[PDF] Calculs sur les matrices - Exo7 : Cours et exercices de



Previous PDF Next PDF







MATRICES EXERCICES CORRIGES - ac-rouenfr

MATRICES - EXERCICES CORRIGES CORRECTION Exercice n°1 1) La matrice A est de format 3 4× puisqu’elle contient 3 lignes et 4 colonnes 2) a14 est le nombre figurant à l’intersection de la 1 ère ligne et de la 4 ème colonne, donc a14 =4 a23 est le nombre figurant à l’intersection de la 2 ère ligne et de la 3 ème colonne, donc a23 =3





Calcul matriciel, corrections des exercices

Calcul matriciel, corrections des exercices 1 Syst`emes lin´eaires Correctiondel’exercice1 1(Syst`emelin´eaireparam´etrique) x + 2y = 1 2x + my = 1





Chap 1 Calculs matriciels 2020 - gymomathch

CALCULS MATRICIELS 3 3M renf – Jt 2020 Une entreprise compte 524 employés: 1 président, 3 vice-présidents, 20 cadres intermédiaires et 500 syndiqués Leurs sa-laires annuels de base sont les suivants: le président reçoit 500'000 €, chaque vice-président, 200'000 €, chaque cadre in-





Algèbre linéaire Corrigé 2 Exercice 1

Algèbre linéaire Corrigé 2 Exercice 1 ff tous les produits possibles des matrices suivantes : A = 1 0 −3 4 2 −7,B = 14 −1 15 ,C = −1 1 2 4 2 4 −1 3 0 3 5 −2 ,D = 4 −6



CORRECTION DU TD 3 - TSE

se lancer dans les calculs Décomposition de Jordan Pour la décomposition de Jordan, les colonnes sont très particulières donc on ne peut plus se contenter de compléter notre famille par un vecteur de la base canonique On choisira un vecteur dans et on construira les vecteurs suivants

[PDF] calculs matriciels en ligne

[PDF] 1er cours anglais 4e

[PDF] calculs matriciels excel

[PDF] matrices

[PDF] comment devenir le meilleur de sa classe pdf

[PDF] comment etre le premier de sa classe pdf

[PDF] comment etre le premier de sa classe en 5eme

[PDF] comment etre la premiere de la classe en 5eme

[PDF] comment etre premier de sa classe en 6ème

[PDF] comment etre la premiere de la classe en 6ème

[PDF] neoprofs premier cours

[PDF] comment etre un bon eleve au lycee

[PDF] se faire une image mentale lecture

[PDF] images mentales et stratégies d'apprentissage

[PDF] images mentales lecture

Exo7

Calculs sur les matrices

Corrections d"Arnaud Bodin.

1 Opérations sur les matrices

Exercice 1Effectuer le produit des matrices :

2 1 3 2 11 1 2 1 2 0 3 1 4 0 @11 0 1 41

2 1 21

A0 @a b c c b a

1 1 11

A 0 @1a c 1b b 1c a1 A

SoitA(q) =cosqsinq

sinqcosq pourq2R. CalculerA(q)A(q0)etA(q)npourn>1. SoientAetB2Mn(R)telles que8X2Mn(R), tr(AX) =tr(BX). Montrer queA=B. Que peut-on dire d"une matriceA2Mn(R)qui vérifie tr(AtA) =0 ? Exercice 5Calculer (s"il existe) l"inverse des matrices : a b c d 0 @1 2 1 1 21 2211
A0 @1¯a¯a2 a1¯a a 2a11 A (a2C)0 B

B@0 1 1 1

1 0 1 1

1 1 0 1

1 1 1 01

C CA 0 B

BBBBB@1 1 1

0 1 0 1 1 00 11 C

CCCCCA0

B

BBBBBB@1 2 3n

0 1 2...

... 0 1 2 00 11 C

CCCCCCA

1

SoitA=0

@1 0 2 01 1 12 01 A . CalculerA3A. En déduire queAest inversible puis déterminerA1. 1. Montrer que I+Mest inversible (si(I+M)X=0, calculert(MX)(MX)). 2.

Soit A= (IM)(I+M)1. Montrer quetA=A1.

A= (ai;j)2Mn(R)telle que :

8i=1;:::;njai;ij>å

j6=i ai;j:

Montrer queAest inversible.

Indication pourl"exer cice2 NIl faut connaître les formules de cos(q+q0)et sin(q+q0).Indication pourl"exer cice3 NEssayer avecXla matrice élémentaireEij(des zéros partout sauf le coefficient 1 à lai-ème ligne et laj-ème

colonne).Indication pourl"exer cice4 NAppliquer la formule du produit pour calculer les coefficients diagonaux deAtAIndication pourl"exer cice6 NUne fois que l"on a calculéA2etA3on peut en déduireA1sans calculs.Indication pourl"exer cice7 NMantisymétrique signifietM=M.

1. Si Yest un vecteur alorstYY=kYk2est un réel positif ou nul.

2.IMet(I+M)1commutent.Indication pourl"exer cice8 NPrendre un vecteurX=0

B @x 1... x n1 C Atel queAX=0, considérer le rangi0teljxi0j=maxjxij ji=1;:::;n.3

Correction del"exer cice1 NSiC=ABalors on obtient le coefficientcij(situé à lai-ème ligne et laj-ème colonne deC) en effectuant le

produit scalaire dui-ème vecteur-ligne deAavec lej-éme vecteur colonne deB.

On trouve

2 1 3 2 11 1 2 =3 0 5 1 1 2 0 3 1 4 0 @11 0 1 41

2 1 21

A =1 72 6 5 7 0 @a b c c b a

1 1 11

A 0 @1a c 1b b 1c a1 A =0 @a+b+c a2+b2+c22ac+b2 a+b+c2ac+b2a2+b2+c2

3a+b+c a+b+c1

ACorrection del"exer cice2 NA(q)A(q0) =cosqsinq

sinqcosq cosq0sinq0 sinq0cosq0 cosqcosq0sinqsinq0cosqsinq0sinqcosq0 sinqcosq0+cosqsinq0sinqsinq0+cosqcosq0 cos(q+q0)sin(q+q0) sin(q+q0)cos(q+q0) =A(q+q0)

Bilan :A(q)A(q0) =A(q+q0).

Nous allons montrer par récurrence surn>1 queA(q)n=A(nq).

C"est bien sûr vrai pour n=1.

Fixons n>1 et supposons queA(q)n=A(nq)alors

A(q)n+1=A(q)nA(q) =A(nq)A(q) =A(nq+q) =A((n+1)q)

C"est donc vrai pour tout n>1.

Remarques :

On aurait aussi la formule A(q0)A(q) =A(q+q0) =A(q)A(q0). Les matricesA(q)etA(q0) commutent. En f aitil n"est pas plus dif ficilede montrer que

A(q)1=A(q). On sait aussi que par définitionA(q)0=I. Et on en déduit que pourn2Zon aA(q)n=A(nq).

En ter megéométrique A(q)est la matrice de la rotation d"angleq(centrée à l"origine). On vient de

montrer que si l"on compose un rotation d"angleqavec un rotation d"angleq0alors on obtient une

rotation d"angleq+q0.Correction del"exer cice3 NNotonsEijla matrice élémentaire (des zéros partout sauf le coefficient 1 à lai-ème ligne et laj-ème colonne).

4

SoitA= (aij)2Mn(R). Alors

AEij=0

B

BBBBBBB@0 00a1i0

0 00a2i0

0 00aji0

0 00ani01

C

CCCCCCCA

La seule colonne non nulle est laj-ème colonne.

La trace est la somme des éléments sur la diagonale. Ici le seul élément non nul de la diagonale estaji, on en

déduit donc tr(AEij) =aji (attention à l"inversion des indices). Maintenant prenons deux matricesA;Btelles que tr(AX) =tr(BX)pour toute matriceX. Alors pourX=Eij

on en déduitaji=bji. On fait ceci pour toutes les matrices élémentairesEijavec 16i;j6nce qui implique

A=B.Correction del"exer cice4 NNotonsA= (aij), notonsB=tAsi les coefficients sontB= (bij)alors par définition de la transposée on a

b ij=aji.

Ensuite notonsC=ABalors par définition du produit de matrices le coefficientscijdeCs"obtient par la

formule : c ij=nå k=1a ikbkj:

Appliquons ceci avecB=tA

c ij=nå k=1a ikbkj=nå k=1a ikajk: Et pour un coefficient de la diagonale on ai=jdonc c ii=nå k=1a2ik: La trace étant la somme des coefficients sur la diagonale on a : tr(AtA) =tr(C) =nå i=1c ii=nå i=1nå k=1a2ik=å

16i;k6na2ik:

Si on change l"indicekenjon obtient

tr(AtA) =å

16i;j6na2ij:

Donc cette trace vaut la somme des carrés de tous les coefficients.

Conséquence : si tr(AtA) =0 alors la somme des carréså16i;j6na2ijest nulle donc chaque carréa2ijest nul.

Ainsiaij=0 (pour touti;j) autrement ditAest la matrice nulle.Correction del"exer cice5 N1.si le déterminant adbcest non nul l"inverse est1adbcdb

c a 2. 14 0 @4 04 3 1 2 22 01
A 5

3.si jaj 6=1 alors l"inverse est11a¯a0

@1¯a0 a1+a¯a¯a 0a11 A 4. 13 0 B

B@2 1 1 1

12 1 1

1 12 1

1 1 121

C CA 5. 0 B

BBBBB@11 00

0 11 0

... 0 11

0 0 11

C

CCCCCA

6. 0 B

BBBBBB@12 1 00

12 1 0

12 1 0

(0)12 11 C

CCCCCCACorrection del"exer cice6 NOn trouve

A 2=0 @34 2 111

1 2 01

A etA3=0 @5 0 2 0 3 1 12 41 A Un calcul donneA3A=4I. En factorisant parAon obtientA(A2I) =4I. DoncA14 (A2I) =I, ainsi

Aest inversible et

A 1=14 (A2I) =14 0 @24 2 121
1 211 A

:Correction del"exer cice7 NAvant de commencer la résolution nous allons faire une remarque importante : pourX=0

B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCAun vecteur

(considéré comme une matrice à une seule colonne) alors nous allons calculer tXX: t

XX= (x1;x2;;xn)0

B BB@x 1 x 2... x n1 C

CCA=x21+x22++x2n:

On notekXk2=tXX:kXkest lanormeou lalongueurdu vecteurX. De ce calcul on déduit d"une part que tXX>0. Et aussi quetXX>0 si et seulement siXest le vecteur nul. 1. Nous allons montrer que I+Mest inversible en montrant que si un vecteurXvérifie(I+M)X=0 alors X=0. 6

Nous allons estimer

t(MX)(MX)de deux façons. D"une part c"est un produit de la formetYY=kYk2et donc t(MX)(MX)>0.

D"autre part :

t (MX)(MX) =t(MX)(X)car(I+M)X=0 doncMX=X tXtM(X)cart(AB) =tBtA tX(M)(X)cartM=M tXMX tX(X) =tXX =kXk2

Qui est donc négatif.

Seule possibilitékXk2=0 doncX=0 (= le vecteur nul) et doncI+Minversible. 2. (a)

Calculons A1.

A

1=(IM)(I+M)11=(I+M)11(IM)1= (I+M)(IM)1

(n"oubliez pas que(AB)1=B1A1). (b)

Calculons

tA. t

A=t(IM)(I+M)1

t(I+M)1t(IM)cart(AB) =tBtA =t(I+M)1t(IM)cart(A1) =tA1

I+tM)1(ItM)cart(A+B) =tA+tB

= (IM)1(I+M)car icitM=M (c)

Montrons que I+Met(IM)1commutent.

Tout d"abordI+MetIMcommutent car(I+M)(IM)=IM2=(IM)(I+M). Maintenant nous avons le petit résultat suivant :

Lemme.SiAB=BAalorsAB1=B1A.

Pour la preuve on écrit :

AB=BA)B1(AB)B1=B1(BA)B1)B1A=AB1:

En appliquant ceci àI+MetIMon trouve(I+M)(IM)1= (IM)1(I+M)et donc A

1=tA.Correction del"exer cice8 NSoitX=0

B @x 1... x n1 C Aun vecteur tel queAX=0. Nous allons montrer qu"alorsXest le vecteur nul ce qui entraîne queAest inversible. Par l"absurde supposonsX6=0. Alors, sii0est un indice tel quejxi0j=maxjxij ji=1;:::;n, on ajxi0j>0.

Mais alors commeAX=0 on a pour touti=1;:::;n:

nå j=1a i;jxj=0 7 donc jai0;i0xi0j= j6=i0a i0;jxj 6å j6=i0jai0;jj:jxjj6jxi0jå j6=i0jai0;jj

et, puisquejxi0j>0, on obtientjai0;i0j6åj6=i0jai0;jjcontredisant les hypothèses de l"énoncé. AinsiX=0. On

a donc prouvé "AX=0)X=0» ce qui équivaut àAinversible.8quotesdbs_dbs19.pdfusesText_25