[PDF] Renforcement S´eries Chronologiques - univ-toulouse

Tendance,stationnarité, autocovariance,opérateurretard

2/45 1 Tendance,stationnarité,autocovariance,opérateurretard temps température 1920 1925 1930 1935 1940 30 40 50 60 année passagers 1950 1952 1954 1956 1958 1960

Corrig´e de l’examen de s´eries chronologiques du 5 juin 2006

Exercice 1 Soit {X n} un processus stationnaire au second ordre On suppose que {X n} est un processus AR(1), qui v´erifie l’´equation X n = aX n−1 + n, ou` { n} est une suite de variables i i d centr´ees de variance σ2 et a

Renforcement S´eries Chronologiques - univ-toulouse

Feuille d’exercices n˚1 : Processus stationnaires, AR et MA Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer que la somme de deux processus stationnaires n’est pas n´ecessairement stationnaire Soit (ηt)t∈Z un bruit blanc; v´erifier que les processus d´efinis par : Xt = ηt, ∀t∈ Z et Yt = (−1)tηt, ∀t∈ Z sont stationnaires

M1 ISMAG MIS243Y - S´eries chronologiques

Feuille d’exercices n˚1 : Processus stationnaires, AR et MA Exercice 1 Le but de cet exercice est de montrer que la somme de deux processus stationnaires n’est pas n´ecessairement stationnaire Soit (ηt)t∈Z un bruit blanc; v´erifier que les processus d´efinis par : Xt = ηt, ∀t ∈ Z et Yt = (−1)tηt, ∀t ∈ Z sont stationnaires

Université Kairouan ISMAI - e-monsite

Corrigé de l'examen Janvier 2013 - Série temporelle (voir Exercice 1) Exercice 4 : Le processus X donc le processus est stationnaire et inversible Ainsi

Travaux dirig´es - Université Grenoble Alpes

Exercice 2 2 Soient A et B deux variables al´eatoires r´eelles centr´ees ind´ependantes, de mˆeme variance 1 Montrer que le processus X = (Xt)t∈Z d´efini par Xt = Acos(π 3 t)+Bsin(π 3 t), est stationnaire au sens large 2 Trouver sa fonction d’autocovariance 3 Tracer une trajectoire de ce processus (choisir A et B) pour t = 1

Dur´ee : 1 h 15 - LAAS

1- Montrer que x(t) est stationnaire au sens large 2- Montrer que le processus est `a moyenne et `acorr´elation ergodiques Exercice 5 : On d´efinit une certaine classe de signaux y(t) par : y(t)=rx(t)cos(ω pt+φ) o`u x(t) est un signal al´eatoire stationnaire modulant une porteuse sinusoidale rcos(ω pt + φ) La moyenne de x(t) est

Master 1 ESA Econométrie et Statistique Appliquée TD SERIES

EXERCICE 3: Etude d’un Processus MA(1) – suite On considère à présent le processus MA(1) suivant : xt = (1 − 0 5 L)ut 1 Reprendre les questions 3) et 4) de l’exercice précédent pour ce processus 2 Ci-dessous, sont représentées les fonctions d’autocorrélation totale et partielle des deux processus de l’exercice 2 et 3

Processus al eatoires et applications

1 1 EXEMPLES DE CHA^INES DE MARKOV 5 1 2=3 1=3 2=31 Figure 1 3 Le mod ele d’urnes d’Ehrenfest, dans le cas de 3 boules On peut a nouveau d ecrire le syst eme par une cha^ ne de Markov, cette fois sur l’espace

Exercices : des exemples classiques, quelques calculs

Exercice 4 Un jeu organis e par une compagnie consiste a r eunir une collection compl ete de ncoupons a n d’obtenir un lot On suppose que le client qui cherche a collectionner consomme chaque jour un paquet du produit vendu par la compagnie et re˘coit du coup chaque jour un nouveau coupon, qu’on supposera choisi uniform ement parmi les n,

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Renforcement

S´eries Chronologiques

Exercices et TP

Agn`es Lagnoux

lagnoux@univ-tlse2.fr ISMAG

MASTER 1 - MI00141X

M1 ISMAG

MI0B246X - S´eries chronologiques

Feuille d"exercices n°1 : Processus stationnaires, AR et MA

Exercice 1

Le but de cet exercice est de montrer que la somme de deux processus stationnaires n"est pas n´ecessairement stationnaire. Soit (ηt)t?Zun bruit blanc; v´erifier que les processus d´efinis par :Xt=ηt,?t?Zet Y t= (-1)tηt,?t?Zsont stationnaires. Montrer que leur sommeZt=Xt+Yt,?t?Z, n"est pas un processus stationnaire.

Exercice 2

Parmi les s´eries chronologiques suivantes, d´eterminer celles qui sont centr´ees, stationnaires.

-Xn=1 n?n. -Xn= 0.2?n+ 0.9?n-8. -Xn=?2n+ 0.5?n-1-σ2. -Xn=?n+ 0.2n.

Nota: Ici?nest un bb Gaussien de varianceσ2.

On rappelle que siYetZsont des v.a. ind´ependantes, alorsY2est ind´ependant deZ. Certains calculs peuvent ˆetre ´evit´es en reconnaissant des mod`eles connus.

Exercice 3

SoitX= (Xt)t?Nun processus stationnaire et pour toutt?Z,X?tla r´egression affine de X tsur (Xs)s≤t-1. Montrer que le processus d´efini par la suite des innovations (Xt-X?t)t?N est un bruit blanc.

Exercice 4`A partir des autocorr´elations empiriques (en haut) et des autocorr´elations partielles em-

piriques (en bas), proposer, s"il y a lieu, des mod`eles pourles processus suivants de la figure 1.

Exercice 5 : Etude approfondie du processus MA(1)

On consid`ere le processus (Xt)t?Zd´efini par : ?t?Z, Xt=ηt-θηt-1, o`uθest un r´eel tel que|θ|<1 et (ηt)t?Zest un bruit blanc de varianceσ2>0. 1.

´Ecrireηten fonction de (Xs, s≤t).

2. En d´eduire la r´egression affine deXtsur (Xs, s≤t).

3. Soit

?XT(1) la pr´evision lin´eaire optimale deXT+1, c"est-`a-dire la r´egression affine de X T+1surXT,XT-1,...Calculer l"erreur de pr´evision : IE X

T+1-?XT+1?

2. 2

0 5 10 15 20 25 30

-0.5 0.0 0.5 1.0 Lag ACF

Series ts(a)

0 5 10 15 20 25 30

-0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 0.6 0.8 1.0 Lag ACF

Series ts(m)

0 5 10 15 20 25 30

-0.6 -0.4 -0.2 0.0 0.2 0.4 Lag

Partial ACF

Series ts(a)

0 5 10 15 20 25 30

-0.4 -0.3 -0.2 -0.1 0.0 Lag

Partial ACF

Series ts(m)

Figure1 - Exemples de l"exercice 4

3

Exercice 6 : Etude approfondie du processus AR(1)Soit (Xt)t?Zun processus stochastique centr´e tel que :

X t-?Xt-1=ηt,?t?Z, o`u (ηt)t?Zest un bruit blanc de varianceσ2>0 et??R. I.

1. On suppose que?= 1.

a. Pourt?Zeth?N?, ´ecrireXt-Xt-hen fonction deηt,...,ηt-h+1. b. En d´eduire la valeur deIE(Xt-Xt-h)2. c. Montrer que (Xt)t?Zne peut pas ˆetre un processus stationnaire.

2. On suppose que?=-1; montrer que (Xt)t?Zne peut pas ˆetre stationnaire.

II.On suppose que|?|<1 et que (Xt)t?Zest un processus stationnaire.

1. Pourt?Z, ´ecrireXten fonction de (ηs)s?Z.

2. En d´eduire queηtest l"innovation du processus `a la datet.

3. Soith?N?; ´etablir une relation de r´ecurrence entreγ(h) etγ(h-1), o`uγest la

fonction d"autocovariance du processus.

4. Calculerγ(0) et en d´eduire l"expression deγ(h) pour touth.

5. Calculer la fonction d"autocorr´elation du processus.

6. Calculer la fonction d"autocorr´elation partielle du processus.

7. Montrer que, pouri= 1,2,?γ(i) =1

T-iT-i?

t=1X tXt+iest un estimateur sans biais de

γ(i). En d´eduire un estimateur de?.

III. On suppose que|?|>1 et que (Xt)t?Zest stationnaire.

1. EcrireXten fonction de (ηs)s?Z.

2. Soit (?t)t?Zle processus d´efini par :

X t-1 ?Xt-1=?t.

Ecrire?ten fonction de (ηs)s?Z.

3. Montrer que (?t)t?Zest un bruit blanc et que?test l"innovation du processus `a la

datet.

Exercice 7

Soitηun bruit blanc de variance 1 etXle MA(1) d´efini selon X t=ηt-2ηt-1

1. Quelles sont les autocovariances deX?

2. Quelle est la relation MA(1) entreXet son bruit blanc d"innovation??

4

3. Quelle est la variance de??

4. Exprimez?ten fonction des valeurs pass´ees deX.

5. Exprimez les pr´evisions optimales

?Xt(1),?Xt(2),... en fonction deXt,Xt-1,...

Exercice 8

Soitηun bruit blanc etXle AR(1) de variance 1 v´erifiant X t-3Xt-1=ηt

1. Comment s"exprime X en fonction des valeurs pass´ees de son bruit blanc d"innovation

t?

2. On suppose avoir observ´e (X-5,...,X0) = (-1,0.6,1.2,-0.6,0.75,0.27). Quelles

sont les valeurs num´eriques des pr´edictions optimales ?X0(1) et?X0(2)?

3. Quelle est la variance de??

4. D´eterminer la variance deη:

(a) en utilisant la relationXt-3Xt-1=ηt; (b) apr`es avoir exprim´eXen fonction des valeurs futures deη.

Exercice 9

Soit?un bruit blanc de varianceγ?etXle AR(2) v´erifiant X t-8

15Xt-1+115Xt-2=?t

1. On suppose queXest de variance 1. Quelles sont les ´equations de Yule-Walker reliant

?,γ0(= 1),γ1etγ2? En d´eduire les valeurs deγ?,γ1etγ2?

2. D´eterminezAetBde sorte que

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