FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3 - maths et tiques
Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques III Forme factorisée d’une fonction polynôme de degré 3 Exemple : La fonction f définie par (#)=5(#−4)(#−1)(#+3) est une fonction polynôme de degré 3 sous sa forme factorisée Si on développe l’expression de f à l’aide d’un logiciel de calcul formel, on obtient
SERIE D’EXER I ES: Polynôme -Equations-Inéquations-Systèmes
3) On considère la restriction de f a l’intervalle ]; [0 f notée h et définie par : 0 1 2:] ; [ ]0;+ [x x h x f o f a)Montrer que h est une application bijective b) Déterminer l’expression de hx 1() c) En déduire h 1()2 Exercice 4 : Soit f la fonction définie par 1 2 x fx x 1) Déterminer le domaine de définition de f
Polynômes - martellinetlifyapp
Déterminer le reste de la division euclidienne du polynôme Xn par le polynôme (X ´1)(X ´2), et en déduire l’expression de An pour tout entier naturel n 3 On considère la matrice B = (3 ´1 1 1) Déterminer l’unique réel λ tel que B ´ λI soit non inversible, puis montrer que (B ´ λI)2 = 0 En déduire l’expression de Bn
FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2 (Partie 2)
a) On peut conjecturer que 1 est racine de la fonction polynôme f En effet, (1)=2×1++4×1−6=2+4−6=0 b) D’après l’expression de la fonction f, (#)=2#++4#−6, on peut affirmer que *=2 Par ailleurs, 1 est une racine de f Donc, sous sa forme factorisée, f s’écrit : (#)=2(#−1)(#−# +) Il s’agit donc de déterminer x
Polynômes Feuille 22 - Quentin De Muynck
FEUILLE XXII - POLYNÔMES Exercice 22 18 Solution p 13 Soit n2N 1 Exprimer de deux manières le polynôme L2R n 1[X] véri˙ant 8k2f1;:::;ng;L(k) = kn 1: 2 En déduire une expression simpli˙ée de
EXERCICES DU CHAPITRE POLYNÔMES 1a) 2R Révisions
Déterminer l’ensemble des polynômes de degré 3 vérifiant : P(0) ˘0, P0(0) ˘0 et P(2) ˘4 Exercice16 Soient n 2N et Pn le polynôme défini par Pn(X) ˘Xn 1 Donner les racines de Q(X) ˘X2 ¡3X¯2 2 Déterminer le reste de la division euclidienne de Pn par X2 ¡3X¯2 Exercice 17 On cherche dans cet exercice à déterminer les
351 - ChingAtome
1 Déterminer la forme canonique du polynôme P 2 En déduire les solutions de l’équation: x2 +4 x+9 = 1 6 Forme canonique et sens de variations : Exercice 4407 1 a Déterminer la forme canonique de l’expression: x2 10x 2 b Justifier que cette expression admet pour valeur min-imale 27 et que cette valeur est atteinte en 5 2 On
Devoir sur table no 6 23 janvier 2021 (4h)
On considère le polynôme : P= (X+1)n (X 1)n a) Déterminer les racines complexes de P On donnera une expression simple à l’aide de la fonction cotan b) En déduire que Pest scindé sur C 3 Soit n 2 a) Montrer que : nX1 k=1 cotan2 kˇ n = (n 1)(n 2) 3 b) En déduire pour tout p2Nune expression simple de S p= Xp k=1 cotan2 kˇ 2p+1 et
Feuille de TD 1 - Correction : Interpolation de Lagrange
Sinon, on remarque que le polynôme que l’on cherche a le bon goût d’avoir une racine simple : 0 et une racine double : 1 (c’est-à-dire que P ET P 0 s’annulent en1) Onsaitdoncqu’onpeutlefactoriserpar X ( X −1) 2 etonlecherchedonc
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FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 2
Chapitre 2/2
Partie 1 : Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 2Exemple :
La fonctiondéfinie par
=2 -2 +2 est une fonction du second degré. En effet, elle s'écrit aussi sous la forme ⟼ =2 -2 +2 =2 -4 =2 -8. Définition : Les fonctions définies sur ℝ par sont des fonctions polynômes de degré 2.Les coefficients ,
et sont des réels avec ≠0. A noter : Plus généralement, on appelle fonction polynôme de degré 2, toute fonction qui s'écrit sous la forme ⟼Par exemple, la fonction ⟼3
-2+1 est une fonction polynôme du second degré. Propriété : Soit la fonctiondéfinie sur ℝ parL'équation
=0 possède deux solutions (éventuellement égales) : = et appelées les racines de la fonction polynôme. Propriété : Soit la fonctiondéfinie sur ℝ par La droite d'équation = avec = est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction. Méthode : Représenter graphiquement une fonction du second degré à partir de sa forme factorisée.Vidéo https://youtu.be/riqMPcUT_Ts
On considère la fonctiondéfinie sur ℝ par =2 -2 +4Déterminer :
a) l'intersection de la courbe deavec l'axe des abscisses, b) son axe de symétrie, c) les coordonnées de son extremum.Placer au fur et à mesure ces éléments géométriques dans un repère puis tracer la parabole
représentant la fonction.2 sur 6
Correction
a) Pour déterminer l'intersection de la courbe deavec l'axe des abscisses, il suffit de résoudre l'équation =0.Soit : 2
-2 +4 =0.Il s'agit d'une équation-produit. On a donc :
-2=0 ou +4=0 soit : =2 ou =-4. La courbe detraverse l'axe des abscisses en =-4 et en =2. On peut marquer ces deux points d'intersection, A et B, dans le repère. b) Ici, =2 -2 +4 donc =2 et =-4, et donc = =-1. La droite d'équation =-1 est l'axe de symétrie de la parabole représentant la fonction.On peut tracer cette droite dans le repère.
c) - Le sommet S de la parabole se trouve sur l'axe de symétrie, donc il a pour abscisse = -1 et pour ordonnées : -1 =2 -1-2 -1+4 =2× -3×3=-18
Le sommet de la parabole S est donc le point de
coordonnées (-1 ; -18).On peut placer le point S dans le repère.
- L'expression de la fonctionest =2 -2 +4 , donc a = 2 > 0.On en déduit que la parabole
représentant la fonctionpossède des branches tournées vers le haut.Le sommet de la parabole
correspond donc au minimum de la fonction.On trace ainsi la parabole
passant par les points S, A et B.3 sur 6
Méthode : Associer une fonction du second degré à sa représentation graphiqueVidéo https://youtu.be/Yrt2Cdx1uk4
Associer chaque fonction à sa représentation graphique :Correction
- On a : ℎ =5 -1 =5La fonction ℎ est la seule à posséder une racine double égale à 1. Cela signifie que la parabole
correspondante ne possède qu'un seul point d'intersection avec l'axe des abscisses. La parabole bleue intercepte l'axe des abscisses en 1 uniquement, c'est donc la représentation graphique de la fonction ℎ. - Les fonctionset sont de la forme =3 -1 +3 et =-2 -1 +3 Ces fonctions possèdent donc toutes les deux les mêmes racines : =1 et =-3. On peut donc les associer à la parabole rouge et à la parabole verte qui passent toutes les deux par les points d'abscisse -3 et 1.Les branches de la parabole verte sont tournées vers le haut donc > 0 dans l'écriture de la
fonction ⟼ Ainsi, la parabole verte représente la fonctionpour qui = 3 > 0. La parabole rouge représente alors la fonction . Méthode : Factoriser une expression du second degréVidéo https://youtu.be/FoNm-dlJQLc
On considère la fonctiondéfinie sur ℝ par =2 +4-6. a) Conjecturer une racine de la fonction polynômeet vérifier par calcul. b) Factoriser.4 sur 6
Correction
a) On peut conjecturer que 1 est racine de la fonction polynôme.En effet,
1 =2×1 +4×1-6=2+4-6=0. b) D'après l'expression de la fonction , on a : =2 +4-6.On peut affirmer que =2.
Par ailleurs, 1 est une racine de. Donc, sous sa forme factorisée,s'écrit : =2 -1Il s'agit donc de déterminer
, tel que : 2 +4-6=2 -1 En prenant par exemple =0, cette égalité s'écrit : -6=2 -1 , soit -6=2 ou encore -3= Ainsi, sous sa forme factorisée, la fonction polynômes'écrit =2 -1 -3 > ou encore =2 -1 +3 Partie 2 : Signe d'une fonction polynôme de degré 2 Méthode : Étudier le signe d'un polynôme du second degréVidéo https://youtu.be/EjR6TCc_fdg
Étudier le signe de la fonction polynômedéfinie sur ℝ par =-2 -3 +2Correction
Le signe de -2
-3 +2 dépend du signe de chaque facteur -2, - 3 et + 2. On étudie ainsi le signe de chaque facteur et on présente les résultats dans un tableau de signes. - 3 = 0 ou + 2 = 0 = 3 = -2 En appliquant la règle des signes dans le tableau suivant, on pourra en déduire le signe du produit =-2 -3 +25 sur 6
On en déduit que ()≥0 pour ∈ -2;3 et -∞;-23;+∞
La représentation de la fonctionà l'aide d'un logiciel permet de confirmer les résultats