations dex? Illustrer cette m´ethode avecq= 2. Exercice 1.3On consid`ere une s´erie chronologiquex= (x1,...,xn) qui s"´ecrit : x t=mt+et, t= 1,2,...,n o`u (mt)test une tendance et (et)test stationnaire de moyenne nulle. SoitqN?.

1. Montrer que sitmtest lin´eaire alors la s´erie obtenue par

t 1,...,n, wt=1

2q+ 1q

j=-qx t-j assure que t q+ 1,...,n?q, wtmt. En particulier montrer que cette transformation permet de conserver la tendance. Montrer que cette transformation ne conserve pas les tendances polynomiales de degr´e 2.

2. Soit (θ-q,θ-q+1,...,θ-1,θ0,θ1,...,θq-1,θq) une suite de 2q+ 1 coefficients tels que

j 0,...,q, θj=θ-j. A partir de la s´eriex, on consid`ere la s´erie t 1,...,n, wt=1

2q+ 1q

j=-qθ jxt-j.

a) Quelles sont les conditions que l"on doit imposer sur (θ-q,θ-q+1,...,θ-1,θ0,θ1,...,θq-1,θq)

pour que cette transformation conserve les tendances constantes?

b) Quelles sont les conditions que l"on doit imposer sur (θ-q,θ-q+1,...,θ-1,θ0,θ1,...,θq-1,θq)

pour que cette transformation conserve les tendances lin´eaires? Exercice 1.4Construire une moyenne mobile sym´etrique d"ordre 5 qui ´elimine les composantes

p´eriodiques de p´eriode 3 et laisse passer les polynˆomes de degr´e inf´erieur ou ´egal `a 2. Remarque :

cette moyenne mobile doit donc s"´ecrireM=a2B-2+a1B-1+a0I+a1B+a2B2. Un indice : une base des fonctions de p´eriode 3 et de moyenne nulle sur toute p´eriode est donn´ee par (s1,s2), avec : s

1(0) = 1, s1(1) =?1 ets2(0) = 1,s2(2) =?1.

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Travaux dirig

´es

Processus stationnaires - ARMA

Exercice 2.1SoitZ= (Zt)t?Zune suite de variables al´eatoires gaussiennes i.i.d centr´ees, de variance communeσ2eta,betctrois constantes r´eelles. Parmi les processus suivants, lesquels sont stationnaires au sens large? Donner alors l"expression de leur fonction d"autocovariance. (a)Yt=ZtZt-1(b)Yt=t+Zt (c)Yt=tZt(d)Yt=a+bZt+cZt-1

Exercice 2.2SoientAetBdeux variables al´eatoires r´eelles centr´ees ind´ependantes, de mˆeme

variance.

1. Montrer que le processusX= (Xt)t?Zd´efini par

X t=Acos(π

3t) +Bsin(π3t),

est stationnaire au sens large.

2. Trouver sa fonction d"autocovariance.

3. Tracer une trajectoire de ce processus (choisirAetB) pourt= 1,...,50. Commenter.

Exercice 2.3SoientXetYdeux variables al´eatoires r´eelles de carr´e int´egrableetρleur

coefficient de corr´elation :

ρ=Cov(X,Y)

Var(X)Var(Y).

1. Montrer queρ[?1;1].

2. Montrer que

ρ= 1il existe (a,b)R2tels queX=aY+b p.s.

Calculeraetben fonction deρ,Var(X),Var(Y),E(X) etE(Y).

3. Que vautρquandXetYsont ind´ependantes?

4. SoitAune variable al´eatoire suivant une loi uniforme sur [0;1].On poseX= cos(2πA)

etY= sin(2πA). Calculerρ. Montrer queXetYne sont pas ind´ependantes. Exercice 2.4SoientX,YetZtrois variables gaussiennes centr´ees r´eduites et ind´ependantes.

On poseU=X+Y?ZetV=aX+bY, o`uaetbsont dansR.

1. Quelle est la loi de (U,V)? D´eterminer la loi deUet la loi deV.

2. D´eterminer les lois deU+VetU?V. A quelle conditionU+VetU?Vsont-elles

ind´ependantes?

3. Peut-on avoirUetVind´ependantes ainsi queU+VetU?V?

Exercice 2.5SoientXune variable al´eatoire r´eelle gaussienne centr´ee r´eduite etYune variable

al´eatoire r´eelle ind´ependante deX, ne prenant que les valeurs +1 et?1 avecP(Y= 1) =p (0?p?1). On poseZ=XY.

1. Quelle est la loi deZ? Le couple (X,Z) est-il gaussien?

2. Montrer que pour toutp[0;1],XetZne sont pas ind´ependantes. Montrer cependant

que pourpbien choisi,Cov(X,Z) = 0. Exercice 2.6Soit (X,Y) un vecteur gaussien de matrice de covariance

K=1ρ

ρ1 o`uρ[0;1]. Montrer queX+YetX?Ysont deux variables al´eatoires gaussiennes ind´ependantes.

Exercice 2.7SoitMune moyenne mobile de la forme :

M=q i=-qθ iBi, et telle que :

1. la variance d"un bruit blanc soit r´eduite au maximum;

2. les constantes soient conserv´ees.

Montrer queMest la moyenne mobile arithm´etique qui est de la forme suivante : M=1

2q+ 1q

i=-qB -i. Remarquer ´egalement queMlaisse invariantes les tendances lin´eaires. Exercice 2.8On s"int´eresse `a l"effet d"une moyenne mobile sur un bruit blanc. SoitMune moyenne mobile de la forme : M=m 2 i=-m1θ iB-i, et (Zt, tZ) un bruit blanc de moyenne nulle et varianceσ2. On pose : tZ, Yt=MZt.

1. Montrer que pour touttZ,E[Yt] = 0 et, pour touttZet toutkZ,

Cov[Yt,Yt+k] =σ2

j?Zθ jθj-k=γ(k),(1) o`u on a pos´eθj= 0 sij m2.

2. SoitXt=mt+st+Zt, avecmtune tendance quadratique etstune saisonnalit´e de

p´eriodep. On suppose queMlaisse invariantes les tendances quadratiques et absorbe les saisonnalites de p´eriodep. Que vautMXt? Le bruit dans la s´erieMXtest-il un bruit blanc? Que vaut sa variance, et sous quelle condition est-elle plus faible queσ2?

3. Montrer queγv´erifie :

k?Zγ(k)zk=σ2M(z)M(1 z), o`uM(z) = j?Zθjzjest la fonction de transfert du filtre constitu´e par la moyenne mobile M. M1 BIBS OrsayAnalyse spectrale et S´eries Chro.2010-2011

Travaux dirig

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´ediction et mod`eles non stationnaires

Exercice 3.1SoientXetYdeux variables al´eatoires r´eelles de carr´e int´egrableetρleur

coefficient de corr´elation. Dans cet exercice, on s"int´eresse `a la meilleure approximation deX

par une fonction affine deYau sensL2(P). C"est `a dire que l"on rechercheaetbde sorte que E[(X?(aY+b))2] soit minimale. On noteXcette meilleure approximation.

1. On suppose queYn"est pas constante p.s. En utilisant queE[(X?X)Y] = 0 etE[(X?X)] = 0, montrer que

X=E(X) +ρ

Var(X)

Var(Y)(Y?E(Y)).

2. Montrer que la pr´ecision de l"approximation est donn´eepar :

E[(X?X)2] =Var(X)(1?ρ2).

Exercice 3.2SoitUun bruit blanc de varianceσ2. SoitXun processus AR(1), c"est-`a-dire queXt?aXt-1=Ut, avecaR. On suppose quea = 1.

1. Prouver que sia<1, alors

tZ, Xt= k?0a kUt-k. En d´eduire que l"espace vectoriel ferm´eHnXengendr´e par les variablesXp, p?nest ´egal `a l"espace vectoriel ferm´eHnUengendr´e par les variablesUp, p?n. Calculer la fonction de covariance deX.

2. Prouver que sia>1, alors

tZ, Xt=? k?1a -kUt+k.

Calculer la fonction de covariance deX.

Exercice 3.3 Pr´ediction d"unARMA(1,1)

SoitX= (Xt)t?Zun processusARMAsatisfaisant

tZ, Xt?1

2Xt-1=Ut?13Ut-1,(2)

o`uU= (Ut)t?Zest un bruit blanc de varianceσ2. On noteγsa fonction de covariance.

1. En calculant pourl?2,E(XtXt-l), montrer alors que

l?2, γ(l) = 2-l+1γ(1).

2. Montrer que

tZ, Xt=Ut+1

3+∞

k=12 -kUt-k puis que tZ,lZ, Xt-l=Ut-l+1

3+∞

k=12 -kUt-l-k.(3)

3. En utilisant l"´equation (3) avecl= 0 etl= 1 ainsi que l"´equation (2), calculerγ(0) et

γ(1) en fonction deσ2.

4. Calculer la meilleure pr´ediction deXn+1en fonction deHXn=

vect(Xp, p?n).

5. On suppose que le processusWest gaussien. Donner un intervalle de confiance `a 95%

pourXn+1.

6. Calculer la meilleure pr´ediction deXn+jen fonction deHXn=

vect(Xp, p?n) pour tout j?1.

7. Calculer, `a l"aide d"un ordinateur, les coefficients de lapr´ediction lin´eaire deXn+1en

fonction de (X0,...,Xn-1). M1 BIBS OrsayAnalyse spectrale et S´eries Chro.2010-2011

Travaux dirig

´es

Statistique sur les ARMA et mod

`eles non stationnaires

Exercice 4.1

1. Soitφun r´eel tel queφ<1,Zun bruit blanc de varianceσ2etXl"AR(1) causal d´efini

par : X t=φXt-1+Zt. Pouri?0, calculerPφ(XiXi-1,...,X0), la pr´ediction lin´eaire deXisachantXi-1,...,X0, etri(φ) la variance de l"erreur de pr´ediction : r i(φ) =E[(Xi?Pφ(XiXi-1,...,X0))2].

2. On observe maintenant une s´erie chronologique al´eatoireX0,...,Xn-1, et on fait l"hy-

poth`ese que c"est unAR(1) causal d´efini par une valeurφinconnue. Si on pr´edit s´equentiellement

X iparPφ(XiXi-1,...,X0, on note : S n(φ,X) =n-1 i=0(Xi?Pφ(XiXi,...,Xi-1))2 ri(φ)

la somme des carr´es des erreurs de pr´ediction standardis´ees. Calculerφ(1)la valeur deφ

qui minimiseSn(φ,X).

3. Dans le mˆeme cadre que la question pr´ec´edente, on note

φ(2)l"estimateur du maximum

de vraisemblance deφ. Montrer que siφ(1)= 0, alorsφ(2)=φ(1). Exercice 4.2Soitφun r´eel tel queφ<1,Zun bruit blanc de varianceσ2,Yl"AR(1) causal d´efini par : Y t=φYt-1+Zt, et (Xt)t?0l"ARIMA(1,1,0) d´efini par une variableX0d´ecorr´el´e de (Zt)t?Zet : t?1, Xt=Xt-1+Yt. D´eterminer la pr´ediction lin´eaire `a un pas deXtsachantX0,...,Xt-1pourt?1.

Exercice 4.3Soientα1etα2deux nombres r´eels, et (xt)t?0une suite d´eterministe d´efinie par

la r´ecurrence suivante : x0etx1donn´es t?2, xt=α1xt-1+α2xt-2 SoitZtun bruit blanc. On consid`ere un processusYtd´efini par : t?0, Yt=φ1Yt-1+φ2Yt-2+a1xt-1+a2xt-2+Zt+θ1Zt-1.

Ecrire un mod`ele d"´etat pourY.

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Travaux dirig

´es

Analyse spectrale

Exercice 5.1Calculer les transform´ees de Fourier discr`etes des s´eries sur0,...,n?1d´efinies

par les fonctions suivantes : 1.tt

2.teitω0, avecω0[?π,π] fix´e.

3.tsin(tω0), avecω0[?π,π] fix´e.

Exercice 5.2 Ph´enom`ene de Gibbs discret

SoitmNetn= 2m. On d´efinit le vecteurxsuivant : t 0,...,n?1, x(t) = 1It?m-1.

On fixeα]0,1/2]. On poseJ=αnet :

s 0,...,n?1, xJ(s) =1 nJ j=-Je2iπjs nx(j),

Montrer que :

J(n?1) =

2?JnsiJest pair

2?J+1nsiJest impair.

ComparerxJ(n?1) `ax(n?1) et commenter.

Solutions

Solution 1.4:Une moyenne mobile ´etant un op´erateur lin´eaire, il suffit d"´ecrire ce qu"il faut

sur une base des polynˆomes (1,t,t2) et sur une base des fonctions de p´eriode 3 et de moyenne nulle :tZ, a2+a1+a0+a1+a2= 1 tZ, a2(t?2) +a1(t?1) +a0t+a1(t+ 1) +a2(t+ 2) =t tZ, a2(t?2)2+a1(t?1)2+a0t2+a1(t+ 1)2+a2(t+ 2)2=t2 tZ, a2s1(t?2) +a1s1(t?1) +a0s1(t) +a1s1(t+ 1) +a2s1(t+ 2) = 0 tZ, a2s2(t?2) +a1s2(t?1) +a0s2(t) +a1s2(t+ 1) +a2s2(t+ 2) = 0 ce qui est ´equivalent `a :

2a2+ 2a1+a0= 1

4a2+a1= 0

tZ, a2+a1?a0= 0

D"o`u :

a 0=3

9, a1=49, a2=?19.

Solution 2.7:On cherche donc les coefficientsθ= (θ-m,...,θ0,...,θm), solution du probl`eme

de minimisation suivant : max θm i=-mθ 2i s.c. m i=-mθ i= 1 En appliquant la m´ethode des multiplicateurs de Lagrange,on montre que la solution optimale est : i ?m,...,m, θi=1

2q+ 1.

Solution 5.1:Calculons d"abord la transform´ee de Fourier discr`eten(λ) du vecteur (X1,...,Xn).

n(λ) =1 nn t=1equotesdbs_dbs4.pdfusesText_7

[PDF] Travaux dirig´es - Université Grenoble Alpes

Travaux dirig

´es

Statistique descriptive

1. Donneray/xetax/yen fonction des (xi)i=1,...,net (yi)i=1,...,n.

2. Montrer queay/xax/y= corr(x,y)2.

3. interpr´eter les cas corr(x,y) = 0, corr(x,y) = 1 et corr(x,y) =?1.

1. On suppose que la s´erie peut se d´ecomposer en

2. SoitqN?. On suppose que sur chaque intervalle de longueur 2q+ 1, la s´erie peut ˆetre

1. Montrer que sitmtest lin´eaire alors la s´erie obtenue par

2q+ 1q

2. Soit (θ-q,θ-q+1,...,θ-1,θ0,θ1,...,θq-1,θq) une suite de 2q+ 1 coefficients tels que

2q+ 1q

1(0) = 1, s1(1) =?1 ets2(0) = 1,s2(2) =?1.

Travaux dirig

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Processus stationnaires - ARMA

1. Montrer que le processusX= (Xt)t?Zd´efini par

3t) +Bsin(π3t),

2. Trouver sa fonction d"autocovariance.

3. Tracer une trajectoire de ce processus (choisirAetB) pourt= 1,...,50. Commenter.

ρ=Cov(X,Y)

Var(X)Var(Y).

1. Montrer queρ[?1;1].

2. Montrer que

ρ= 1il existe (a,b)R2tels queX=aY+b p.s.

3. Que vautρquandXetYsont ind´ependantes?

4. SoitAune variable al´eatoire suivant une loi uniforme sur [0;1].On poseX= cos(2πA)

On poseU=X+Y?ZetV=aX+bY, o`uaetbsont dansR.

1. Quelle est la loi de (U,V)? D´eterminer la loi deUet la loi deV.

2. D´eterminer les lois deU+VetU?V. A quelle conditionU+VetU?Vsont-elles

3. Peut-on avoirUetVind´ependantes ainsi queU+VetU?V?

1. Quelle est la loi deZ? Le couple (X,Z) est-il gaussien?

2. Montrer que pour toutp[0;1],XetZne sont pas ind´ependantes. Montrer cependant

K=1ρ

Exercice 2.7SoitMune moyenne mobile de la forme :

1. la variance d"un bruit blanc soit r´eduite au maximum;

2. les constantes soient conserv´ees.

2q+ 1q

1. Montrer que pour touttZ,E[Yt] = 0 et, pour touttZet toutkZ,

Cov[Yt,Yt+k] =σ2

2. SoitXt=mt+st+Zt, avecmtune tendance quadratique etstune saisonnalit´e de

3. Montrer queγv´erifie :

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´ediction et mod`eles non stationnaires

1. On suppose queYn"est pas constante p.s. En utilisant queE[(X?X)Y] = 0 etE[(X?X)] = 0, montrer que

X=E(X) +ρ

Var(X)

Var(Y)(Y?E(Y)).

2. Montrer que la pr´ecision de l"approximation est donn´eepar :

E[(X?X)2] =Var(X)(1?ρ2).

1. Prouver que sia<1, alors

2. Prouver que sia>1, alors

Calculer la fonction de covariance deX.

Exercice 3.3 Pr´ediction d"unARMA(1,1)

SoitX= (Xt)t?Zun processusARMAsatisfaisant

2Xt-1=Ut?13Ut-1,(2)

1. En calculant pourl?2,E(XtXt-l), montrer alors que

2. Montrer que

3+∞

3+∞

3. En utilisant l"´equation (3) avecl= 0 etl= 1 ainsi que l"´equation (2), calculerγ(0) et

γ(1) en fonction deσ2.

4. Calculer la meilleure pr´ediction deXn+1en fonction deHXn=

5. On suppose que le processusWest gaussien. Donner un intervalle de confiance `a 95%

6. Calculer la meilleure pr´ediction deXn+jen fonction deHXn=

7. Calculer, `a l"aide d"un ordinateur, les coefficients de lapr´ediction lin´eaire deXn+1en

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Statistique sur les ARMA et mod

Exercice 4.1

1. Soitφun r´eel tel queφ<1,Zun bruit blanc de varianceσ2etXl"AR(1) causal d´efini

2. On observe maintenant une s´erie chronologique al´eatoireX0,...,Xn-1, et on fait l"hy-

3. Dans le mˆeme cadre que la question pr´ec´edente, on note

φ(2)l"estimateur du maximum

Ecrire un mod`ele d"´etat pourY.

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Analyse spectrale