Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en
Tableaux des dérivées et primitives et quelques formules en prime Fonction Domaine de dérivabilité Dérivée ln(x) R+; 1 x ex R ex 1 x R 1 x2 p x R+; 1 2 p x x ; 2R R+; x 1 cos(x) R sin(x)
Chapitre 9 : Fonctions dérivées
1ère Chapitre 9 : Fonctions dérivées Exercices – p 2/12 Exercice 2 Considérons la fonction f définie par : f(x)=x3–x2−x+8 On admet qu’après calculs, on a obtenu sa dérivée f', définie pour tout réel x par : f'(x)=3x2−2x−1
Formulaire de dérivées - MATHEMATIQUES
Fonction Dérivée Domaine de dérivabilité fn, n ∈ N∗ nf′fn−1 en tout réel où f est dérivable 1/f − f′ f2 en tout réel où f est dérivable et non nulle 1 fn, n ∈ N∗ − nf′ fn+1 en tout réel où f est dérivable et non nulle fn, n ∈ Z∗ nf′fn−1 √ f f′ 2 √ f en tout réel où f est dérivable et strictement
Tableaux des dérivées - mathu-bordeauxfr
Tableaux des dérivées On rappelle les dérivées des fonctions usuelles ainsi que les formules générales de dérivation Fonction Domaine de dérivabilité Dérivée
La fonction dérivée
3 1 Fonction dérivée Définition 2 : Soit une fonction f définie sur un intervalle I Si la fonction f admet un nombre dérivé en tout point de I, on dit que la fonction f est dérivable sur I La fonction, notée f′, définie sur I qui a tout x associe son nombre dérivé est appelée fonction dérivée de f
Dérivation - Mathématiques en ECS1
Lorsqu'une fonction est dérivable sur un intervalle, on peut associer à chaque x 0 son unique nombre dérivé De cette façon, on dé nit une application appeléefonction dérivée Soit f: IR Si fest dérivable sur I, alors on appellefonction dérivée de fet on note f0ou df dx, la fonction : f0: (I R x 7f0(x) Dé nition 15 3 (Fonction
Chapitre 5 Nombre dérivé et fonction dérivée
Chapitre 5 - Nombre dérivé et fonction dérivée 3 1 Nombre dérivé d'une fonction en un point Dans toute la suite de ce chapitre, f: I R désigne une fonction où Iest un intervalle et a2I C f désigne la courbe représentative de fdans le plan muni d'un repère orthonormé (O;~i;~j) 1 1 Dé nitions De nition 1
1 Nombre dérivé et tangente à une courbe
La fonction qui a tout nombre réel x de I associe f′(x)est appelée fonction dérivée de f Cette fonction est notée f′ et elle est définie sur I par f′:x → f′(x) 2 1 Dérivées des fonctions usuelles Fonction Fonction f Fonction dérivée f′ f étant dérivable sur Constante f(x)=k avec k ∈ R 0 R Identité f(x)=x 1 R
SINAMICS - Siemens
01/2011 SINAMICS Free function blocks Function Manual Valid for Drive Firmware version SINAMICS 4 4 SINAMICS DCM 1 2 (basierend auf 4 3 SP2) A5E00779137A
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Chapitre 3 : Dérivation
1 re-Spécialité mathématiques, 2019-20201. Nombre dérivé et tangente à une courbe
Soitfune fonction définie sur un intervalle I,aeta+hsont deux nombres réels de I avech?= 0.1.1. Taux de variation
Définition 1.
Letaux de variationde la fonctionfentreaeta+h(avech?= 0) est le rapportf(a+h)-f(a) h. Exemple 1.Soitfla fonctionx?→x2. Calculer le taux de variation defentre2et2 +h.1.2. Nombre dérivé d"une fonction en un point
Définition 2.
Dire que la fonctionfest dérivable enasignifie que le taux de variation defentreaeta+ha pour limite un nombre réel lorsquehtend vers0.Ce nombre réel, lorsqu"il existe est appelénombre dérivé defenaet il est notéf?(a).
Remarque 1.
Lorsquefest dérivable ena, on a ainsif?(a) = limh→0f(a+h)-f(a) h Exemple 2.On reprend la fonctionfde l"exemple 1. Calculerf?(2).1.3. Tangente à la courbe représentative d"une fonction
1.3..1 Interprétation graphique
Dans repère,Cfest la courbe représentative de la fonctionf. AetMsont les points deCfd"abscisses respectivesaeta+havech?= 0.Le taux de variationf(a+h)-f(a)
h=yM-yAxM-xAest le coefficient directeur de la droite (AM).0 1 2 3 4 5 6-10
-11 2345Cf ?A?M f(a)?f(a+h) a+h?a Dire quef(a+h)-f(a)htend versf?(a)quandhtend vers0, c"est dire que lorsque le pointMtend sur la courbeCfvers le pointA, les droites(AM)tendent vers une " position limite » : celle de la droiteTApassant parAet de coefficient directeurf?(a). Cette droite semble presque confondue avec la courbeCfau voisi- nage deA.
0 1 2 3 4 5 6-10
-11 2345Cf ?A?M TA ?a 1/5
1.3..2 Équation de la tangente
Définition 3.
Dans un repère, soitfune fonction dérivable ena. La tangenteTà la courbeCfreprésentative de la fonctionfau point Ad"abscisseaest la droite passant parAet de coefficient directeur f ?(a). Dans un repère, l"équation réduite de la tangente à la courbeCfau point d"abscisseaest y=f?(a)(x-a) +f(a)Propriété 1.?A
T 1f ?(a) ?f(a) aTangente àCf, enA
y=f?(a)(x-a) +f(a)♣Démonstration 1.La tangenteTàCfau pointA(a;f(a))a une équation de la forme :y=mx+pavecm,
p?R.Exemple 3.On reprend la fonctionfde l"exemple 1 et 2. Déterminer l"équation de la tangenteTà la courbe
représentative de la fonctionfau pointAd"abscisse2.2. Fonctions dérivées
Définition 4.
Soitfune fonction définie sur un intervalle I.
Dire quefest dérivable sur I signifie quefest dérivable en tout nombre réelxde I.La fonction qui a tout nombre réelxde I associef?(x)est appeléefonction dérivéedef. Cette fonction est
notéef?et elle est définie sur I parf?:x?→f?(x).2.1. Dérivées des fonctions usuelles
FonctionFonctionfFonction dérivéef?fétant dérivable surConstantef(x) =kaveck?R0R
Identitéf(x) =x1R
Affinef(x) =mx+pavecm,p?RmR
Carréef(x) =x22xR
Cubef(x) =x33x2R
Inversef(x) =1x(avecx?= 0)-1x2]- ∞;0[et]0;+∞[Racine carréef(x) =⎷x(avecx?0)1
2⎷x]0;+∞[
Propriété 2.
♣Démonstration 2.On suppose quea?R,a+h?Reth?= 0.Pourf(x) =x2,
f(a+h)-f(a) h= 2/5 ♣Démonstration 3.SoitD=]- ∞;0[?]0;+∞[. On suppose quea?D,a+h?Deth?= 0.Pourf(x) =1
x(x?= 0), f(a+h)-f(a) h=Remarque 2.
?La fonction racine carrée est définie en0, mais n"est pas dérivable en0. ♣Démonstration 4.Pour toutx?[0;+∞[,f(x) =⎷ xeth >0 f(0 +h)-f(0) h=2.2. Fonction dérivée de la fonctionx?→xn(n?Z)
Pour tout entier relatifn, la fonctionfdéfinie surR(surR?sinest négatif) parf(x) =xnest dérivable sur
surR(surR?sinest négatif), et on a, pour tout réelx(non nul sinest négatif)f?(x) =nxn-1.Propriété 3.
Exemple 4.Soitfla fonction définie surRparf(x) =x5. Calculer la fonction dérivée def. Exemple 5.Soitgla fonction définie surR?parg(x) =1 x7. Calculer la fonction dérivée deg.3. Dérivées et opérations
3.1. Somme et produit par un réel
Sif(x) =u(x) +v(x)oùuetvdeux fonctions dérivables sur un intervalle I, alorsfest dérivable sur I et
f ?(x) =u?(x) +v?(x).Propriété 4.
Remarque 3.On peut noter(u+v)?=u?+v?.
Exemple 6.Calculer la fonction dérivéef?de la fonctionfdéfinie surR?parf(x) =x4+1 x.Sif(x) =λu(x)oùλest un réel etuest dérivable sur un intervalle I, alorsfest dérivable sur I etf?(x) =λu?(x).
Propriété 5.
Remarque 4.On peut noter(λu)?=λu?.
Exemple 7.Calculer la fonction dérivéef?de la fonctionfdéfinie surRparf(x) = 5x3. 3/5Exemple 8.Calculer la fonction dérivéeg?de la fonctiongdéfinie sur[0;+∞[parg(x) =-4⎷x.
Définition 5.
Une fonctionfdéfinie surRest unefonction polynômesif(x)peut s"écrire comme somme de termes de la
formekxnavecn?Netk?R?. Toutes les fonctions polynômes sont dérivables surR.Propriété 6.
Exemple 9.Soit la fonctionfdéfinie parf(x) =-4x5-2x2+ 4x-9.Donner l"ensemble de définition def. En déduire son ensemble de dérivabilité, puis calculer sa dérivéef?.
3.2. Produit, inverse et quotient
Sif(x) =u(x)v(x)oùuetvdeux fonctions dérivables sur un intervalle I, alorsfest dérivable sur I et
f ?(x) =u?(x)v(x) +u(x)v?(x).Propriété 7.
Remarque 5.On peut noter(uv)?=u?v+uv?.
♣Démonstration 5.On suppose quea?I,a+h?Ieth?= 0.Pourf(x) =u(x)v(x),
f(a+h)-f(a) h=Exemple 10.Calculer la fonction dérivéef?de la fonctionfdéfinie sur[0;+∞[parf(x) =x2⎷
x.Sif(x) =1u(x)oùuest une fonction dérivable sur un intervalle I et siu(x)?= 0pour toutxde I, alors
fest dérivable sur I etf?(x) =-u?(x) (u(x))2.Sif(x) =u(x)
v(x)oùuetvdeux fonctions dérivables sur un intervalle I et siv(x)?= 0pour toutxde I, alorsfest dérivable sur I etf?(x) =u?(x)v(x)-u(x)v?(x) (v(x))2.Propriété 8.
Remarque 6.On peut noter?1
u? =-u?u2et?uv? ?=u?v-uv?v2. Exemple 11.Calculer la fonction dérivéef?de la fonctionfdéfinie surR?parf(x) =-3 2x2. 4/5 Exemple 12.Calculer la fonction dérivéeg?de la fonctiongdéfinie surRparg(x) =4x-3x2+ 2.Définition 6.
Toutes les fonctions de la formex?→u(x)
v(x)oùuetvsont des fonctions polynômes s"appellent desfonctions rationnelles. Toute fonction rationnelle est dérivable sur son ensemble de définition.Propriété 9.
Exemple 13.Soit la fonctionfdéfinie parf(x) =3x2-5 -3x2+ 4x-2.Donner l"ensemble de définition def. En déduire son ensemble de dérivabilité, puis calculer sa dérivéef?.
3.3. Fonction dérivée dex?→g(ax+b)
Sigest une fonction dérivable sur un intervalle J, et siaetbsont deux nombres réels tels que pour toutxde
I,ax+bappartient à J, alors la fonctionf:x?→g(ax+b)est dérivable sur I et, pour tout nombre réel de I,
f ?(x) =a×g?(ax+b).Propriété 10.
Exemple 14.Soit la fonctionfdéfinie sur[2;+∞[parf(x) =⎷3x-6. Déterminer l"ensemble de dérivabilité
def, puis sa fonction dérivée.3.4. Fonction valeur absoluex?→ |x|
Définition 7.
Lavaleur absolued"un nombre réelxest égale àxsixest positif, à-xsixest négatif. La valeur absolue du nombrex, notée|x|est : |x|=?xsix?0 -xsix?00 1 2 3-1-2-3-40
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