GEOMETRIE AFFINE Première partie : ESPACES AFFINES
1 ESPACE AFFINE Dans tout le texte, E~ est un R-espace vectoriel de dimension finie 1 1 Définition Un espace affine d’espace vectoriel sous-jacent E~ consiste en la donnée d’un ensemble E non vide et d’une application Φ de E × E dans E~ qui à un couple (x,y) de E associe un vecteur noté −→xy et qui vérifie
Espaces affines - Gonnord
ainsi a parler DU plan affine pour tout espace affine de dimension 2, que l’on notera souvent E2 De mˆeme, E3 d´esignera n’importe quel espace affine de dimension 3 1 2 Exemples d’espaces affines •Soit Eun espace vectoriel On peut le munir d’une structure d’espace affine, de direction lui-mˆeme,
Universit e Claude Bernard Lyon 1 Espaces a nes Agr egation
˝espace vectoriel ˛est un raccourci pour ˝espace vectoriel de dimension nie ˛ 1 Espaces a nes D e nition ([1]) Un ensemble E est muni d’une structure d’espace a ne par la donn ee d’un espace vectoriel Esur K et d’une application qui associe un vecteur de Ea tout couple de points de E :: E E E (M;N) 7 MN telle que :
FEUILLE 1 : ESPACE AFFINE, SOUS ESPACE AFFINE
GÉOMÉTRIE AFFINE ET EUCLIDIENNE, L3, 2014 FEUILLE 1 : ESPACE AFFINE, SOUS ESPACE AFFINE 3 (2)Montrer que l'ensemble E= ˆ f2C(R) ; Z 1 0 f(x)dx= 1 ˙ peut être muni d'une structure d'espace a ne dont on donnera la direction et la dimension
Espaces vectoriels (et affines) Chap 04 : cours complet
Chapitre 04 – Espaces vectoriels (et affines) – Cou rs complet - 3 - Définition 14 2 : structure affine de 2 et 3 Théorème 14 1 : propriétés élémentaires liant des vecteurs dans un espace affine
Géométrie affine
3) Intuitivement, un espace affine est un espace vectoriel dans lequel on a effacé le rôle privilégié joué par l’origine, et où l’on fait jouer à tous les points le même rôle Réciproquement, choisir un point revient à transformer l’espace affine en espace vectoriel 1 5 Exemples d’espaces affines
Cours de Geom´ etrie´ Affine et Euclidienne pour la Licence de
Le cours present´ e´ ici a et´ e´ enseigne´ (donc teste)´ durant plusieurs annees´ a` l’universite´ de Reims, entroisieme` annee´ deLicence(ill’estencorepourlasecondemoitie)´2 Atitreindicatif,ilrepresente´` au total 44h de cours magistraux et 78h de travaux diriges´ (constitues´ par les exercices situes´ a` la
Géométrieaffine - imag
MathsenLigne Géométrieaffine UJFGrenoble 1 Cours 1 1 Espaceaffine Une fois qu’on a choisi un repère, le plan s’identifie à R2 (resp l’espace à R3), autrement dit à un espace vectoriel de dimension 2 (resp 3) sur R muni d’une base
Introduction - Accueil
Si E est un espace vectoriel de dimension n 2N et Eun espace a ne d’espace directeur E, on dit alors que Eest de dimension n Tout sous-espace a nes Fde Eetant lui-m´ ˆeme un espace a ne d’espace drecteur F, il herite automatiquement´ d’une dimension, a savoir celle de` F Notation 19 On appelle droite tout sous-espace a ne de
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Universite Claude Bernard Lyon 1
Agregation interne de Mathematiques :
EcritAnnee 2013{2014Espaces anes
Lectures recommandees :
[1] Mic heleAu din: Geometrie. EDP-Sciences, Grenoble, deuxieme edition, 2006, [2] Yv esLadegaillerie : Geometrie pour le CAPES de mathematiques, Ellipses, 2002 ou Geometrie ane, projective, euclidienne et anallagmatique, Ellipses, 2003, [3] Jean F resnel: Methodes modernes en geometrie, Hermann, 2010 (un livretresriche que les notations rendent dicile d'acces). SoitKun corps : ce sera le corps des scalaires de tous les espaces vectoriels consideres. On convient qu' espace vectorielest un raccourci pourespace vectoriel de dimension nie. 1Espaces anes
Denition([1]).Un ensembleEest muni d'une structure d'espace anepar la donnee d'un espace vectorielEsurKet d'une application qui associe un vecteur deEa tout couple de points deE: :EE!E (M;N)7!!MN telle que : p ourtout p ointMdeE, l'application partielle M:N7!!MNest une bijection deEsurE; p ourtous p ointsM,NetCdeE, on a :!MN=!MC+!CN(relation de Chasles). On dit alors queEest ladirectiondeEet on appelle sa dimension ladimensiondeE. Exemple.Soitnun entier etEl'espace vectorielKn. On fait de l'ensembleE=Knun espace ane en posant, pourM= (ai)16i6netN= (bi)16i6n: (M;N) = (biai)16i6n2E. Exemple.Plus generalement, soitEun espace vectoriel. On fait deEun espace ane en posant, pourv;w2E: (v;w) =wv. Cela correspond intuitivement aoublierl'origine!0 deE. Denition.On appelleespace anela donnee d'un ensembleEmuni d'une action simplement transitive du groupe additif d'un espace vectorielEsurE, c'est-a-dire la donnee d'une famille de bijections deEdansEappeleestranslations(tv)v2Etelle que : (i) p ourtout couple ( v;v0)2E2, on a :tvtv0=tv+v0; (ii) p ourtout couple de p oints( M;N)2E, il existe un unique vecteurv2Etel queN= t v(M); on note alors!MNle vecteurv. La condition (i) traduit que l'application deEvers le groupe des bijections deEest un mor- phisme, tandis que (ii) exprime que l'action correspondante est simplement transitive. Exercice.Demontrer que ces deux denitions sont equivalentes.Notation.
Etant donnes deux pointsMetNd'un espace aneEetv=!MN, on peut noterN=M+vpour exprimer queN=tv(M).
Exercice.Justier que siv0est un autre vecteur, on a alors :M+ (v+v0) = (M+v) +v0. 1 2Reperes
a) Reperes et coordonnees Denition.SoitEun espace ane dirige par un espace vectorielEde dimensionn. Unrepere deEest une (n+1)-lister= (O;e1;:::;en) formee par un pointOdeEet une base (e1;:::;en) deE. On appellecoordonneesdeMdansrl'uniquen-liste de scalaires (xi)16i6n2Kntelle que OM=nX i=1x iei:Lemme.
Etant donne un repere d'un espace aneEde dimensionn, l'application deEdans K nqui, a un point associe ses coordonnees dans le repere, est une bijection. b) Changement de repere Proposition.SoientEun repere ane etr= (O;e1;:::;en),r0= (O0;e01;:::;e0n)deux reperes deE. SoitMun point deE, on noteX= (xi)16i6netX0= (x0i)16i6nses coordonnees dansr etr0respectivement. Alors :X=PX0+B;
ouP=Pe;e0est la matrice de passage dee= (e1;:::;en)ae0= (e01;:::;e0n)etB= (bi)16i6n est la colonne de coordonnees deO0dansr. D emonstration.Laissee en exercice. Remarque.Rappelons que la matrice de passage de la proposition est la matrice dont les colonnes sont les coordonnees des vecteurs de la nouvellebaseeexprimees dansl'anciennebasee; c'est aussi la matrice de l'identite dans les basee0ete(attention a l'inversion). Moyen mnemotechnique : il faut savoirsourir! En general, on veut passer dans un repere adapte; on cherche les nouvellescoordonneesX0alors qu'on conna^t lesanciennesX: pour cela, il faut sourir, c'est-a-dire resoudre un systeme. Enn, on trouveBen simpliant la formule :B, c'estXlorsqueX0= 0. 3Sous-espaces anes
a) Denition Denition.SoitFune partie d'un espace aneEdirige parE. On dit queFest unsous-espace anes'il n'est pas vide et si, pour un pointM2F, l'ensemble M(F) =!MN; N2Fest un sous-espace vectoriel (sev) deE. Exercice.Verier que cette denition est independante deF, c'est-a-dire que pourM;M02F, M(F) est un sev SSI M0(F) est un sev. Dans ce cas, M(F) = M0(F) : c'est ladirection deF, qui ne depend que deF. Exemple.SoitMun point d'un espace aneEetFun sous-espace vectoriel de la direction deE. Alors l'ensembleM+F=fM+v; v2Fgest un sous-espace ane. En eet, par construction, on a : M(M+F) =F. On dit queFest le sous-espace ane contenantMet dirige parF. b) Sous-espace engendre et repere ane Soient (M0;:::;Mr) une famille nie de points deE. Fixonsk2 f0;:::;rg. Le sous-espace vectorielFkengendre par!MkMi(06i6r) et le sous-espace aneMk+Fkne dependent pas du choix dek. On l'appelle sous-espace engendre par les pointsM0;:::;Mr. 2Montrons l'armation precedente. Soientket`compris entre 0 etr. Si 16i6r, on a :!M`Mi=!MkMi!MkM`2Fk, d'ou il resulte queF`Fk; l'inclusion inverse se deduit par symetrie.
Ensuite, siN2M`+F`, il existev2F`=Fktel que!M`N=v, d'ou :!MkN=!MkM`+v2Fk etN2Mk+Fk. D'ou :M`+F`Mk+Fk. Denition.On dit qu'un famille de points (M0;:::;Mr) est unrepere anedeEsi le sous- espace ane qu'ils engendrent estEtout entier et sir= dimE(ou il y ar+ 1 points!). Exercice.Montrer que (M0;:::;Mr) est un repere ane SSI (M0;(!M0Mi)16i6r) est un repere. c) Sous-espaces anes en coordonnees Exemple(Systeme d'equations).SoitE=Kn. On se donne une matriceA2Mmn(K) et B2Km. Alors, s'il n'est pas vide, l'ensembleFdes solutionsX2Kndu systemeAX=Best le sous-espace ane passant parX0et dirige par le noyau deA. En eet, siX02F, alors on a, pourX2E:X2F,AX=B,AX=AX0,A(XX0) = 0,X2X0+ Ker(A):
Exemple(Presentation parametrique).DansKn, on se donnepvecteursB1;:::;Bpet un point X0. L'ensemble des pointsX0+Pp
j=1tjBjou (tj)16j6pdecritKpest un sous-espace ane.Exercice.Considerons les matrices reelles
A=0 @1 214 1 01231 4 31
A ; B=0 @0 2 71A 1. D eterminerune pr esentationparam etriquede l'ensem bleFdes solutionsX2R4du systemeAX=B. (Gauss est ton ami.) 2. Donner un syst emed' equationsdu sous-espace ane de R3contenant (2;3;1) dont la direction est engendree par les colonnes deA. (Gauss est ton ami.) 4