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Principe des tests statistiques 1 Principe des tests statistiques

1 6 Liens entre p-value et statistique de test dans quelques cas simples Soit H 0 une hypoth ese privil egi ee On d esire tester cette hypoth ese vis a vis d’une hy-poth ese alternative Soit Tla statistique de test ( a valeurs r eelles) utilis ee pour e ectuer le test de H 0, c’est- a-dire v eri er si H 0 est vraie On d esigne par P

Tests d’hypothèse - WordPresscom

Un test statistique ou une statistique est une fonction des variables aléatoires représentant l’échantillon dont la valeur numérique obtenue pour l’échantillon considéré permet de distinguer entre H0 vraie et H0 fausse Dans la mesure où la loi de probabilité suivie par le paramètre p0 au niveau de la population

Exercices et problèmes de statistique et probabilités

Exercices et problèmes de statistique et probabilités Thérèse Phan Jean-Pierre Rowenczyk 2e édition “doc” (Col : Science Sup 19 3x250) — 2012/4/27 — 14:21 — page i — #1

Fiche 19 – Statistiques : Comparaison de séries

La médiane d'une série statistique est la valeur pour laquelle il y a autant d'individus « avant » que d'individus « après » Pour la classe1, la médiane est la 11ème valeur (en effet, l'effectif total est de 21, à la 11ème valeur il y aura 10 élèves avants et 10 après : 21 = 10 + 1 + 10) : c'est donc 3

Schémas Winograd en français: une étude statistique et

établit que nos schémas sont résistants à un test statistique basé sur l’information mutuelle; la seconde est une étude comportementale qui permet de montrer que les humains n’ont pas de difficulté pour traiter correctement les items de notre collection Notre test statistique simple ne parvient pas à

Procédures de test de la racine unitaire

la statistiquet usuelle du test de l’hypothèse nulle ρ=1, mais aussi un test de l’hypothèse nulle jointe b p = 0 et ρ=1 Les tests sont effectués à l’aide de statistiques transformées suivant la méthodologie de Phillips et Perron, leurs valeurs critiques sont obtenues par des méthodes de simulation pour p=2,3,4 et 5 (OPP,1989, p

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complØmentaires : l’observation statistique s’effectue à des dates discrŁtes, tandis que l’analyse thØorique repose plus volontiers sur la thØorie des fonctions, plus performante à cet Øgard

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o la seconde étape a pour but de repérer les mots-clés en recherchant ceux qui sont équivalents ou synonymes L’unité d’analyse sémantique Dans ce cas l'étude peut se limiter aux passages qui ont une signification « les idées clés » au lieu de découper le texte dans son intégralité, comme dans l’analyse syntaxique (Andreani,

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Un chiffre tiré au hasard dans la table ne peut être retenu une seconde fois s’il ressort Par ailleurs, si le chiffre de la table ne fait pas partie des numéros attribués à votre base de sondage il ne doit pas être pris en compte Exemple On veut choisir par échantillonnage aléatoire simple, sans remise, 8 étudiants; parmi un groupe

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Exercices et problèmes

de statistique et probabilités

Thérèse Phan

Jean-Pierre Rowenczyk

2 e

édition

“doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) — 2012/4/27 — 14:21 — page i — #1

Illustration de couverture :

digitalvision

© Dunod, Paris, 2012

ISBN 978-2-10-056298-5

“doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) — 2012/4/27 — 14:21 — page ii — #2

Table des matières

Avertissementvii

Chapitre 1 Probabilités....................................................... 1 Rappel de cours............................................................ 1

1.1 Rappels de Mathématiques.................................................... 1

1.2 Axiomes du calcul des probabilités............................................. 2

1.3 Notion de variable aléatoire.................................................... 3

1.4 Moments d"une variable aléatoire............................................. 4

1.5 Variables à deux dimensions................................................... 7

1.6 Indépendance de deux variables aléatoiresXetY.............................. 9

1.7 Probabilités individuelles....................................................... 9

1.8 Lois de la somme de variables indépendantes connues.......................... 10

Énoncés des exercices...................................................... 11 Énoncés des problèmes.................................................... 13 Du mal à démarrer ? ...................................................... 14 Corrigésdesexercices...................................................... 15 Corrigésdesproblèmes.................................................... 23 Chapitre 2 Convergences et échantillonnage................................ 29 Rappel de cours............................................................ 29

2.1 Lois statistiques............................................................... 29

2.2 Propriétés..................................................................... 29

2.3 Échantillon gaussien........................................................... 30

2.4 Convergences................................................................. 30

Énonces des exercices...................................................... 32Dunod - La photocopie non autorisée est un délit

“doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) — 2012/4/27 — 14:21 — page iii — #3∞ ivTable des matières Énoncés des problèmes.................................................... 34 Du mal à démarrer ? ...................................................... 36 Corrigésdesexercices...................................................... 36 Corrigésdesproblèmes.................................................... 41 Chapitre 3 Estimation ponctuelle............................................ 49 Rappel de cours............................................................ 49

3.1 Échantillonnage............................................................... 49

3.2 Estimation statistique.......................................................... 50

3.3 Éléments de théorie de la décision............................................. 51

Énoncés des exercices...................................................... 52 Énoncés des problèmes.................................................... 54 Du mal à démarrer ? ...................................................... 55 Corrigésdesexercices...................................................... 56 Corrigésdesproblèmes.................................................... 64 Chapitre 4 Information et exhaustivité...................................... 71 Rappel de cours............................................................ 71

4.1 Éléments de théorie de l"information........................................... 71

4.2 Méthode du maximum de vraisemblance....................................... 73

Énoncés des exercices...................................................... 74 Énoncés des problèmes.................................................... 76 Du mal à démarrer ? ...................................................... 78 Corrigésdesexercices...................................................... 79 Corrigésdesproblèmes.................................................... 88 Chapitre 5 Estimateur sans biais de variance minimale..................... 97 Rappel de cours............................................................ 97

5.1 Théorème..................................................................... 97“doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) — 2012/4/27 — 14:21 — page iv — #4

Table des matièresv

5.2 Théorème de Rao - Blackwell.................................................. 97

5.3 Théorème de Lehmann-Scheffe................................................ 97

Énoncés des exercices...................................................... 98 Enoncés des problèmes.................................................... 102 Du mal à démarrer ? ...................................................... 106 Corrigésdesexercices...................................................... 107 Corrigésdesproblèmes.................................................... 119 Chapitre 6 Intervalles de conance.......................................... 131 Rappel de cours............................................................ 131

6.1 Définition d"un intervalle de confiance.......................................... 131

6.2 Intervalles de confiance pour des paramètres de lois normales................... 131

6.3 Intervalles de confiance pour les paramètres d"une loi inconnue................. 134

6.4 Intervalles de confiance pour une proportion................................... 135

Énoncés des exercices...................................................... 135 Énoncés des problèmes.................................................... 139 Du mal à démarrer ? ...................................................... 146 Corrigésdesexercices...................................................... 147 Corrigésdesproblèmes.................................................... 160 Chapitre 7 Tests paramétriques.............................................. 177 Rappel de cours............................................................ 177

7.1 Définition générale d"un problème de test...................................... 177

7.2 Théorie de la décision......................................................... 178

7.3 Notion de risque.............................................................. 179

7.4 Théorème de Neyman et Pearson.............................................. 179

Énoncés des exercices...................................................... 180 Énoncés des problèmes.................................................... 185 Du mal à démarrer ? ...................................................... 188 Dunod - La photocopie non autorisée est un délit "doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) - 2012/4/27 - 14:21 - page v - #5? viTable des matières Corrigésdesexercices...................................................... 189 Corrigésdesproblèmes.................................................... 212 Chapitre 8 Tests d"adéquation et tests d"indépendance..................... 223 Rappel de cours............................................................ 223

8.1 Test d"adéquation............................................................. 223

8.2 Test d"indépendance........................................................... 224

Énoncés des Problèmes sur les tests non paramétriques d"adéquation.... 227 Énoncés des Problèmes sur les tests non paramétriques d"indépendance. 229 Du mal à démarrer ? ...................................................... 229 Corrigésdesproblèmes.................................................... 230 Chapitre 9 Analyse de la variance (ou ANOVA) à un seul facteur........... 245 Rappel de cours............................................................ 245

9.1 Hypothèses................................................................... 245

9.2 Position du test ANOVA....................................................... 245

9.1 Observations réalisées................................................ 246

9.1 Décomposition de la variance totale............................................ 246

9.2 Principe de l"ANOVA........................................................... 247

9.3 Calcul de la constanteC....................................................... 248

9.4 Comparaison des variancess

2i de chaque population........................... 249

9.5 Mode opératoire pour l"ANOVA................................................ 250

Énoncé du problème....................................................... 251 Du mal à démarrer ? ...................................................... 252 Corrigéduproblème...................................................... 252

Index255

“doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) — 2012/4/27 — 14:21 — page vi — #6

Avertissement

Cet ouvrage est destiné aux étudiants de Licence, de première année des Grandes Écoles d"ingé-

nieurs, de commerce et de gestion ou d"Institut Universitaires de Technologie désireux d"appré-

hender les concepts et les notions de base de la statistique.

Il peut être utile à tous ceux qui seraient désireux d"acquérir ou de revoir les notions opérationnelles

des méthodes de base de la statistique. Cet ouvrage comporte des rappels de cours sans démonstrations, des exercices classiques de

difcultés progressives (le niveau de difculté est repéré par un nombre d"étoiles), ainsi que des

problèmes plus complexes permettant d"aborder des cas concrets d"utilisation de la statistique dans

différents domaines d"application. Il est découpé en chapitres mais il comporte fondamentalement

deux grandes parties : €Une première partie concerne le calcul des probabilités

Bien que comportant des rappels de cours relativement complets, nous avons choisi, délibéré-

ment, de ne proposer dans cette partie, que des exercices abordant des notions et des calculs de

probabilité qui sont utilisés en statistique : Théorème Central-Limite (ou théorème de la limite

centrale), Lois de probabilités fréquemment utilisées en statistique (Loi normale, du Khi-deux,

de Student, de Fisher...)

Nous avons donc évité de proposer des exercices de probabilités calculatoires classiques (exer-

cices utilisant la combinatoire, calcul de paramètres de lois de probabilités...). Pour cette raison, avant d"aborder les chapitres de statistique, nous conseillons vivement au

lecteur, de se reporter, en cas de besoin, aux ouvrages spécialisés, an de revoir ou de compléter

leurs connaissances en matière de calcul des probabilités.

€Une deuxième partie est consacrée à l"étude des trois méthodes de base utilisées en statistique :

ŠL"estimation ponctuelle

ŠL"estimation par intervalle

ŠLes tests d"hypothèse

Les chapitres concernant l"estimation ponctuelle permette d"aborder les notions essentielles permettant d"étudier les estimateurs de paramètres réels de lois de probabilités. Néanmoins, ces chapitres proposent quelques exemples d"estimation de paramètres vectoriels.

Les chapitres consacrés à l"estimation par intervalle proposent un éventail large d"exercices

différents, permettant d"appréhender la plupart des cas concrets rencontrés dans les différents

domaines utilisant la statistique.

Les chapitres consacrés aux tests d"hypothèses sont essentiellement consacrés à l"étude des

tests paramétriques dans le cas d"hypothèses simples et à l"étude de deux types de tests non

paramétriques, les tests d"ajustement et les tests d"indépendance.

Les différents chapitres proposent toujours la même organisation : les énoncés, puis une rubrique

" Du mal à démarrer », et enn, les corrigés des exercices proposés. Chaque corrigé propose, en outre, un bilan " ce qu"il faut retenir ». Dunod - La photocopie non autorisée est un délit “doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) — 2012/4/27 — 14:21 — page vii — #7

Remerciements

Nous tenons, tout d"abord à exprimer toute notre gratitude à nos collègues de l"École Centrale de

Paris et de l"École Spéciale des Travaux Publics, pour nous avoir incités à élaborer cet ouvrage et

pour nous avoir fourni de nombreux conseils de rédaction. En particulier, nous tenons à remercier, Alain MARRET et Michel LUCIEN, pour leur apport lors de l"élaboration du contenu de cet ouvrage. Nos remerciements vont ensuite à Franck PHAN, pour son aide précieuse pour l"utilisation de Latex et donc de la réalisation de la maquette de cet ouvrage. Enn, nous tenons également à remercier vivement les Éditions DUNOD, Anne Bourguignon et

Benjamin Peylet, pour leur accueil, leur compétence et leur grande compréhension au cours de la

réalisation de cet ouvrage.

Thérèse PHANetJean-Pierre ROWENCZYK

“doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) — 2012/4/27 — 14:21 — page viii — #8 1

Probabilités

RAPPEL DE COURS

1.1 Rappels de Mathématiques

a) Opérations sur les ensembles SoitVun ensemble etA,B... des parties deV.SiAdésigne le complémentaire deAdansV, alors nous avons :

€A∞A=V

€A∞B=A?B

€A∞B=(A?B)∞(A?B)∞(A?B)

€A→∞

i (A?B i ?si les évènementsB i sont incompatibles entre eux ?et siV→∞ i B i b) Analyse combinatoire

Nous rappellons ici quelques résultats :

€Nombre d"arrangements depobjets pris parminavec répétition pn =n p €Nombre d"arrangements depobjets pris parminsans répétition A pn =n(n-1)...(n-p+1)=n! (n-p)! €Nombre de combinaisons depobjets pris parminavec répétition K pn =C p n+pŠ1 €Nombre de combinaisons depobjets pris parminsans répétition C pn =n! p!(n-p)!=A pn p!

€Nombre de permutations denobjets

Per(n)=n!

“doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) — 2012/4/27 — 14:21 — page 1 — #9 21

Probabilités

1.2 Axiomes du calcul des probabilités

a) Généralités

La théorie des probabilités repose sur l"étude de phénomènes aléatoires. Une expérience est dite

aléatoire si on ne peut pas prévoir son résultat et si répétée dans les mêmes conditions, elle peut

donner des résultats différents. Les résultats possibles de cette expérience constituent l"ensemble

fondamentalV. Un événement aléatoire est une assertion relative au résultat de l"expérience.

On identifie usuellement l"événement aléatoire et la partie deVpour laquelle cet événement est

réalisé. Si P est une probabilité définie surV,etsiAetBsont deux parties deV,ona:

€P(∞)=0etP(V)=1

€P(A)=1ŠP(A)

€P(A?B)=P(A)+P(B)ŠP(A∂B)

P(A?B)=P(A)+P(B)siA∩B=

b) Probabilités conditionnelles

On définit la probabilité conditionnelle de l"événementAsachant que l"événementBest réalisé,

par :

P(A/B)=P(A∂B)

P(B) c) Formule de décomposition

Si l"ensemble des partiesU

j deVforme un système complet d"événements, c"est-à-dire si lesU j sont indépendants et si leur réunion formeVtout entier, alors : P(A)= n j=1 P(A/U j )P(U j d) Indépendance de deux événements

AetBindépendantsP(A∂B)=P(A)P(B)

e) Probabilités des causes ou probabilités de BAYES

P(A/B)=P(A∂B)

P(B)=P(B/A)P(A)P(B)

Si l"ensemble des partiesA

i deVforme un système complet d"événements, P(A k /B)=P(B/A k )P(A k i P(B/A i )P(A i “doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) — 2012/4/27 — 14:21 — page 2 — #10

Rappel de cours3

1.3 Notion de variable aléatoire

Lorsque l"ensemble fondamentalVest tout ou partie de l"ensemble des réelsR, le concept

d"événement aléatoire est remplacé par celui de variable aléatoire. On distingue usuellement :

1.les variables aléatoires discrètes pour lesquelles l"ensembleVest un ensemble discret de valeurs

numériques (par exempleNensemble des entiers naturels) 2. les variables aléatoires continues pour lesquelles l"ensembleVest un intervalle deRouRtout entier. a) Fonction de répartition

On appelle " Fonction de répartition d"une variable aléatoire X » l"application F deRdans[0,1]

définie par :

F(x)=P(X b) Variable aléatoire discrète On définit la probabilité attachée en un pointxdu domaine de définition de la variable aléatoireXdiscrète par :

P(X=x)

Fonction de répartition deX:

F(x)=P(X tP(X=t)

c) Variable aléatoire continue On dit que la variable aléatoireXde fonction de répartitionFest continue si on peut définir une fonction densité de probabilitéfdeXvérifiant : f(x)=F (x)ouF(x)=→ x f(t)dt La probabilité attachée au segment [a,b] est alors :

P[aXb]=→

b a f(x)dx=F(b)ŠF(a) d) Formule de changement de variables €Cas discret p y =P(Y=y)=P(Xw Š1 (y))=∞ x?w 1 (y)

P(X=x)

?Dunod - La photocopie non autorisée est un délit “doc" (Col. : Science Sup 19.3x250) — 2012/4/27 — 14:21 — page 3 — #11 41

Probabilités

€Cas continu west monotone croissante

G(y)=P(Y -1 (y))=F?w -1 (y)? west monotone décroissante

G(y)=P(Y -1 (y))=1ŠP[XG(y)=1ŠF?w

-1 (y)? wn"est pas monotone

G(y)=P(Y 1

···+P(XI

n oùI 1 ,...,I n sont les intervalles de la variable aléatoireXqui correspondent au domaineYLoi binomialeB(n,p)w

X (t)=(pe it +1Šp) n

Loi de PoissonP(l)w

X (t)=exp?l(e it

Š1)?

Loi de GaussLG(m,s)w

X (t)=e itm

×exp?Št

2 s 2 2?quotesdbs_dbs15.pdfusesText_21