Devoir : raisonnement par récurrence
Terminale S 2014/2015 Devoir : raisonnement par récurrence Démontrerlespropriétéssuivantsenutilisantleraisonnementparrécurrence: 1 Pourtoutentiern ≥1 , kX=n k
Raisonnement par r ecurrence : Exercices
Raisonnement par r ecurrence : Exercices Corrig es en vid eo avec le cours surjaicompris com Introduction Soit P(n) la propri et e d e nie pour tout entier n 1 par : 1 2 + 2 3 + ::::+ n (n+ 1) = n(n+ 1)(n+ 2) 3 1 ) Ecrire la propri et e au rang 1, au rang 2 2 ) V eri er que la propri et e est vraie au rang 1 et au rang 2
Cours Terminale S Le raisonnement par récurrence
+ 6 9, et par la croissance de la fonction racine carrée, u k 6 9, soit uk + 1 3, ce qui est la propriété en remplaçant n par k + 1 Conclusion: Pour tout entier naturel n , un 3 5 Problèmes pouvant se résoudre à l'aide du raisonnement par récurrence: a) Pour tout entier naturel n, le nombre 5 n – 2 est divisible par 3
Raisonnement par récurrence Limite d’une suite
1 Raisonnement par récurrence 1 1 Effet domino Le raisonnement par récurrence s’apparente à la théorie des dominos On consi-dère une file de dominos espacés régulièrement ? d0 d1 d2 dn dn+1 Le premier domino tombe Amorce Si le ne domino tombe, il fait tomber le (n +1)e Propagation • Le premier domino d0 tombe C’est l’amorce
Correction contrôle de mathématiques
< 1 par somme et quotient lim n→+∞ un = 1 Exercice4 Vrai-Faux 2 points a) Faux Une suite peut être majorée sans pour antant être convergente Soit par exemple la suite un = 4 +(−1)n On a : 4 −1 6un 64 +1 ⇔ 3 6un 65 Tous les termes de la suite sont positifs et inférieurs ou égaux à 5 Cependant lim n→+∞ un n’existe pas
Correction du devoir maison 6 - WordPresscom
Correction du devoir maison 6 Exercice1 1 f estunefonctiontrinômeaveca = On a montré que Pn+1 est vraie, par le principe de raisonnement par récurrence, la
Plan Exemple
TS1 2 008- 2 009 MATHEMATIQUES DEVOIR N°2 Après le premier contrôle Octobre LE RAISONNEMENT PAR RECURRENCE Quand vous faites un raisonnement par récurrence vous devez suivre le plan suivant: Si c'est vous qui décidez de faire un raisonnement par récurrence vous l'annoncez à la personne qui va lire la copie
Logique, ensembles, raisonnements - Exo7
Par l’absurde, supposer qu’il existe p2N tel que f = f p Puis pour un tel p, évaluer f et f p en une valeur bien choisie Indication pourl’exercice14 N Pour la première question vous pouvez raisonner par contraposition ou par l’absurde Indication pourl’exercice16 N Pour les deux questions, travailler par récurrence
TD- LOGIQUE ET RAISONNEMENTS PROF : ATMANI NAJIB 1BAC SM BIOF
(Raisonnement direct) Soient ab ; Montrer que si abd alors 2 ab ab dd et 0ddab b 22 (Cas par cas) Montrer que pour tout n n n ;1 est divisible par 2 (distinguer les n pairs des n impairs) 4 (Absurde) Soit n Montrer que n2 1 n’est pas un entier 5 (Contre-exemple) Est-ce que pour tout x on a xx 242? 6 (Récurrence) Fixons un réel a
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Terminale S 2014/2015
Devoir : raisonnement par récurrence
Démontrer les propriétés suivants en utilisant le raisonnement par récurrence : 1.P ourtout en tiern≥1,
k=n? k=1k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6 2.Soit x >-1. Montrer que pour toutn?N,
(1 +x)n≥1 +nx 3.P ourtout en tiern≥1,
k=n? k=11k(k+ 1)=nn+ 1Terminale S 2014/2015
Devoir : raisonnement par récurrence
Démontrer les propriétés suivants en utilisant le raisonnement par récurrence : 1.P ourtout en tiern≥1,
k=n? k=1k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6 2.Soit x >-1. Montrer que pour toutn?N,
(1 +x)n≥1 +nx 3.P ourtout en tiern≥1,
k=n? k=11k(k+ 1)=nn+ 1Terminale S 2014/2015
Corrigé du DM 1 : raisonnement par
récurrence 1. Soit Pnla propriété définie pour toutn≥1par k=n? k=1k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6Initialisation :pourn= 1on a
k=1? k=1k2=11 2= 1 et1(1 + 1)(2×1 + 1)6
=2×36 = 1 Les deux expressions étant égalesP1est vraie. Hérédité :Supposons qu"il existen≥1tel quePnsoit vraie.Montrons alors quePn+1est vraie.
k=n+1? k=1k2=k=n? k=1k2+ (n+ 1)2Or on a supposé que
k=n? k=1k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6 on a donc k=n+1? k=1k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6 + (n+ 1)2 n(n+ 1)(2n+ 1) + 6(n+ 1)26 (n+ 1)[n(2n+ 1) + 6(n+ 1)]6 (n+ 1)[2n2+ 7n+ 6]6Or on veut montrer que
k=n+1? k=1k2=(n+ 1)(n+ 1 + 1)(2(n+ 1) + 1)6 =(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)6 et(n+ 2)(2n+ 3) = 2n2+ 3n+ 4n+ 6 = 2n2+ 7n+ 6.On a donc
k=n+1? k=1k2=(n+ 1)(n+ 2)(2n+ 3)6 P n+1est donc vraie. La propriété est donc héréditaire. Conclusion :Pour toutn≥1,Pnest vraie donc pour toutn≥1, k=n? k=1k2=n(n+ 1)(2n+ 1)6 2.Soit x >-1.
SoitPnla propriété définie pour toutn?Npar (1 +x)n≥1 +nx Initialisation :pourn= 0on a(1 +x)0= 1et1 + 0x= 1doncP0est vraie. Hérédité :Supposons qu"il existen?Ntel quePnsoit vraie.Montrons alors quePn+1est vraie.
(1 +x)n+1= (1 +x)n(1 +x). Or on a supposé que(1 +x)n≥1 +nx. Étant donné quex >-1on a1 +x >0et donc (1 +x)(1 +x)n≥(1 +x)(1 +nx)(en multipliant dans chaque membre par(1 +x)>0) Or(1+x)(1+nx) = 1+nx+x+nx2= 1+(n+1)x+nx2etnx2≥0donc(1+x)(1+nx)≥1 + (n+ 1)x.
Finalement(1 +x)n+1≥1 + (n+ 1)xet doncPn+1est vraie.La propriété est héréditaire.
Conclusion :Pour toutn?N,Pnest vraie donc pour toutx >-1et , pour toutn?N (1 +x)n≥1 +nx. 3. Soit Pnla propriété définie pour toutn≥1par k=n? k=11k(k+ 1)=nn+ 1Initialisation :pourn= 1on a
k=1? k=11k(k+ 1)=12 et11 + 1 =12 Les deux expressions étant égalesP1est vraie. Hérédité :Supposons qu"il existen≥1tel quePnsoit vraie.Montrons alors quePn+1est vraie.
k=n+1? k=11k(k+ 1)=k=n? k=11k(k+ 1)+1(n+ 1)(n+ 2)Or on a supposé que
k=n? k=11k(k+ 1)=nn+ 1 on a donc k=n+1? k=11k(k+ 1)=nn+ 1+1(n+ 1)(n+ 2) n(n+ 2) + 1(n+ 1)(n+ 2) n2+ 2n+ 1(n+ 1)(n+ 2) (n+ 1)2(n+ 1)(n+ 2) n+ 1n+ 2 P n+1est donc vraie. La propriété est donc héréditaire. Conclusion :Pour toutn≥1,Pnest vraie donc pour toutn≥1, k=n? k=11k(k+ 1)=nn+ 1 remarque :Ce dernier raisonnement par récurrence est un prétexte pour s"entraîner car on peut s"en passer
en remarquant que pour toutk≥1,