MATRICES EXERCICES CORRIGES - ac-rouenfr
MATRICES - EXERCICES CORRIGES CORRECTION Exercice n°1 1) La matrice A est de format 3 4× puisqu’elle contient 3 lignes et 4 colonnes 2) a14 est le nombre figurant à l’intersection de la 1 ère ligne et de la 4 ème colonne, donc a14 =4 a23 est le nombre figurant à l’intersection de la 2 ère ligne et de la 3 ème colonne, donc a23 =3
Calcul matriciel, corrections des exercices
Calcul matriciel, corrections des exercices 1 Syst`emes lin´eaires Correctiondel’exercice1 1(Syst`emelin´eaireparam´etrique) x + 2y = 1 2x + my = 1
Chap 1 Calculs matriciels 2020 - gymomathch
CALCULS MATRICIELS 3 3M renf – Jt 2020 Une entreprise compte 524 employés: 1 président, 3 vice-présidents, 20 cadres intermédiaires et 500 syndiqués Leurs sa-laires annuels de base sont les suivants: le président reçoit 500'000 €, chaque vice-président, 200'000 €, chaque cadre in-
Algèbre linéaire Corrigé 2 Exercice 1
Algèbre linéaire Corrigé 2 Exercice 1 ff tous les produits possibles des matrices suivantes : A = 1 0 −3 4 2 −7,B = 14 −1 15 ,C = −1 1 2 4 2 4 −1 3 0 3 5 −2 ,D = 4 −6
CORRECTION DU TD 3 - TSE
se lancer dans les calculs Décomposition de Jordan Pour la décomposition de Jordan, les colonnes sont très particulières donc on ne peut plus se contenter de compléter notre famille par un vecteur de la base canonique On choisira un vecteur dans et on construira les vecteurs suivants
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Algèbre linéaireCorrigé 2
Exercice 1.Effectuer tous les produits possibles des matrices suivantes :A=?1 0-3
4 2-7?
,B=( (14 -1 15) ),C=( (-1 1 2 42 4-1 3
0 3 5-2)
),D=?4-6?,E=?10 3 -4 5? Solution 1.On commence par regarder la taille des matrices, afin de déterminer quels produits sont possibles. On a : A: 2×3, B: 3×1, C: 3×4, D: 1×2, E: 2×2. On effectue donc tous les produits possibles, et on trouve les résultats suivants :AB=?-31
-51? ,AC=?-1-8-13 100-9-29 36?
,BD=( (56-84 -4 660-90)
DA=?-20-12 30?,DE=?64-18?,EA=?22 6-51
16 10-23?
,E2=?88 45
-60 13? Exercice 2.Inverser les matrices suivantes (lorsque c"est possible). A=( (0 0 1 1 0 31 1 0)
)?M3×3(R),B=( (1 0-2 -3 1 42-3 4)
)?M3×3(R), C=( (4 1 5 1 2 00-7 5)
)?M3×3(R),D=( (((1 3 1 12 5 2 2
1 3 8 9
1 3 2 2)
)))?M4×4(R).Solution 2.On écrit la matrice donnée (à gauche) et la matrice identité (à droite) l"une à côté
de l"autre dans une matrice augmentée, et on fait des opérations sur les lignes de cette matrice
augmentée jusqu"à faire apparaître la matrice identité à gauche. La matrice de droite est alors
l"inverse de la matrice de départ.Pour vérifier ses calculs, il suffit de faire le produit de la matrice trouvée avec celle de départ, et de
s"assurer qu"on obtient bien la matrice identité!PourAon a :(
(0 0 1 1 0 0 1 0 3 0 1 0 1 1 0 0 0 1 )L1↔L3-→( (1 1 0 0 0 1 1 0 3 0 1 0 0 0 1 1 0 0 L2→L2-L1-→(
(1 1 0 0 0 1 0-1 3 0 1-1 0 0 1 1 0 0 )L2→L2-3L3-→( (1 1 0 0 0 1 0-1 0 -3 1-1 0 0 1 1 0 0L2→-L2-→(
(1 1 00 0 10 1 03-1 1
0 0 11 0 0)
)L1→L1-L2-→( (1 0 0-3 1 00 1 03-1 1
0 0 11 0 0)
donc on trouve queAest inversible avecA-1=( (-3 1 0 3-1 11 0 0)
Pour la matriceB, cela nous donne :
(1 0-2 1 0 0 -3 1 4 0 1 0 2-3 4 0 0 1 )L2→L2+3L1,-→L
3→L3-2L1(
(1 0-2 1 0 0 0 1-2 3 1 0 0-3 8 -2 0 1) L3→L3+3L2-→(
(1 0-2 1 0 0 0 1-2 3 1 0 0 0 2 7 3 1 )L1→L1+L3,-→L
2→L2+L3(
(1 0 0 8 3 1 0 1 010 4 1
0 0 2 7 3 1 L3→1
2L3-→(
(1 0 0 8 3 1 0 1 010 4 1
0 0 1 7 2 3 2 1 2 )doncB-1=( (8 3 110 4 1
7 2 3 2 1 2Pour la matriceC, on a :
(4 1 5 1 0 0 1 2 0 0 1 0 0-7 5 0 0 1 )L1↔L2-→( (1 2 0 0 1 0 4 1 5 1 0 0 0-7 5 0 0 1 L2→L2-4L1-→(
(1 2 0 0 1 0 0-7 5 1-4 0 0-7 5 0 0 1 )L3→L3-L2-→( (1 2 0 0 1 0 0-7 5 1-4 0 0 0 0 -1 4 1) Puisqu"on n"a plus que deux pivots (au lieu de trois, puisque la matrice de départ est de taille3×3), on ne peut pas continuer. On en déduit donc que la matriceCn"est pas inversible.
Enfin, on fait le même processus avec la matriceDet on a : (((1 3 1 11 0 0 0
2 5 2 2
0 1 0 0
1 3 8 9
0 0 1 0
1 3 2 2
0 0 0 1
)))L2→L2-2L1,-→L
3→L3-L1,
L4→L4-L1(
(((1 3 1 11 0 0 0
0-1 0 0
-2 1 0 00 0 7 8
-1 0 1 00 0 1 1
-1 0 0 1) L2→-L2,-→L
3↔L4(
(((1 3 1 11 0 0 0
0 1 0 0
2-1 0 0
0 0 1 1
-1 0 0 10 0 7 8
-1 0 1 0) )))L4→L4-7L3-→(
(((1 3 1 11 0 0 0
0 1 0 0
2-1 0 0
0 0 1 1
-1 0 0 10 0 0 1
6 0 1-7)
L3→
L3-L4-→(
(((1 3 1 11 0 0 0
0 1 0 0
2-1 0 0
0 0 1 0
-7 0-1 80 0 0 1
6 0 1-7)
)))L1→L1
-3L2-L3-L4-→( (((1 0 0 0 -4 3 0-10 1 0 0
2-1 0 0
0 0 1 0
-7 0-1 80 0 0 1
6 0 1-7)
d"oùDest inversible avecD-1=( (((-4 3 0-12-1 0 0
-7 0-1 86 0 1-7)
Exercice 3.SoientA,Bdeux matrices carrées à coefficients réels. Est-ce que(A+B)2=A2+2AB+B2? Si oui, donner une preuve. Si non, trouver un contre-exemple.
Solution 3.En développant le produit, on trouve que(A+B)2=A2+AB+BA+B2. Or le produit de matrices n"est pas commutatif, on n"a donc pasAB=BAen général. Un contre exemple possible serait de prendreA=?1 2 3 4? etB=?1-1 -1 0? , puisque l"on a alorsAB=?-1-1 -1-3? maisBA=?-2-2 -1-2? , d"où(A+B)2?=A2+ 2AB+B2.Exercice 4.SoitC=?2 1
-1-1 2 ?M2×2(R).Trouver une matriceD?M2×2(R)non nulle telle queCD= 0. A-t-on aussi forcémentDC= 0?Solution 4.On cherche une matriceD=?x y
z t? telle queCD= 0, i.e., telle que ?2 1 -1-1 2 x y z t? = 0.Une possibilité est de choisirD=?1 1
-2-2? .Dans ce cas, on aDC=?11 2 -2-1? , d"oùDC?= 0, i.e.DC?=CD. Exercice 5.SoitAune matrice carrée à coefficients réels. SiAest inversible, est-ce queATest inversible? Si oui, quel est son inverse? Justifier. Solution 5.Puisque la matriceAest inversible, on sait qu"il existe une matriceA-1telle que AA -1=InetA-1A=In. En appliquant la transposée à chaque égalité, et puisque l"on sait que (AB)T=BTAT, on trouve (AA-1)T= (A-1)TAT=ITn=Inet(A-1A)T=AT(A-1)T=ITn=In, et on en déduit queATest inversible, et que son inverse est(A-1)T. Exercice 6.SoitA,B,Cdes matrices à coefficients réels telles queAC=BC. Cela implique-t-il queA=B? Si oui, donner une preuve. Si non, trouver un contre-exemple. Solution 6.Dans le cas oùCest la matrice nulle, cela n"est pas vrai carAC=BC= 0pour toutes matricesAetB, on peut donc avoirA?=B. On peut trouver d"autres contre-exemples, comme le cas oùA=?1 2 3 4? ,B=?0 3 7 0? , etC=?1 1 1 1? , puisque l"on a alorsAC=?3 3 7 7? =BC, mais clairementA?=B. Par contre, on remarque que dans le cas oùCest inversible, l"égalitéAC=BCimpliqueA=B, en multipliant à gauche parC-1.Exercice 7.Déterminer les matrices qui sont des matrices d"opérations élémentaires. Lorsque c"est
le cas, donner l"opération élémentaire associée.A=?1 2
0 1? ,B=?0 1 1 2? ,C=( (1 0 0 0 1 00 0⎷
3 ),D=( (1 0 0 00 1 1 0
0 0 1 0)
E=( (0 0 1 0 1 01 0 0)
),F=( (1 0-3 0 1 00 0 1)
),G=( (1 0 2 0 0 10 1 0)
Solution 7.
- La matriceAcorrespond à l"opération qui ajoute deux fois la deuxième ligne à la première.
- La matriceBn"est pas une matrice d"opération élémentaire. - La matriceCmultiplie la troisième ligne par⎷ 3. - La matriceDn"est pas une matrice d"opération élémentaire (elle n"est pas carrée!). - La matriceEéchange la première et la troisième ligne. - La matriceFajoute-3fois la troisième ligne à la première.- La matriceGn"est pas une matrice d"opération élémentaire (il s"agit en fait de deux opéra-
tions élémentaires, et non une seule). Exercice 8.Effectuer les produits matriciels suivants en utilisant la multiplication par blocs. 1)( (6 0 0 1 5 2 4 1 -1) (2-1 1 0 -3 2) 2) ?2 1 1 1 0 -1? (0 3 1 2 1-3) 3) ?1 1 3