2°) Calculer la moyenne, la variance et l’écart
1°) Déterminer une équation de la droite (d 1) : Médiane issue de B dans le triangle ABC 2°) Déterminer une équation de la droite (d 2) : Hauteur issue de C dans le triangle ABC 3°) Déterminer une équation de la droite (d 3) : Médiatrice du segment [BC] 4°) Déterminer les coordonnées du point D, intersection de (d 1) et (d 2
3 Arabe Lecture obligatoire (à évaluer à la rentrée
3) a) Déterminer une équation de la médiane issue de dans le triangle ) Déterminer, au degré près, l’angle aigu que fait ave l’axe 4) Soit la médiatrice du segment qui le coupe en
1° Démontrer que l’équation
Déterminer les coordonnées de son centre et son rayon 2° Démontrer que les points A (3 ; 5) et B (5 ; – 1) appartiennent au cercle C 3° Déterminer une équation de la tangente en A , puis une équation de la tangente en B au cercle C 4° Déterminer les coordonnées de T le point d’intersection de ces deux tangentes
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES
Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite (,D) avec le plan de repère (" ; ⃗,(⃗) - On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite (,D) :
Applications du produit scalaire Compléments de trigonométrie
Déterminer une équation de la hauteur d issue de A Déterminer les coordonnées de l'orthocentre de ABC Exercice 6 On donne les points A(0;4), B(-3; 0) 1 Donner une équation du cercle de diamètre [AB] 2 Déterminer une équation de la tangente T à c au point B Exercice 7 Déterminer le lieu des points d'équation donnée: a x2
Fiche dexercices numéro 14 : Géométrie
1 Déterminer une équation cartésienne de D 2 Déterminer une équation cartésienne de la droite D0 parallèle à Det passant par le point B(1;1) 3 On considère la famille de droites (m) avec m: mx+ (3m 1)y+ 2 = 0 Déterminer la aleurv de mpour laquelle m est parallèlle à D Exercice 9 :
Vecteurs colinéaires 10 Déterminer une équation de chacune
2) Déterminer l’équation réduite de la droite d puis la tracer 13 Soit d la droite d’équation y 2 3 x 1 1) Déterminer parmi les vecteurs suivants, les vecteurs directeurs de la droite d tu 1p3, 22q tu 2p1, 3 q ut 3p 2,3q tu 4p 6,4q ut 5p 2 3,1q 2) Tracer d 3) Déterminer une équation cartésienne de d 14 Pour chacune des droites
a) Déterminer une équation de la droite (d)
La droite (d), parallèle à (AC) passant par le point D, coupe la droite (AB) en E a) Déterminer une équation de la droite (d) b) Déterminer les coordonnées du point E n° 2 Le plan est rapporté au repère ( O i j,, 1 Soit d la droite d’ équation Préciser son coefficient directeur et donner un de ses vecteurs directeurs 2
BEPC 2015 - Maurimath
2 a) Déterminer une équation de chacune des droites et b) Calculer les coordonnées du point E intersection des droites et 3 a) Calculer les coordonnées des vecteurs AB et DC b ) En déduire la nature du quadrilatère Exercice 5 (5 points) Une maison sous forme d’un parallélépipède rectangle surmonté d’une pyramide de hauteur
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1
REPRÉSENTATIONS PARAMÉTRIQUES
ET ÉQUATIONS CARTÉSIENNES
Le cours en vidéo : https://youtu.be/naOM6YG6DJc Partie 1 : Représentation paramétrique d'une droite Propriété : L'espace est muni d'un repère !;⃗,⃗, Soit une droite passant par un point et de vecteur directeur ⃗On a :
∈⟺ Il existe un réel tel que Ce système s'appelle une représentation paramétrique de la droite .Démonstration :
∈⟺ ⃗ et sont colinéaires ⟺Il existe un réel tel queExemple :
La droite passant par le point
1 -2 3 et de vecteur directeur ⃗ 4 5 -3 a pour représentation paramétrique : =1+4 =-2+5 =3-3 Méthode : Utiliser la représentation paramétrique d'une droiteVidéo https://youtu.be/smCUbzJs9xo
Soit les points
2 3 -1 et 1 -3 2Déterminer les coordonnées du point d'intersection de la droite () avec le plan de repère
2Correction
- On commence par déterminer une représentation paramétrique de la droite () : Un vecteur directeur de () est : 1-2 -3-3 2- -1 -1 -6 3 La droite () passe par le point 2 3 -1 Une représentation paramétrique de () est : =2- =3-6 =-1+3 - Soit le point d'intersection de la droite () avec le plan de repère Alors =0 car appartient au plan de repèreDonc -1+3=0 soit =
Et donc :
=2- 1 3 5 3 =3-6× 1 3 =1 =0Le point a donc pour coordonnées Q
5 3 1 0 R.Partie 2 : Équation cartésienne d'un plan
Propriété : L'espace est muni d'un repère orthonormé !;⃗,⃗,
Un plan de vecteur normal ⃗ non nul admet une équation de la forme +++=0, avec ∈ℝ.Réciproquement, si , et sont non tous nuls, l'ensemble des points
tels que +++=0, avec ∈ℝ, est un plan. Cette équation s'appelle équation cartésienne du plan .Démonstration au programme :
Vidéo https://youtu.be/GKsHtrImI_o
- Soit un point de . et ⃗ sont orthogonaux .⃗=0 =0 3 =0 ⟺+++=0 avec =-- Réciproquement, supposons par exemple que ≠0 (, et sont non tous nuls).
On note E l'ensemble des points
vérifiant l'équation +++=0Alors le point Q
0 0 R vérifie l'équation +++=0. Et donc ∈E.Soit un vecteur ⃗
. Pour tout point , on a : .⃗=V+W+
-0 -0E est donc l'ensemble des points
tels que .⃗=0. Donc l'ensemble E est le plan passant par et de vecteur normal ⃗.Exemple : Le plan d'équation cartésienne -+5+1=0 a pour vecteur normal ⃗
1 -1 5 Méthode : Déterminer une équation cartésienne de planVidéo https://youtu.be/s4xqI6IPQBY
Dans un repère orthonormé, déterminer une équation cartésienne du plan passant par le
point -1 2 1 et de vecteur normal ⃗ 3 -3 1Correction
Une équation cartésienne de est de la forme 3-3++=0. Le point appartient à donc ses coordonnées vérifient l'équation : 3× -1 -3×2+1+=0 donc =8. Une équation cartésienne de est donc : 3-3++8=0. Propriété : Deux plans sont perpendiculaires lorsqu'un vecteur normal de l'un est orthogonalà un vecteur normal de l'autre.
4 Méthode : Démontrer que deux plans sont perpendiculairesVidéo https://youtu.be/okvo1SUtHUc
Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :
2+4+4-3=0 et 2-5+4-1=0.
Démontrer que les plans et ′ sont perpendiculaires.Correction
Les plans et ′sont perpendiculaires si et seulement si un vecteur normal de l'un est
orthogonal à un vecteur normal de l'autre. Un vecteur normal de est ⃗ 2 4 4 et un vecteur normal de ′est ′ 2 -5 4 =2×2+4× -5 +4×4=0Les vecteurs ⃗ et ′
sont orthogonaux donc les plans et ′sont perpendiculaires.Partie 3 : Applications
Méthode : Déterminer l'intersection d'une droite et d'un planVidéo https://youtu.be/BYBMauyizhE
Dans un repère orthonormé, le plan a pour équation 2-+3-2=0.Soit
1 2 -3 et -1 2 0 a) Démontrer que la droite () et le plan sont sécants. b) Déterminer leur point d'intersection.Correction
a) Un vecteur normal de est ⃗ 2 -1 3 () et sont sécants si ⃗ et ne sont pas orthogonaux.On a :
-2 0 3Comme :
.⃗=-2×2+3×3≠0, on conclut que () et le plan ne sont pas
parallèles et donc sont sécants. b) Une représentation paramétrique de la droite () est : =1-2 =2 =-3+3 5Le point
, intersection de () et de , vérifie donc le système suivant : Z =1-2 =2 =-3+32-+3-2=0
On a donc : 2
1-2
-2+3 -3+3 -2=05-11=0 soit =
D'où :
=1-2× 11 5 17 5 =2 =-3+3× 11 5 18 5 Ainsi la droite () et le plan sont sécants en 17 5 2 18 5 Méthode : Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal d'un point sur une droiteVidéo https://youtu.be/RoacrySlUAU
Dans un repère orthonormé, on donne les points 1 0 2 -1 2 1 et 0 1 -2Déterminer les coordonnées du projeté orthogonal du point sur la droite ().
Correction
On appelle le projeté orthogonal du point sur la droite ().On a :
-2 2 -1 Une représentation paramétrique de () est : =1-2 =2 =2-Le point appartient à la droite () donc ses coordonnées vérifient les équations du
système paramétrique de ().On a ainsi :
1-2
2
2-
et donc1-2
2-1
2-+2
1-2
2-1
4-
Or,
et sont othogonaux, donc : =01-2
-22-1
×2+
4-
-1 =0 -2+4+4-2-4+=09-8=0
6 8 9Le point , projeté orthogonal du point sur la droite (), a donc pour coordonnées :
1-2×
8 9 2× 8 9 2- 8 9 7 9 16 9 10 9 Méthode : Déterminer l'intersection de deux plans - NON EXIGIBLE -Vidéo https://youtu.be/4dkZ0OQQwaQ
Dans un repère orthonormé, les plans et ′ ont pour équations respectives :
-+2+-5=0 et 2-+3-1=0.