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Continuité et convexité

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DÉRIVATION,CONTINUITÉ ET CONVEXITÉTleES

IDÉRIVÉES

1 TANGENTE À UNE COURBE

Soitfune fonction définie sur un intervalleI, dérivable enaoùaest un réel deI, etCfsa courbe représentative dans un repère du plan. La droite passant par le pointA(a;f(a))de la courbeCfet de coefficient directeurf?(a)est appelée la tangente à la courbeCfau point d"abscissea.

0xy?i?

j af(a)A

Soitfune fonction définie sur un intervalleI, dérivable enaoùaest un réel deI, etCfsa courbe

représentative dans un repère du plan. L"équation réduite de la tangente à la courbeCfau pointAd"abscisseaest : y=f?(a)×(x-a)+f(a)

2 DÉRIVÉES DES FONCTIONS DE RÉFÉRENCE

fdéfinie sur ...f(x)f?(x)fdérivable sur ... Rk0R

Rax+baR

Rxnnxn-1Rpournentiern?2

R?1 x-1x2R? R?1 xn-nxn+1R?pournentiern?1 [0;+∞[⎷x1

2⎷x]0;+∞[

3 DÉRIVÉES ET OPÉRATIONS

uetvsont deux fonctions dérivables sur un intervalleI: •?u2??=2uu?•Sinest un entier non nul,(un)?=nun-1u? Si la fonctionvne s"annule pas sur l"intervalleI(siv(x)?=0 surI) •?1v? =-v?v2•?uv? ?=u?v-uv?v2

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DÉRIVATION,CONTINUITÉ ET CONVEXITÉTleES

4 DÉRIVÉE ET VARIATIONS D"UNE FONCTION

THÉORÈME1

Soitfune fonction dérivable et monotone sur un intervalleIdeR. — Sifest constante surI, alors pour tout réelxappartenant àI,f?(x) =0. — Sifest croissante surI, alors pour tout réelxappartenant àI,f?(x)?0. — Sifest décroissante surI, alors pour tout réelxappartenant àI,f?(x)?0.

Le théorème suivant, permet de déterminer les variations d"une fonction sur un intervalle suivant le signe de sa

dérivée.

THÉORÈME2

Soitfune fonction dérivable sur un intervalleIdeRetf?la dérivée defsurI. — Sif?est nulle surI, alorsfest constante surI.

— Sif?est strictement positive surI, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s"annule,

alorsfest strictement croissante surI.

— Sif?est strictement négative surI, sauf éventuellement en un nombre fini de points où elle s"annule,

alorsfest strictement décroissante surI.

THÉORÈME3

Soitfune fonction dérivable sur un intervalle ouvertIdeRetx0un réel appartenant àI.

1. Sifadmet un extremum local enx0, alorsf?(x0) =0.

2. Si la dérivéef?s"annule enx0en changeant de signe, alorsfadmet un extremum local enx0.

x ax0b f ?(x)-|0|+ f(x) minimumx ax0b f ?(x)+|0|- f(x)maximum

REMARQUES

1. Dans la proposition 2. du théorème 3 l"hypothèseen changeant de signeest importante.

Considérons la fonction cube définie surRparf(x) =x3qui a pour dérivée la fonction f ?définie surRparf?(x) =3x2. f ?(0) =0 et pour tout réelxnon nul,f?(x)>0. La fonction cube est strictement croissante surRet n"admet pas d"extremum en 0. 0xy

2. Une fonction peut admettre un extremum local enx0sans être nécessairement dérivable.

Considérons la fonction valeur absoluefdéfinie surRparf(x) =|x|. fest définie surRpar :f(x) =?xsix?0 -xsix<0. fadmet un minimumf(0) =0 orfn"est pas dérivable en 0. 0xy

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DÉRIVATION,CONTINUITÉ ET CONVEXITÉTleES

EXEMPLE:ÉTUDE D"UNE FONCTION

Soitfla fonction définie surRparf(x) =1-4x-3

x2+1.

1. Calculerf?(x).

SurRfest dérivable comme somme et quotient de deux fonctions dérivables. f=1-u vd"oùf?=-u?v-uv?v2. Avec pour tout réelx, u(x) =4x-3 d"oùu?(x) =4 v(x) =x2+1 d"oùv?(x) =2x

Soit pour tout réelx,

f ?(x) =-4(x2+1)-2x(4x-3) (x2+1)2 =-4x2+4-8x2+6x (x2+1)2

4x2-6x-4

(x2+1)2 Ainsi,f?est la fonction définie surRparf?(x) =4x2-6x-4(x2+1)2

2. Étudier les variations de la fonctionf

Les variations de la fonctionfse déduisent du signe de sa dérivée.

Étudions le signe def?(x) =4x2-6x-4

(x2+1)2:

Pour tout réelx,(x2+1)2>0. Par conséquent,f?(x)est du même signe que le polynôme du second degré

4x2-6x-4 aveca=4,b=-6 etc=-4.

Le discriminant du trinôme estΔ=b2-4acSoit

Δ= (-6)2-4×4×(-4) =100

CommeΔ>0, le trinôme admet deux racines :

x

1=-b-⎷

2aSoitx1=6-108=-12

etx2=-b+⎷

2aSoitx2=6+108=2

Un polynôme du second degré est du signe deasauf pour les valeurs comprises entre les racines.

Nous pouvons déduire le tableau du signe def?(x)suivant les valeurs du réelxainsi que les variations de la

fonctionf: x-∞-122+∞ f ?(x)+ 0-0+ f(x)5 0

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DÉRIVATION,CONTINUITÉ ET CONVEXITÉTleES

IICONTINUITÉ

1NOTION DE CONTINUITÉ

Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeR.

Intuitivement, dire quefest continue surIsignifie que sa courbe représentative peut être tracée en un seul

morceau (la courbe ne présente aucun saut, aucun trou).

EXEMPLE ET CONTRE-EXEMPLE

Soitfune fonction définie sur un intervalleIetaun réel deI. On noteCfla courbe représentative de la fonctionfetAle point de la courbeCfd"abscissea. Pour tout réelxde l"intervalleI, on considère le pointMde la courbeCfd"abscissex O xy Cf aA f(a)xM f(x)Oxy C f aA f(a)xM f(x)

La fonctionfest continue.

Pour tout réeladeI, on peut rendref(x)aussi proche que l"on veut def(a)pourvu quexsoit suffisamment proche dea.La fonctionfn"est pas continue ena. La courbeCfprésente un saut au point d"abscissea. Le pointMn"est pas proche du pointAquandxest proche dea.

2PROPRIÉTÉS

THÉORÈME(admis)

Toute fonction dérivable sur un intervalleIest continue sur cet intervalle.

REMARQUE

La réciproque du théorème est fausse :

Une fonction peut être continue en un réelasans être dérivable en ce réel. Par exemple la fonction valeur absoluefdéfinie surRparf(x) =|x|est contine en 0 mais n"est pas dérivable en 0. 0xy

CONSÉQUENCES

On admettra les deux propriétés suivantes :

1. Les fonctions de référence (affines, carré, cube, inverse, racine carrée) sont continues sur tout intervalle où

elles sont définies.

2. Toutefonction construite algébriquement (somme, produit, inverse, quotient ou composée) àpartir defonctions

de référence est continue sur tout intervalle où elle est définie.

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DÉRIVATION,CONTINUITÉ ET CONVEXITÉTleES

IIICONTINUITÉ ET ÉQUATION

1THÉORÈME DES VALEURS INTERMÉDIAIRES

THÉORÈME(admis)

Sifest une fonction définie sur un intervalleIet continue surIalors elle vérifie la propriété suivante :

quels que soient les réelsaetbde l"intervalleI, pour tout réelkcompris entref(a)etf(b), l"équation

f(x) =kadmet au moins une solutioncappartenant à[a;b].

Ce théorème résulte du fait que l"image d"un intervalle deRpar une fonction continue est un intervalle deR.

fest continue surI fn"est pas continue surI 0 xy k a f(a)bf(b) 0xy k af(a) m f(b)m b

L"image de l"intervalle[a;b]est un intervalle.

Tout réelkcompris entref(a)etf(b)est l"image

d"au moins un élément de[a;b].L"image de l"intervalle[a;b]n"est pas un intervalle. Il existe des réelskcompris entref(a)etf(b)pour lesquels l"équationf(x) =kn"a pas de solution.

2THÉORÈME DE LA VALEUR INTERMÉDIAIRE

COROLLAIRE

Soitfune fonction définie sur un intervalleIdeReta,bdeux réels appartenant àI,aSoitkun réel compris entref(a)etf(b)

1. Existence

Par hypothèse,fest continue sur[a;b]alors d"après le théorème des valeurs intermédiaires, l"équation

f(x) =kadmet au moins une solutioncappartenant à[a;b].

2. Unicité

Supposons que l"équationf(x) =kadmette deux solutions distinctesc1etc2appartenant à[a;b] Par hypothèse,fest strictement monotone sur[a;b]alorsc1?=c2?f(c1)?=f(c2) Ce qui aboutit à une contradiction puisquef(c1) =f(c2) =k Doncc1=c2, ce qui prouve que l"équationf(x) =kadmet une solution unique dans[a;b]

REMARQUES

1. Sifest continue et strictement monotone sur[a;b]etf(a)×f(b)<0, alors l"équationf(x) =0 admet une

solution unique dans[a;b]

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DÉRIVATION,CONTINUITÉ ET CONVEXITÉTleES

2. Le théorème s"applique aussi lorsquefest continue et strictement monotone sur un intervalle de laforme

IVCONVEXITÉ

1FONCTION CONVEXE,FONCTION CONCAVE

DÉFINITIONS

Soitfune fonction dérivable sur un intervalleIetCfsa courbe représentative.

— Dire que la fonctionfest convexe surIsignifie que la courbeCfest située entièrement au-dessus de

chacune de ses tangentes.

— Dire que la fonctionfest concave surIsignifie que la courbeCfest située entièrement au-dessous de

chacune de ses tangentes.

EXEMPLES

O xy Cf convexe Oxy Cf concaveconvexe

La fonction carréx?-→x2est convexe.La fonction inversex?-→1xest concave sur]-∞;0[et

convexe sur]0;+∞[

REMARQUE

Intuitivement, quels que soient les pointsAetBde la courbeCf — Si le segment[AB]est au-dessus de la courbe alorsfest convexe. — Si le segment[AB]est au-dessous de la courbe alorsfest concave.

Oxyaf(a)

bf(b)

ABOxyaf(a)

bf(b) AB fest convexe.fest concave

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DÉRIVATION,CONTINUITÉ ET CONVEXITÉTleES

THÉORÈME(admis)

Soitfune fonction définie et dérivable sur un intervalleI. —fest convexe surIsi, et seulement si, sa fonction dérivéef?est croissante surI. —fest concave surIsi, et seulement si, sa fonction dérivéef?est décroissante surI.

CONSÉQUENCE

On notef??la dérivée seconde de la fonctionf, c"est à dire la dérivée de la dérivéef?.

— Si la dérivée seconde est positive alors la fonctionfest convexe. — Si la dérivée seconde est négative alors la fonctionfest concave.

EXEMPLE

Soitfla fonction définie surRparf(x) =x5-5x4.

Sa dérivée est la fonctionf?définie surRparf?(x) =5x4-20x3. Sa dérivée seconde est la fonctionf??définie surRparf??(x) =20x3-60x2=20x2(x-3). Les variations def?se déduisent du signe de sa dérivéef??. Notons que 20x2?0 doncf??(x)est du même signe quex-3. D"où le tableau : x-∞3+∞ signe def??(x)- 0+ variations def? convexité defCONCAVECONVEXE fest concave sur]-∞;3]et convexe sur[3;+∞[.

2POINT D"INFLEXION

DÉFINITION

Soitfune fonction définie et dérivable sur un intervalleIetCfsa courbe représentative.

S"il existe un pointAde la courbeCftel que la courbe traverse sa tangente en ce point, alors on dit queA

est un point d"inflexion.

EXEMPLE

La courbe représentative de la fonction cube définie surRparf(x) =x3admet comme point d"inflexion

l"origine O(0;0)du repère. SoitCfla courbe représentative de la fonction cube. La tangente au pointOà la courbeCfest l"axe des abscisses d"équationy=0. — Pourx?0,f(x)?0 donc la courbeCfest au dessous de la tangente en O sur]-∞;0]. — Pourx?0,f(x)?0 donc la courbeCfest au dessus de la tangente en O sur[0;+∞[. La courbeCftraverse sa tangente en O donc O(0;0)est un point d"inflexion. Oxy

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DÉRIVATION,CONTINUITÉ ET CONVEXITÉTleES

CONSÉQUENCES

— En un point d"inflexion la courbe traverse sa tangente : celasignifie que la fonction change de convexité.

— Si la dérivéef?change de sens de variation enaalors la courbe admet un point d"inflexion d"abscisse

a.

— Si la dérivée secondef??s"annule en changeant de signe enaalors la courbe admet un point d"inflexion

d"abscissea.

EXEMPLE

Soitfla fonction définie surRparf(x) =x5-5x4-40x+120 etCfsa courbe représentative. Sa dérivée est la fonctionf?définie surRparf?(x) =5x4-20x3-40.quotesdbs_dbs30.pdfusesText_36