Dérivation - Lecture graphique - Corrigé
Soit une fonction définie sur et représentée par la courbe ci-contre Aux points d’abscisses on a représenté les tangentes à la courbe a) A l’aide du graphique, déterminer les nombres dérivés et et b) Rappeler l’équation réduite de la tangente en
NOM : DERIVATION 1ère S
On note (D) sa représentation graphique 1) Calculer la dérivée f0de f 2) Déterminer une équation de la tangente (T) à la courbe (C f) au point d’abscisse x 0 = 2 3) Résoudre par le calcul l’équation g(x) = f(x) 4) Préciser les coordonnées des points d’intersections de (C f) et (D)
Dérivation - WordPresscom
directeur et p l’ordonnée à l’origine Ici le coefficient directeur vaut −4 3 (lecture graphique) et la tangente passe (par définition) par le point de coordonnées (−1;2) y= −4 3 ∗x+p en remplaçant par les coordonnées d’un point de la droite 2= −4 3 ∗−1+p et donc p=2− 4 3 = 2 3 Cours de 1° spé Mathématiques
Chapitre 5 : Dérivation - Lycée Paul Rey
Des siècles plus tard, le mathématicien italien Torricelli (1608-1646) et le français Roberval (1602-1675) pro- IV Représentation graphique d’une tangente
1èreG 2019/2020 Exercice 1 : Lecture graphique de coefficient
Exercice 3 : Fonction Affine et représentation graphique 1 On définie surR la fonction f par f(x) = 3x 4 On appelle Cf la courbe la représentant (a) Quelle est la nature de f? Quelle est la nature de Cf? (b) Dresser le tableau de variation de f (c) Donner une équation de Cf (d) Représenter Cf 2 On donne Dg représentant une
Chapitre 4 DERIVATION 1
La représentation graphique de (d) est obtenue en plaçant au préalable deux points En choisissant une abscisse , l’odonnée est obtenue à l’aide de l’éuation =2 −1 Exemple Soit la droite (d) passant par les points (2;3) et (6;5) Tout d’abod, on a =5−3 6−2 =2 4 =1 2 D’où (????)∶ =1 2 +???? On a = 1 2
1 Rappel sur la dérivation - WordPresscom
1 3 Sens de variation et extremum local 1 3 1 Signe de la dérivée f′ et sens de variation de f Soit f une fonction dérivable sur un intervalle I de R • Si, pour tout xde I, f′(x)>0, alors f est strictement croissante sur I
Chapitre 7 Fonctions dérivables - PROBLEMES ET SOLUTIONS
Démonstration Si x0, y0 et msont trois réels, on sait qu’une équation de la droite passant par le point de coordonnées (x0,y0) et de coefficient directeur mest y= m(x−x0)+y0 Ici, la tangente à C f en Aest la droite de coefficient directeur f′(a) passant par le point de coordonnées (a,f(a)) On en déduit le résultat Remarque 1
Qu’est ce qu’un ECG C’est une représentation graphique de l
C’est une représentation graphique de l'activité électrique du cœur Qui est liée aux variations du potentiel électrique entre deux points éloignés à la surface du corps Dus à la dépolarisation et repolarisation du myocarde L’électrocardiogramme : le tracé sur le papier L’électrocardiographe : l’appareil
SOMMAIRE - WordPresscom
dérivations standard ou bipolaires (I, II, III) et 3 dérivations unipolaires des membres (aVR, aVL, aVF) Les dérivations bipolaires d’Einthoven I, II, III sont placées sur le bras droit et gauche ainsi que le pied gauche pour former un triangle Il s’agit du triangle d’Einthoven
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Chapitre 2 : Dérivation et continuité
T-ES, 2017-2018
1. Rappel sur la dérivation
1.1. Règles de dérivation
1.1..1 Dérivées des fonctions usuelles
Fonctionff?Fonction dérivéeDomaine de validité f(x) =k(k?R)f?(x) = 0R f(x) =ax+b(a,b?R)f?(x) =aR 1 x-1x2R- {0} xn(n?N- {0})f?(x) =nxn-1R ⎷xf?(x) =12⎷x]0,+∞[ Exemple 1.Déterminer l"expression de la dérivée de la fonctionfdéfinie surI.1f(x) =-12I=R;
2f(x) = 7x-34I=R;
3f(x) =-3x5I=R;
4f(x) =5xI=R?;
5f(x) = 6⎷x I=]0,+∞[;
1.1..2 Opérations et dérivées
Soientuetvdeux fonctions dérivables sur un intervalleIetkun réel. Alors, FonctionfFonction dérivéef?Domaine de validité u+vu?+v?I uvu?v+v?uI kuku?I u v u?v-v?u v2toutx?Itel quev(x)?= 0 1 u -1 u2×u?toutx?Itel queu(x)?= 0 unnun-1×u?I;n?N- {0} ⎷u12⎷u×u?x?Itels queu(x)>0
Remarque 1.Toute fonction polynôme est dérivable surR. Toute fonction rationnelle est dérivable sur chaque intervalle où elle est définie. 1/8 Exemple 2.Déterminer l"expression de la dérivée de la fonctionfdéfinie surI.1f(x) = 5x2-3x+ 4I=R;
2f(x) =x2-4x2+ 5I=R;
3f(x) =14 +⎷xI= [0;+∞[;
4f(x) = (1-⎷x)(x2-x-4)I= [0;+∞[;
5f(x) =1x2+ 2I=R;
1.2. Tangente à la courbe d"une fonction
Si la fonctionfest dérivable ena, alors la courbeCfreprésentative defadmet au point d"abscissea
une tangente dont l"équation réduite est : y=f?(a)(x-a) +f(a).Propriété 1.
Remarque 2.Le nombre dérivéf?(a)est le coefficient directeur de la tangente à la courbeCfau point
Ad"abscissea.
?A T 1f ?(a) ?f(a) aTangente àCf, enA
y=f?(a)(x-a) +f(a) 2/8 Exemple 3.Soitfla fonction définie parf(x) =x2etPsa représentation graphique dans un repère orthonormé.1Déterminer par lecture graphique l"équation réduite de la tan-
gente dePau pointA(1;1).2Retrouver ce résultat par le calcul.
1234-11 2 3-1-2-3 P i-→ j O Exemple 4.Soitfla fonction définie sur]1;+∞[parf(x) =x-2 x-1etCsa représentation graphique dans un repère ortho- normé.
1Calculerf?la fonction dérivée def.
2SoitA(2;0)un point deC. Calculer le coefficient directeur
deTAla tangente enAdeC.3Donner l"équation réduite de la tangenteTA.
4Tracer la tangenteTA.
1 -1 -2 -31 2 3 4 5 6C-→
i-→ j O 3/81.3. Sens de variation et extremum local1.3..1 Signe de la dérivéef?et sens de variation def
Soitfune fonction dérivable sur un intervalle I deR. Si, pour toutxde I,f?(x)>0, alorsfeststrictement croissantesurI. Si, pour toutxde I,f?(x)<0, alorsfeststrictement décroissantesurI. Si, pour toutxde I,f?(x) = 0, alorsfestconstantesurI.Théorème 2.
a c b?i? jO Cf x Signe def?(x)Variations
defa cb 0- Exemple 5.Soitfune fonction définie et déri- vable sur[-5;11]dont la courbe représentative est donnée ci-contre :Dresser le tableau de signes def?.
1234567
-1 -21 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12-1-2-3-4-5 Cf Exemple 6.Soitfla fonction définie sur[-3;7]parf(x) =-x3+ 6x2-10.1Étude des variations def.
(a) Calculerf?(x). (b) Chercher sif?(x)s"annule (Résoudref?(x) = 0). (c) Étudier le signe def?(x).2Donner le tableau de variation def.
4/81.3..2 Extremum local et dérivée
Soitfune fonction dérivable sur un intervalle ouvertI. Soitx0?I.Sif(x0)est un extremum local, alorsf?(x0) = 0.
La courbeCreprésentative de la fonctionfadmet une tangente horizontale au point(x0;f(x0)).Théorème 3.
Remarque 3.La réciproque de ce théorème est fausse. Exemplef(x) =x3,f?(0) = 0pourtant la fonction
n"admet pas d"extremum local en0. Soitfune fonction dérivable sur un intervalle ouvertI. Soitx0?I. Sif?(x0) = 0et sif?change de signe enx0, alorsfadmet un extremum local enx0Théorème 4.
Exemple 7.
Soitfla fonction définie sur parf(x) =-2x3.
Soitgla fonction définie sur parg(x) =-x2+ 4x+ 5.Les fonctionsfetgadmettent-elles des extrema surR? Si oui, préciser leur valeur, et les valeurs dex
pour lesquels ils sont atteints. 5/82. La continuité2.1. Notion intuitive de continuité
Définition 1.
Soit une fonctionfdéfinie sur un intervalleIdeR. On dit quefestcontinuesurIsi lorsqu"on trace lacourbe de la fonctionfon ne lève pas le crayon. On dit qu"il n"y a pas de " saut » dans lareprésentation
graphique de la fonctionf. O xy Cf aA f(a)xM f(x)Oxy C f aA f(a)xM f(x) La fonctionfest continue. La fonctionfn"est pas continue ena. La courbeCfprésente un saut au point d"abscissea. Les fonctions usuellesx?→x2,x?→x3et les fonctions affines sont continues surR.La fonction racine carréex?→⎷
xest continue sur[0;+∞[.La fonction inversex?→1
xest continue sur]- ∞;0[et sur]0;+∞[.Propriété 5.
Siuetvsont deux fonctions continues sur un intervalleI, alors la sommeu+vet le produituvsont continus surI.Propriété 6.
Les fonctions polynômes et rationnelles sont continues surtout intervalle de leur ensemble de définition.
Corollaire 7.
Une fonction dérivable sur un intervalleIest continue surI.Propriété 8.
Remarque 4.La réciproque est fausse. La fonction racine carrée par exemple est définie et continue sur
[0;+∞[et pourtant elle n"est pas dérivable en0. Exemple 8.Soitfla fonction définie par :f(x) =?5x+ 6 x-1? 2 . Étudier la continuité def. 6/82.2. Théorème des valeurs intermédiaires2.2..1 Propriété fondamentale des fonctions continues
Théorème des valeurs intermédiaires
fest une fonctioncontinuesur un intervalleI.aetbdésignent deux nombres réels deI. Pour tout nombre réelkcompris entref(a)etf(b), il existeau moinsun nombre réelccompris entreaetbtel quef(c) =k.Théorème 9.
0 xy k a f(a)bf(b)Remarque 5.Ce théorème résulte du fait que l"image d"un intervalle deRpar une fonction continue est
un intervalle deR.2.2..2 Cas d"une fonction continue et strictement monotone
On considère une fonctionfdéfinie sur un intervalle[a;b]qui estcontinueetstrictement monotonesur cet intervalle,kdésigne un nombre réel compris entref(a)etf(b), alors dans ces conditions, on
peut affirmer que l"équationf(x) =kadmet uneuniquesolution sur l"intervalle[a;b].