MATHEMATIQUES Dérivation, continuité et convexité

Complément de dérivation – Fiche de cours Mathématiques Terminale Générale - Année scolaire 2020/2021 https://physique-et-maths e Point d’inflexion

Chapitre 7 Fonctions dérivables

Chapitre 7 Fonctions dérivables (rappels et compléments) I Nombre dérivé 1) Nombre dérivé en un point (rappels) Déﬁnition 1 Soit f une fonction déﬁnie sur un intervalle I de Ret soit aun réel élément de l’intervalle I

MATHEMATIQUES Dérivation, continuité et convexité : QCM (corrigé)

Terminale MATHEMATIQUES Dérivation, continuité et convexité : QCM (corrigé) Exercice 1 1 f(x) = (3x4 −2)7 f = u7 avec u(x) = 3x4 −2 u est dérivable sur R, donc f aussi f′ = 7u6 ×u′ Comme u′(x) = 12x3, on obtient, pour tout réel x: Si vous connaissez la formule de dérivation de x −→ x7

MATHEMATIQUES Dérivation, continuité et convexité

Terminale MATHEMATIQUES Dérivation, continuité et convexité : entraînement 3 (corrigé) Exercice 1 Partie A : étude d’un cas particulier 1 Calcul de C′(t) On a pour tout t ∈ [0 ; +∞[ : C(t) = 12−12e−807 t La fonction C est dérivable sur R(comme somme de fonctions dérivables) et : C′(t) = −12× − 7 80 e− 7 80 t = 12

Cours de mathématiques

Cours de mathématiques Terminale S1 Chapitre 4 : Dérivabilité Année scolaire 2008-2009 mise à jour 22 novembre 2008 Fig 1 – Jean Dausset Fig 2 – halliday Fig 3 – Johann Radon Il y a des gens connus et des gens importants-Idée de Dominique Barbolosi 1

Compléments sur la dérivation, cours, terminale

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FICHE DE RÉVISION DU BAC - Studyrama

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Mathématiques, Semestre S1

Polytech’Paris-Sud PeiP1 2011/2012 Notesdecours Mathématiques, Semestre S1 Filippo SANTAMBROGIO

Terminale

MATHEMATIQUES

Dérivation, continuité et convexité : entraînement 3 (corrigé)

Exercice 1

Partie A : étude d"un cas particulier

1.Calcul deC?(t).

On a pour toutt?[0 ; +∞[ :C(t) = 12-12e-7

80t.
La fonctionCest dérivable surR(comme somme de fonctions dérivables) et : C ?(t) =-12×? -7 80?
e -7 80t

12×7

80e-7 80t
21
20e-7 80t

Sans modifier l"écriture deC(t) on a :

C ?(t) = 12? 0-? -7 80?
e -7 80t?
=2120e-7 80t.

Autrement

21
20e-7

80t>0 sur[0 ; +∞[,

donc la fonctionCest strictement croissante sur [0 ; +∞[.

2.Le plateau est la limite de la fonctionCen +∞.

lim t→+∞-7

80t=-∞

limT→-∞eT= 0?????

Par composition, limt→+∞e-7

80t= 0 donc limt→+∞12?

1-e-780t?

= 12.

Ainsi, lim

t→+∞C(t) = 12.

Le plateau devrait être égal à 15; il n"est que de 12 donc le traitement n"est pas adapté.

Partie B : étude de fonctions

1.Calcul de la dérivée de la fonctionf.

La fonctionfest dérivable sur ]0 ; +∞[ comme produit de fonctions dérivables et : f ?(x) = 105? -1 x2? u ?(x)× 1-e-3 40x?
v(x)+

105x????

u(x)×? 0-? -340e-3 40x??
v ?(x) -105 x2? 1-e-3 40x?
+105xx2×340e-3
40x
105
x2? -1 + e-3

40x+3x40e3

40?

105g(x)

x2 oùgest la fonction définie sur ]0 ; +∞[ parg(x) =3x 40e-3

40x+ e-340x-1.

www.mathGM.fr1

2.Sens de variation def.

f ?(x) =105g(x) x2doncf?(x) est du signe deg(x) sur ]0 ; +∞[.

D"après le tableau de variations de la fonctiong,g(x)<0 sur ]0 ; +∞[, doncf?(x)<0 sur ]0 ; +∞[ et donc

la fonctionfest strictement décroissante sur ]0 ; +∞[.

3.Solution de l" équationf(x) = 5,9.

x f ?(x) f(x)

0+∞

1 ?7,59 5,9 80
?1,31

Sur l"intervalle [1 ; 80] :

fest continue;

fstrictement décroissante sur [1 ; 80];

5,9 est une valeur intermédiaire entref(1) = 105? 1-e-3 40?
≈7,59 etf(80) =10580?1-e-6?≈1,31.

D"après le corollaire du théorème des valeurs intermédiaires il existe un réel uniqueα?[1 ; 80], tel que

f(α) = 5,9. La calculatrice donnef(8)≈5,92>5,9 etf(9)≈5,73<5,9, donc 8< α <9; f(8,1)≈5,902>5,9 etf(8,2)≈5,882<5,9, donc 8,1< α <8,2.

On a donc au dixième prèsa≈8,1.

Calculatrice

Partie C : détermination d"un traitement adéquat

1. a.PuisqueC(t) =105

a?1-e-a

80t?, on a :

C(6) =105

a?1-e-a

80×6?=105a?

1-e-3 40a?
=f(a), d"après la question précédente.

b.On a vu dans la dernière question de la partie précédente que l"équationf(a) = 5,9 admet une solution

unique et que cette solution vaut environ 8,1. On prendra donc 8,1 comme valeur approchée de la clairanceade ce patient.

2.On obtient pour ce patientC(t) =d

8,1?1-e-a

80t?.

On a lim

t→+∞C(t) = limt→+∞d

8,1?1-e-a

80t?=d8,1.

On souhaite que

8,1= 15??d= 15×8,1 = 121,5.

Le débit sera donc de 121,5 micromole par heure pour avoir un plateau égal à 15 et donc untraitement

efficace. www.mathGM.fr2

Exercice 21.La courbe représentative de la fonctionfadmet un point d"inflexion dont l"abscisse estasi et seulement si

f ??s"annule et change de signe ena. Graphiquement, ce n"est qu"au pointCque la fonction s"annule et change de signe. On en déduit que le point d"abscisse 3 de la courbe représentative de la fonctionfest un point d"inflexion.

Au point d"abscisse-1,f??s"annule

mais ne change pas de signe. Le point d"abscisse-1 de la courbe représenta- tive defn"est donc pas un point d"in- flexion.

Attention

2.Grâce au tableau de signes de la fonctionf??, on déduit la convexité de la fonctionf:

x f ??(x)

Convexité def

-∞-13+∞ 0-0+ fest concave fest concavefest convexe fest concave sur ]- ∞; 3] et convexe sur [3 ; +∞[.

3.Seule la courbe 2 présente une fonction concave sur ]- ∞; 3] et convexe sur [3 ; +∞[.

Exercice 3

1.f(10)-f(0) = 10e-1-30e-3≈2,185. Le dénivelé de cette nouvelle piste est donc de 2185 mètres.

2.Pour déterminer la difficulté de cette piste, il faut étudier les variations de la fonction dérivéef?sur l"inter-

valle (0 ; 10]. Pour cela on déterminef??(x) et on étudie son signe.

On obtient :

f ?(x) = (-0,4x+ 4)e0,2x-3etf??(x) = (-0,08x+ 0,4)e0,2x-3

Vérifiez ces deux résultats..... cela ne

devrait pas vous poser de problème !

A vous !

En effet, le signe def??(x) donne les variations def?. -0,08x+ 0,4 s"annule enx=-0,4 -0,08= 5.

Le tableau de variations def?(x) est donc :

x -0,08x+ 0,4 e

0,2x-3

f ??(x) f ?(x)

0 5 20

0- 0-

4e-34e-3

2e-22e-2

00 www.mathGM.fr3 f?(0) = 4e-3≈0,199f?(5) = 2e-2≈0,271f?(10) = 0.

D"après le tableau de variation, la fonctionf?admet sur l"intervalle [0 ; 10] un maximum au point d"abscisse

[PDF] MATHEMATIQUES Dérivation, continuité et convexité

Terminale

MATHEMATIQUES

Exercice 1

Partie A : étude d"un cas particulier

1.Calcul deC?(t).

On a pour toutt?[0 ; +∞[ :C(t) = 12-12e-7

12×7

Sans modifier l"écriture deC(t) on a :

Autrement

80t>0 sur[0 ; +∞[,

2.Le plateau est la limite de la fonctionCen +∞.

80t=-∞

Par composition, limt→+∞e-7

80t= 0 donc limt→+∞12?

1-e-780t?

Ainsi, lim

Partie B : étude de fonctions

1.Calcul de la dérivée de la fonctionf.

105x????

40x+3x40e3

105g(x)

40x+ e-340x-1.

2.Sens de variation def.

3.Solution de l" équationf(x) = 5,9.

0+∞

Sur l"intervalle [1 ; 80] :

fest continue;

fstrictement décroissante sur [1 ; 80];

On a donc au dixième prèsa≈8,1.

Calculatrice

1. a.PuisqueC(t) =105

80t?, on a :

C(6) =105

80×6?=105a?

2.On obtient pour ce patientC(t) =d

8,1?1-e-a

On a lim

8,1?1-e-a

80t?=d8,1.

On souhaite que

8,1= 15??d= 15×8,1 = 121,5.

Au point d"abscisse-1,f??s"annule

Attention

2.Grâce au tableau de signes de la fonctionf??, on déduit la convexité de la fonctionf:

Convexité def

3.Seule la courbe 2 présente une fonction concave sur ]- ∞; 3] et convexe sur [3 ; +∞[.

Exercice 3

1.f(10)-f(0) = 10e-1-30e-3≈2,185. Le dénivelé de cette nouvelle piste est donc de 2185 mètres.

2.Pour déterminer la difficulté de cette piste, il faut étudier les variations de la fonction dérivéef?sur l"inter-

On obtient :

Vérifiez ces deux résultats..... cela ne

A vous !

Le tableau de variations def?(x) est donc :

0,2x-3

0 5 20

4e-34e-3

2e-22e-2

5. Ce maximum a pour valeur approchée 0,271. La pente maximum sera donc de 27,1 %, ce qui correspond

à une piste rouge.

fest continue;

fstrictement décroissante sur [1 ; 80];