SECOND DEGRÉ (Partie 1)

existe de l'équation a x b x c2 =0 Résolution de l'équation fx =: Racine de Factorisation Signe de fx N'est pas de solutions dans On ne peut pas factoriser Pour tout x \ signe fx= signe a Une racine double 122 b xx a f x a x x =- Pour tout z\x x x signe signe A deux racines distincts 1 2 b x a ' et 2 b x ' f x a x x x x= - - Supposons que xx12

Devoir Commun de Mathématiques 2nde

Le but de cette partie est de retrouver et démontrer les expressions de l’aire du triangle MBC et l’aire du trapèze AMCB de la partie A 1 Exprimer MB en fonction de x 2 Déterminer l’aire fx() de MBC en fonction de x 3 En utilisant le rappel, déterminer l’aire gx() de AMCD en fonction de x

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FONCTIONS AFFINES (Partie 2)

B) sont deux points de la droite (d) représentant la fonction f définie par f(x) = ax + b alors : a = B y−y A x B −x A Conséquence : f est une fonction affine de la forme f(x) = ax + b Si x 1 et x 2 sont deux nombres tels que x 1 ≠ x 2, alors : a= fx (2)−fx (1) x 2 −x 1 Démonstration de la propriété : p131 n°68 Myriade 3e

2NDE 4 - PROFESSEUR DE MATHS DONNE COURS PARTICULIERS SUR PARIS

a Déterminer l’expression de g en fonction de x b Tracer la courbe D représentative de la fonction g dans le repère orthogonal précédent 4 a Montrer que pour tout réel x de l’intervalle , 2 0,5 ( ) ( ) 2 xx f x g x x b Étudier le signe de f x g x( ) ( ) Interpréter graphiquement le résultat Fonctions feuille 29

Declic 2nde Complement Exos1 - Hachette Education

1) Déterminer les images de 1, 4 puis – 3 par cet algo-rithme 2) On souhaite obtenir 169 Quel(s) nombre(s) peut-on choisir comme entrée ? 3) Donner l’expression algé-brique de la fonction définie sur par l’algorithme 5 ax← + 2 ba← 2 4 fx()= x2 2 fx()= ()x + 2 2 4 fx()= x2 + 4x 6 ax← 2 b ← 2 × x cab← + 2 fx()= x2 2x + 2

Simplification des expressions contenant des valeurs absolues

critiques de En effet, pour ces valeurs-là, l’une ou l’autre valeur absolue change d’expression et donc aussi fx() fx() b) On remarque que f (29)=−⋅2+17=−1 ou 1 De même : f ()21=⋅12−23=− f (3)=⋅11 3−23 =10 ou f (39)=⋅3−17=10 On peut donc prendre soit l’expression à gauche soit l’expression à droite dans

Pour bien débuter ma 1 ES/L - ac-aix-marseillefr

Déterminer un encadrement de fx 9 Tracer la courbe représentative de f dans un repère adapté EXERCICE 13 On considère la fonction f définie par 21 1 x fx x 1 Donner le domaine de définition D f de cette fonction 2 Déterminer l’image de 2 4etl'imagede 3 par f 3 Résoudre l’inéquation fx 2 4 Montrer que pour tout ???? de

SECOND DEGRÉ (Partie 1)

Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques SECOND DEGRÉ (Partie 1) I Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur par une expression de la forme : f(x)=ax2+bx+c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a≠0 Remarque :

NOTE : Devoir Surveillé de Mathématiques n°2 – 14 Octobre

Identifier l’ensemble de définition Déterminer l’image d’un nombre Déterminer les antécédents d’un nombre Représenter graphiquement une fonction définie de différentes manières Résoudre graphiquement des équations ou inéquations Faire le lien entre programme de calcul et expression d’une fonction

1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSECOND DEGRÉ (Partie 1) I. Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur

par une expression de la forme : f(x)=ax 2 +bx+c où les coefficients a, b et c sont des réels donnés avec a≠0

. Remarque : Une fonction polynôme de degré 2 s'appelle également fonction trinôme du second degré ou par abus de langage "trinôme". Exemples et contre-exemples : -

f(x)=3x 2 -7x+3 g(x)= 1 2 x 2 -5x+ 5 3 h(x)=4-2x 2 k(x)=(x-4)(5-2x) sont des fonctions polynômes de degré 2. - m(x)=5x-3 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). - n(x)=5x 4 -3x 3 +6x-8

est une fonction polynôme de degré 4. II. Forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Méthode : Déterminer la forme canonique d'une fonction polynôme de degré 2 Vidéo https://youtu.be/OQHf-hX9JhM Soit la fonction f définie sur

par : f(x)=2x 2 -20x+10 . On veut exprimer la fonction f sous sa forme canonique : f(x)= J(x - J)2 + J où J, J et J sont des nombres réels. f(x)=2x 2 -20x+10 =2x 2 -10x +10 =2x 2 -10x+25-25 +10 =2x-5 2 -25 +10 car x 2 -10x est le début du développement de x-5 2 et x-5 2 =x 2 -10x+25 =2x-5 2 -50+10 =2x-5 2 -40 f(x)=2x-5 2 -40

est la forme canonique de f. Propriété : Toute fonction polynôme f de degré 2 définie sur

par f(x)=ax 2 +bx+c peut s'écrire sous la forme : f(x)=ax-α 2 , où α et β

sont deux nombres réels. Cette dernière écriture s'appelle la forme canonique de f. Démonstration : Comme

a≠

0, on peut écrire pour tout réel x :

f(x)=ax 2 +bx+c =ax 2 b a x +c =ax 2 b a x+ b 2a 2 b 2a 2 +c =ax+ b 2a 2 b 2a 2 +c =ax+ b 2a 2 -a b 2 4a 2 +c =ax+ b 2a 2 b 2 4a +c =ax+ b 2a 2 b 2 -4ac 4a =ax-α 2 avec b 2a et b 2 -4ac 4a

. III. Variations et représentation graphique Exemple : Soit la fonction f donnée sous sa forme canonique par :

f(x)=2x-1 2 +3

Alors :

f(x)≥3 car 2x-1 2 est positif. Or f(1)=3 donc pour tout x, f(x)≥f(1)

3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frf admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par

f(x)=ax-α 2 , avec a≠0 . - Si a>0 , f admet un minimum pour x=α . Ce minimum est égal à β . - Si a<0 , f admet un maximum pour x=α . Ce maximum est égal à β . Remarque : Soit la fonction f définie sur par : f(x)=ax 2 +bx+c , avec a≠

0. On peut retenir que f admet un maximum (ou un minimum) pour

x=- b 2a . (voir résultat de la démonstration dans II.) - Si a>0 : x -∞ b 2a f f- b 2a - Si a<0 : x -∞ b 2a f f- b 2a

Dans un repère orthogonal

O,i ,j

, la représentation graphique d'une fonction polynôme de degré 2 est une parabole. M est le sommet de la parabole. Il correspond au maximum (ou au minimum) de la fonction f. La parabole possède un axe de symétrie. Il s'agit de la droite d'équation

x=- b 2a

4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2 Vidéo https://youtu.be/KK76UohzUW4 Représenter graphiquement la fonction f définie sur

par f(x)=-x 2 +4x . Commençons par écrire la fonction f sous sa forme canonique : f(x)=-x 2 +4x =-x 2 -4x =-x 2 -4x+4-4 =-x-2 2 -4 =-x-2 2 +4 f admet donc un maximum en 2 égal à f(2)=-2-2 2 +4=4 Les variations de f sont donc données par le tableau suivant : x -∞

2 +∞

f 4 On obtient la courbe représentative de f : Horsducadredelaclasse,aucunereproduction,mêmepartielle,autresquecellesprévuesàl'articleL122-5ducodedelapropriétéintellectuelle,nepeutêtrefaitedecesitesansl'autorisationexpressedel'auteur.www.maths-et-tiques.fr/index.php/mentions-legales

quotesdbs_dbs20.pdfusesText_26

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Série dexercices *** 2 L PDU 1ER ET 2ND DEGRE Hajeb Laayoun

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FONCTIONS AFFINES (Partie 2)

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1YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frSECOND DEGRÉ (Partie 1) I. Fonction polynôme de degré 2 Définition : On appelle fonction polynôme de degré 2 toute fonction f définie sur

0, on peut écrire pour tout réel x :

Alors :

3YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.frf admet donc un minimum en 1. Ce minimum est égal à 3. Propriété : Soit f une fonction polynôme de degré 2 définie par

0. On peut retenir que f admet un maximum (ou un minimum) pour

Dans un repère orthogonal

4YvanMonka-AcadémiedeStrasbourg-www.maths-et-tiques.fr Méthode : Représenter graphiquement une fonction polynôme de degré 2 Vidéo https://youtu.be/KK76UohzUW4 Représenter graphiquement la fonction f définie sur

2 +∞