FICHE 16 : CRITÈRES DE DIVISIBILITÉ
Un naturel est divisible par 8 si ses trois derniers chiffres forment un multiple de 8 Un naturel est divisible par 7 si la différence positive entre le double de la valeur du chiffre des unités et le nombre formé par les autres chiffres est un multiple de 7 Un naturel est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est un multiple de 9
CM2-AEI-C7-N1 C7 : Connaitre et utiliser les critères de
2 644 est divisible par 4 car 44 est divisible par 4 3 Divisibilité par 3 ou 9 on fait la somme des chiffres composant le nombre • Un nombre est divisible par 3 si la somme de ses chiffres est divisible par 3 Exemples : 42 car 4+2 =6 est divisible par 3 1 647 est divisible par 3 car 1+6+4+7=18 et 18 est divisible par 3 • Un nombre est
Congruences Critères de divisibilité
Congruences Critères de divisibilité Par suite, 24k+2≡4(5) Le reste de la division euclidienne de 2p par 5 est 4 Si p=4k+3 2p=24k+3=24k×23 Or, 24k≡1(5) Donc 24k×23≡1×23(5) Par suite, 24k+3≡8(5) Par suite, 24k+3≡3(5) Le reste de la division euclidienne de 2p par 5 est 3 Exemple: Quel est le reste de la division euclidienne de
Caractères de divisibilité des entiers - LMRL
Divisibilité par 7 Soit N un entier naturel, u son chiffre des unités et n l’entier obtenu en « amputant » N de u (Par exemple, si N = 1438, n = 143 alors u = 8 ) Alors N est divisible par 7 ssi n−2u est divisible par 7 Pour un entier à 4 chiffres, on a donc : 7 IIabcd ⇔−7 ()abc 2⋅d n
CORRECTION DU DEVOIR MAISON : CRITERES DE DIVISIBILITES
On en déduit le critère suivant de divisibilité par 11 : Un nombre est divisible par 11 si et seulement si la somme de ses chiffres de rangs pairs est congrue modulo 11 à la somme de ses chiffres de rangs impairs 3 1 + 2 + 7 + 9 + 6 = 25 ; 9 + 5 + 8 + 3 = 25 On en déduit que 192 578 936 est un multiple de 11 Sophie Touzet TS spé
13 Des critères gagnants - SMAC
Division de très grands nombres par 3 et par 9 Tout comme le critère de divisibilité par 3, on sait qu’un nombre est divisi-ble par 9 si la somme des chiffres qui le composent est divisible par 9 Par contre, plus un nombre est grand, plus il devient difficile de savoir s’il est divisible par 3 ou par 9 sans calculatrice
Critère de divisibilité Fiche élève
Démonstration du critère par 5 Faire la démonstration du critère de divisibilité par 5 en faisant le même raisonnement que le critère de divisibilité par 2 Intention des auteurs Le but de cette activité est d’initier les élèves à la démonstration Pour cela on va démontrer le critère de divisibilité par 2
Mercredi 13 mai SEANCE 2 CM2
Le critère de divisibilité par 9 Un nombre est divisible par 9 si la somme de ses chiffres est divisible par 9 Divisible par 9 •9 est un diviseur de ce nombre Multiple de 9 •0, 9, 18, 27, 36, 45, 54, 63, 72, 91, 90, 99, •La somme de ses chiffres est un multiple de 9 63, 72, 81,
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Congruences. Critères de divisibilité.
1. Congruences....................................................p2
2. Critères de divisibilité dans le système
Congruences. Critères de divisibilité.
1. Congruences
Soitaun entier relatif etbun entier naturel non nul alors il existe un unique couple (q;r),qentier relatif etrentier naturel vérifiant: a=bq+ravec0⩽r b. 1.2. Activité
a) ✔Quels sont les restes de la division euclidienne par 5 des nombres -27; -12; 37 et 52 -27=5×(-6)+3q=-6r=3 -12=5×(-3)+3 q=-3r=3 37=5×7+2q=7r=2
52=5×10+2q=10r=2
On peut aussi utiliser le tableur:
On tape:
En A1:aEn B1:bEn C1: quotientEn D1: reste
En A2: -27En B2: 5En C2: " =quotient (A2;B2) »En D2: " =mod(A2;B2) En A3: -12En B3: 5 En C3 et D3, on étire les formule de C2 et D2 Etc...
✔Soitaun entier relatif dont le reste de la division euclidienne par 5 est 2. Que devient ce reste si on
ajoute à a un multiple de 5? Soit Donc le reste de la division euclidienne de b par 5 est aussi 2. Congruences. Critères de divisibilité.
✔aeta'sont deux entiers relatifs admettant 2 comme reste dans la division euclidienne par 5. Que peut-
on dire dea-a'? b) a=-18 ;a'=12 ;b=29 ;b'=-6 ✔Quels sont les restes des divisions euclidiennes par 5 dea;a';b;b' a=5×(-4)+2q=-4r=2a'=5×2+2q=2 r=2 b=5×5+4q=5r=4 b'=5×(-2)+4q=-2r=4 ✔Quels sont les restes de la division euclidienne dea+bet dea'+b'par 5? a+b=-18+29=11=5×2+1q=2r=1 a'+b'=12-6=6=5×1+1q=1r=1 ✔Quels sont les restes de la division euclidienne de7a-3bet7a'-3b'par 5? 7a-3b =7[5×(-4)+2]-3[5×5+4] =5×(-28)+14+5×(-15)-12 =5×(-43)+2q=-43r=27a'-3b' =7[5×2+2]-3[5×(-2)+4] =5×14+14+5×6-12 =5×20+2 q=20r=2✔Quels sont les restes de la division euclidienne deabeta'b'par 5? ab =-18×29 =-522 =5×(-105)+3q=-105 r=3 Congruences. Critères de divisibilité.
a'b'=12×(-6)=-72 =5×(-15)+3 q=-15 r=3 ✔Quels sont les restes de la division euclidienne de a3 ;a'3 ;b2etb'2 par 5? a3=-5832 =5×(-1167)+3q=-1167r=3 a'3 =1728 =5×345+3q=345r=3 b2=841 =5×168+1q=168r=1 b'2 =36 =5×7+1q=7r=1 1.3. Définition
nest un entier naturel supérieur ou égal à 2. Deux entiers relatifsaeta'qui ont le même reste dans la division euclidienne parn sont dits congrus modulo n. On note: a≡a'(modn)oua≡a'(n)
1.4. Conséquence
nest un entier naturel supérieur ou égal à 2.aet a'deux entiers relatifs. a≡a'(modn)⇔(a-a')est un multiple den1.5. Propriétés Congruences. Critères de divisibilité.
nest un entier naturel supérieur ou égal à 2.a,a',a''entiers relatifs. Si a≡a'(modn)et sia'≡a''(modn)alorsa≡a''(modn)Démonstration: a-a''=(a-a')+(a'-a'') (a-a')est un multiple den; (a'-a'')est un multiple den.Or la somme de deux multiples denest un multiple dendonca-a''est un multiple denet donc:
a≡a''(modn)nest un entier naturel supérieur ou égal à 2. a,a',kentiers relatifs Si ka-ka'=k(a-a') (a-a')est un multiple den. Or tout multiple d'un multiple denest un multiple dendonck(a-a')est un multiple denet donc: ka≡ka'(modn)nest un entier naturel supérieur ou égal à 2.a,a',b,b'entiers relatifs Si a≡a'(modn)et sib≡b'(modn)alorsa+b≡a'+b'(modn)Démonstration: (a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')(a-a')est un multiple den;(b-b')est un multiple den. Or la somme de deux multiples denest un multiple dendonc (a+b)-(a'+b')est un multiple denet donc: a+b≡a'+b'(modn)nest un entier naturel supérieur ou égal à 2.a,a',b,b' entiers relatifs Si a≡a'(modn)et sib≡b'(modn)alorsab≡a'b'(modn)Démonstration: ab-a'b'=ab-ab'+ab'-a'b'=a(b-b')+b'(a-a') (a-a')est un multiple den;(b-b')est un multiple den. Donca(b-b')+b'(a-a')est un multiple denet donc:
Congruences. Critères de divisibilité.
nest un entier naturel supérieur ou égal à 2.a,a',b,b',k,k' entiers relatifs Sia≡a'(modn)et sib≡b'(modn)alorska+kb≡ka'+kb'(modn)Démonstration: (ka+kb)-(ka'+kb')=k(a-a')+k(b-b') (a-a')est un multiple denet(b-b')est un multiple den. Donck(a-a')+k(b-b')est un multiple denet donc:
ka+kb≡ka'+kb'(modn)nest un entier naturel supérieur ou égal à 2.a,a' entiers relatifs et p entier naturel
non nul Si On peut effectuer un raisonnement par récurrence surp. ou: ap-a'p=(a-a')(ap-1+ap-2a'+ap-3a'2+...+aa'p-2+a'p-1)(a-a') est un multiple de n donc (a-a')(ap-1+ap-2a'+ap-3a'²+ ... +aa'p-2+a'p-1) est un multiple de n et donc:
ap≡a'p(modn) nest un entier naturel supérieur ou égal à 2. a entier relatif et d entier naturel non nul Si a≡d(modn)avec0⩽dDémonstration: a-d=nk a=nk+d On effectue la division euclidienne de a par n:
Par unicité du couple (q; r) de la division euclidienner=d Remarque importante:
nest un entier naturel supérieur ou égal à 2. a,b,kentiers relatifs Si Congruences. Critères de divisibilité.
Démonstration:n=4a=8b=10k=2
ka=16ka≡0(4) kb=20kb≡0(4) Donc ka≡kb(4) a≡0(4)etb≡2(4) aet b n'ont pas le même reste dans la division euclidienne par 4 doncaetbne sont pas congrus modulo 4.
1.6. Exercices
a) Déterminer les restes de la division euclidienne de2pp∈ℕpar5. 20=1≡1(5)Le reste de la division euclidienne de20par 5 est 1.
21=2≡2(5)Le reste de la division euclidienne de21par 5 est 2.
22=4≡4(5) Le reste de la division euclidienne de22par 5 est 4.
23=8≡3(5) Le reste de la division euclidienne de23par 5 est 3.
24=16≡1(5)Le reste de la division euclidienne de
24par 5 est 1.
Tout entier naturelppeut s'écrirep=4koup=4k+1oup=4k+2oup=4k+3aveck∈ℕcar le reste de la division euclidienne deppar 4 est soit égal à 0; 1; 2 ou 3. Si p=4k 2p=24k=(24)kOr, 24≡1(5)
Donc (24)k≡1k(5) Par suite,
2p≡1(5)Le reste de la division euclidienne de2ppar 5 est 1.
Sip=4k+1
2p=24k+1=24k×21
Or, Par suite,
24k+1≡2(5)Le reste de la division euclidienne de2ppar 5 est 2.
Sip=4k+2
2p=24k+2=24k×22Or,24k≡1(5)
Donc Congruences. Critères de divisibilité.
Par suite,24k+2≡4(5)
Le reste de la division euclidienne de2ppar 5 est 4. Sip=4k+3
2p=24k+3=24k×23
Par suite,
24k+3≡8(5)Par suite,24k+3≡3(5)
Le reste de la division euclidienne de2ppar 5 est 3. Exemple:
Quel est le reste de la division euclidienne de22011par 5 2011=4×502+3
donc2011=4k+3aveck=502 Donc 2011≡3(5)
Le reste de la division euclidienne de 2011 par 5 est 3. b) ✔Déterminer les restes de la division euclidienne de3ppar 4 (p∈ℕ)✔Déterminer les restes de la division euclidienne de3ppar 7 (p∈ℕ)✔En déduire que31998-1est divisible par 4 et 7. 31=3≡3(4)32=9≡1(4)
Donc, pourk∈ℕ,
31=3≡3(7)32=9≡2(7)
Congruences. Critères de divisibilité.
Pourk∈ℕ ,les restes des divisions euclidiennes de 36k;36k+1;36k+2;36k+3;36k+4;36k+5sont
respectivement 1; 3; 2; 6; 4; 5 1998=2×999Donc
31998≡1(4)31998-1≡0(4)
Donc31998-1est divisible par 4
1998=6×333
Donc 31998≡1(7)
31998-1≡0(7)Donc31998-1est divisible par 7
2. Critères de divisibilité dans le système décimal
a∈ℕa=mcdu u∈ℕquotesdbs_dbs4.pdfusesText_8
1.2. Activité
a) ✔Quels sont les restes de la division euclidienne par 5 des nombres -27; -12; 37 et 52 -27=5×(-6)+3q=-6r=3 -12=5×(-3)+3 q=-3r=337=5×7+2q=7r=2
52=5×10+2q=10r=2
On peut aussi utiliser le tableur:
On tape:
En A1:aEn B1:bEn C1: quotientEn D1: reste
En A2: -27En B2: 5En C2: " =quotient (A2;B2) »En D2: " =mod(A2;B2) En A3: -12En B3: 5 En C3 et D3, on étire les formule de C2 et D2Etc...
✔Soitaun entier relatif dont le reste de la division euclidienne par 5 est 2. Que devient ce reste si on
ajoute à a un multiple de 5? Soit Donc le reste de la division euclidienne de b par 5 est aussi 2.Congruences. Critères de divisibilité.
✔aeta'sont deux entiers relatifs admettant 2 comme reste dans la division euclidienne par 5. Que peut-
on dire dea-a'? b) a=-18 ;a'=12 ;b=29 ;b'=-6 ✔Quels sont les restes des divisions euclidiennes par 5 dea;a';b;b' a=5×(-4)+2q=-4r=2a'=5×2+2q=2 r=2 b=5×5+4q=5r=4 b'=5×(-2)+4q=-2r=4 ✔Quels sont les restes de la division euclidienne dea+bet dea'+b'par 5? a+b=-18+29=11=5×2+1q=2r=1 a'+b'=12-6=6=5×1+1q=1r=1 ✔Quels sont les restes de la division euclidienne de7a-3bet7a'-3b'par 5? 7a-3b =7[5×(-4)+2]-3[5×5+4] =5×(-28)+14+5×(-15)-12 =5×(-43)+2q=-43r=27a'-3b' =7[5×2+2]-3[5×(-2)+4] =5×14+14+5×6-12 =5×20+2 q=20r=2✔Quels sont les restes de la division euclidienne deabeta'b'par 5? ab =-18×29 =-522 =5×(-105)+3q=-105 r=3Congruences. Critères de divisibilité.
a'b'=12×(-6)=-72 =5×(-15)+3 q=-15 r=3 ✔Quels sont les restes de la division euclidienne de a3 ;a'3 ;b2etb'2 par 5? a3=-5832 =5×(-1167)+3q=-1167r=3 a'3 =1728 =5×345+3q=345r=3 b2=841 =5×168+1q=168r=1 b'2 =36 =5×7+1q=7r=11.3. Définition
nest un entier naturel supérieur ou égal à 2. Deux entiers relatifsaeta'qui ont le même reste dans la division euclidienne parn sont dits congrus modulo n.On note: a≡a'(modn)oua≡a'(n)
1.4. Conséquence
nest un entier naturel supérieur ou égal à 2.aet a'deux entiers relatifs. a≡a'(modn)⇔(a-a')est un multiple den1.5. PropriétésCongruences. Critères de divisibilité.
nest un entier naturel supérieur ou égal à 2.a,a',a''entiers relatifs. Si a≡a'(modn)et sia'≡a''(modn)alorsa≡a''(modn)Démonstration: a-a''=(a-a')+(a'-a'') (a-a')est un multiple den;(a'-a'')est un multiple den.Or la somme de deux multiples denest un multiple dendonca-a''est un multiple denet donc:
a≡a''(modn)nest un entier naturel supérieur ou égal à 2. a,a',kentiers relatifs Si ka-ka'=k(a-a') (a-a')est un multiple den. Or tout multiple d'un multiple denest un multiple dendonck(a-a')est un multiple denet donc: ka≡ka'(modn)nest un entier naturel supérieur ou égal à 2.a,a',b,b'entiers relatifs Si a≡a'(modn)et sib≡b'(modn)alorsa+b≡a'+b'(modn)Démonstration: (a+b)-(a'+b')=(a-a')+(b-b')(a-a')est un multiple den;(b-b')est un multiple den. Or la somme de deux multiples denest un multiple dendonc (a+b)-(a'+b')est un multiple denet donc: a+b≡a'+b'(modn)nest un entier naturel supérieur ou égal à 2.a,a',b,b' entiers relatifs Si a≡a'(modn)et sib≡b'(modn)alorsab≡a'b'(modn)Démonstration: ab-a'b'=ab-ab'+ab'-a'b'=a(b-b')+b'(a-a') (a-a')est un multiple den;(b-b')est un multiple den.Donca(b-b')+b'(a-a')est un multiple denet donc:
Congruences. Critères de divisibilité.
nest un entier naturel supérieur ou égal à 2.a,a',b,b',k,k' entiers relatifs Sia≡a'(modn)et sib≡b'(modn)alorska+kb≡ka'+kb'(modn)Démonstration: (ka+kb)-(ka'+kb')=k(a-a')+k(b-b') (a-a')est un multiple denet(b-b')est un multiple den.Donck(a-a')+k(b-b')est un multiple denet donc:
ka+kb≡ka'+kb'(modn)nest un entier naturel supérieur ou égal à 2.a,a' entiers relatifs et p entier naturel
non nul Si On peut effectuer un raisonnement par récurrence surp. ou:ap-a'p=(a-a')(ap-1+ap-2a'+ap-3a'2+...+aa'p-2+a'p-1)(a-a') est un multiple de n donc (a-a')(ap-1+ap-2a'+ap-3a'²+ ... +aa'p-2+a'p-1) est un multiple de n et donc:
ap≡a'p(modn) nest un entier naturel supérieur ou égal à 2. a entier relatif et d entier naturel non nul Si a≡d(modn)avec0⩽dOn effectue la division euclidienne de a par n:
Par unicité du couple (q; r) de la division euclidienner=dRemarque importante:
nest un entier naturel supérieur ou égal à 2. a,b,kentiers relatifs SiCongruences. Critères de divisibilité.
Démonstration:n=4a=8b=10k=2
ka=16ka≡0(4) kb=20kb≡0(4) Donc ka≡kb(4) a≡0(4)etb≡2(4) aetb n'ont pas le même reste dans la division euclidienne par 4 doncaetbne sont pas congrus modulo 4.
1.6. Exercices
a) Déterminer les restes de la division euclidienne de2pp∈ℕpar5.20=1≡1(5)Le reste de la division euclidienne de20par 5 est 1.
21=2≡2(5)Le reste de la division euclidienne de21par 5 est 2.
22=4≡4(5) Le reste de la division euclidienne de22par 5 est 4.
23=8≡3(5) Le reste de la division euclidienne de23par 5 est 3.
24=16≡1(5)Le reste de la division euclidienne de
24par 5 est 1.
Tout entier naturelppeut s'écrirep=4koup=4k+1oup=4k+2oup=4k+3aveck∈ℕcar le reste de la division euclidienne deppar 4 est soit égal à 0; 1; 2 ou 3. Si p=4k2p=24k=(24)kOr, 24≡1(5)
Donc (24)k≡1k(5)Par suite,
2p≡1(5)Le reste de la division euclidienne de2ppar 5 est 1.
Sip=4k+1
2p=24k+1=24k×21
Or,Par suite,
24k+1≡2(5)Le reste de la division euclidienne de2ppar 5 est 2.
Sip=4k+2
2p=24k+2=24k×22Or,24k≡1(5)
DoncCongruences. Critères de divisibilité.
Par suite,24k+2≡4(5)
Le reste de la division euclidienne de2ppar 5 est 4.Sip=4k+3
2p=24k+3=24k×23
Par suite,
24k+3≡8(5)Par suite,24k+3≡3(5)
Le reste de la division euclidienne de2ppar 5 est 3.Exemple:
Quel est le reste de la division euclidienne de22011par 52011=4×502+3
donc2011=4k+3aveck=502 Donc2011≡3(5)
Le reste de la division euclidienne de 2011 par 5 est 3. b) ✔Déterminer les restes de la division euclidienne de3ppar 4 (p∈ℕ)✔Déterminer les restes de la division euclidienne de3ppar 7 (p∈ℕ)✔En déduire que31998-1est divisible par 4 et 7.31=3≡3(4)32=9≡1(4)
Donc, pourk∈ℕ,
31=3≡3(7)32=9≡2(7)
Congruences. Critères de divisibilité.
Pourk∈ℕ ,les restes des divisions euclidiennes de 36k;36k+1;36k+2;36k+3;36k+4;36k+5sont
respectivement 1; 3; 2; 6; 4; 5