Expérimenter, Aire maximale dans un triangle

Aire maximale 1 Niveau De la seconde à la terminale 2 Situation-problème proposée Quelle est l’aire maximale d’un rectangle inscrit dans un cercle ? 3 Support utilisé Logiciel de géométrie dynamique 4 Contenu mathématique Configurations du plan Variations d’une fonction 5 Compétences mises en œuvre 5 1 Compétences

Aire minimale rectangle - Académie dOrléans-Tours

AIRE MINIMALE Fiche descriptive Niveau d’enseignement : Classe de seconde Type d’activité : Développement des compétences TICE Durée : une heure (possibilité de prolongement par un devoir en temps libre) Outils : Logiciel de géométrie dynamique plane Compétences TICE : Créer des points libres ou repérés dans le plan

Expérimenter, Aire maximale dans un triangle

1) Exprimer l’aire f (x) du rectangle ANMP en fonction d’une longueur variable nommée x 2) Si on appelle m la valeur qui semble être la valeur maximale de l’aire du rectangle ANMP, montrer que m est un maximum pour la fonction f Expérimenter, conjecturer, démontrer Aire maximale dans un triangle Aide mathématique Niveau II

FICHE : DESCRIPTION DE SÉANCES 1/2

Niveau : Seconde Titre : Aire minimale d'un polygone dans un rectangle Notion : Fonctions Objectifs : Découvrir la notion de fonction, variations Durée : 3 séances d'une heure Type d'activité : 1) problème ouvert 2) introduction Pré-requis : aire d'un rectangle, aire d'un triangle, théoèrme de Pythagore Enoncé :

Maxima - Minima - debart

1 Aire minimum d'une lunule 2 Aire maximum de deux lunules 3 Aire de l'arbelos 4 Le quadrilatère qui tourne 5 Aire et périmètre maximums d'un rectangle 6 Aire maximum d'un triangle inscrit dans un cercle 7 Aire et périmètre maximums d'un triangle 8 Fonction définie par une aire 9 Les deux cercles - Olympiades 10

35 Relations métriques et trigonométriques dans un triangle

Exemple 35 16 Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un cercle Soit C un cercle de rayon 1 cm Quelle est l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets sont sur le cercle C On note O le centre du cercle et soit I et K deux points diamétralement opposés Soit M un point mobile sur le cercle et on note x une mesure en radian de l'angle (#

NOTION DE FONCTION - Maths & tiques

Avec une ficelle de longueur 10 cm, on fabrique un rectangle On désigne par x la longueur d’un côté de ce rectangle 1) Calculer l'aire du rectangle pour x = 3 cm 2) Exprimer en fonction de x l’aire du rectangle Les dimensions du rectangle sont donc : x et 5 – x En effet : P = 2x + 2(5 – x) = 10 cm

Rectangle - Losange - Carr - Cours

Comment obtenir un rectangle ? Il suffit de « redresser » un côté de ce parallélogramme afin d’obtenir un angle droit Définition : Un rectangle est un parallélogramme qui possède un angle droit Propriétés du rectangle : Un rectangle est, d’après la définition, un parallélogramme particulier Par conséquent, un rectangle a

Exercices chap 1 barbazo

PRISE D'INITIATIVE Communiquer SoitABC un triangle tel queAB = 1 2 et tel que la hau- teur issue de C coupe [AB] en H avec CH= 6 etAH= 8 Pour chaque point M du segment [AH] on construit le rectangle MNPQ comme sur la figure ci-dessous Déterminer la position du point M pour laquelle l'aire du rectangle MNPQ est maximale et calculer cette aire

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Expérimenter,

conjecturer, démontrer

Aire maximale dans un

triangle

Fiche professeur

I. Présentation de l'activité

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Le point M est un point mobile sur le segment

[BC].

On appelle N et P les projetés orthogonaux de

M respectivement sur les segments [AB] et

[AC].

On veut déterminer pour quelle position de

M l'aire du rectangle ANMP est maximale.

II. Public/Niveau : Seconde, prolongement possible en 1

ère

III. Objectifs

Expérimenter, conjecturer et démontrer sur un problème d'optimisation. Conformément au programme officiel de seconde, cette activité aide " à poursuivre l'apprentissage d'une démarche déductive », en utilisant " les possibilités qu'offrent les logiciels de géométrie ».

IV. Pré-requis

Mathématiques :

Connaissances mobilisées des années antérieures : aire d'un rectangle, théorème de Pythagore, théorème de Thalès ou trigonométrie. Pré-requis de seconde : Exprimer une valeur en fonction d'une variable, extremum d'une fonction, triangles semblables (non indispensable).

T.I.C.E. :

Construire une figure avec un logiciel de géométrie dynamique.

V. Déroulement de l'activité

Pour l'expérimentation et la conjecture :en groupe en salle informatique, un ou deux

élèves par poste.

La construction simple de la figure sur un logiciel de géométrie dynamique avec affichage de longueurs et d'aires permet sans calcul de conjecturer rapidement la solution. Si on n'impose pas cette construction : On peut s'attendre à une accumulation d'exemples de calculs de longueurs et d'aire sur tableur ou calculatrice ; certains élèves peuvent avoir l'idée d'exprimer l'aire f(x) en fonction d'une longueur x dépendant de M et d'étudier la fonction f à l'aide de la calculatrice (table de valeurs,

graphe, ...) ou sur tableur. Cette idée ne nous paraît pas " naturelle » pour un élève si le

problème est posé en début de seconde, mais devrait être plus fréquente en fin d'année ou en

Première S.

Pour la démonstration : en classe entière.

Suivant les difficultés rencontrées, des fiches sont mises à disposition des élèves : Pour la construction une aide technique pour le logiciel choisi.

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Pour l'expérimentation une aide méthodologique (3 niveaux). Pour la démonstration par l'étude d'une fonction une aide mathématique (4 niveaux)

VI. Apport de l'outil informatique

Dans tous les cas, l'existence d'une conjecture solide change la méthode de travail pour

construire la démonstration : les élèves ne partent pas à l'aveuglette, ils ont un but clair et des

outils supplémentaires. Par exemple, conjecturer la valeur du maximum permet une démonstration

avec les outils algébriques de Seconde, en prenant un triangle particulier de dimension connues. De

plus on peut songer aussi en Seconde dans le cas général à une démonstration géométrique par

" découpage » des aires : voir ci-dessous dans les démonstrations possibles. Cette activité permet de valider des compétences du B2i dans les domaines 1 et 3 : Domaine 1 : S'approprier un environnement informatique de travail fiche élève ; Domaine 3 : Créer, produire, traiter, exploiter des données.

VII. Démonstrations et variantes

Démonstration par l'étude d'une fonction :

Dans le cas général elle comporte trop de paramètres et nous semble donc hors de portée d'un élève

moyen de seconde et même difficile à envisager en Première. En demandant la démonstration dans

un cas particulier simple, on n'enlève pas l'intérêt de l'activité.

On peut prendre par exemple AB 4 et AC 3.

En posant BM x, l'aire f(x) du rectangle ANMP est une fonction du second degré. On dispose donc des méthodes classiques en Seconde par factorisation de f(x) - m (où m est le maximum conjecturé) ou en 1

ère

S avec l'utilisation de la dérivée ou des propriétés des fonctions trinômes. On peut envisager une démonstration géométrique :

Si M est placé au milieu de [BC], il est clair que l'aire de ANMP vaut la moitié de l'aire du triangle

ABC (tracer [AM] au besoin).

Si M n'est pas au milieu de [BC], on peut montrer que l'aire de AMNP est inférieure à la moitié de l'aire du triangle ABC voir la figure ci-contre dans le cas où M est plus près de B que de C : on trace le symétrique B' de B par rapport à M. L'aire de IMNb' est la moitié de l'aire de BB'b', mais l'aire de APIb' est moins de la moitié de l'aire restante...

Notre énoncé peut être traité suivant les scénarios des activités 3 " Distance minimale dans un

triangle » et 4 " Orthogonalité dans un triangle ».

VIII. Annexes

Fiche élève ;

une aide méthodologique avec 3 niveaux ; une aide mathématique dans le cadre fonctionnel avec 4 niveaux. Fichier complémentaire disponible en téléchargement : aide technique pour la construction de la figure (aidetechniquegeogebra.doc) AB C M P N B' b' I

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Expérimenter,

conjecturer, démontrer.

Aire maximale dans un

triangle

Fiche élève

Vous devrez faire un compte rendu de votre travail qui sera évalué.

Vous travaillerez en autonomie.

En cas de besoin, vous pouvez consulter des aides de niveaux gradués (aide technique d'utilisation

du logiciel de géométrie, aide méthodologique sur la démarche à suivre ou aide mathématique).

Soit ABC un triangle rectangle en A .

Le point M est un point mobile sur le segment [BC]. On appelle N et P les projetés orthogonaux de M respectivement sur les segments [AB] et [AC].

On veut déterminer pour quelle position de M

l'aire du rectangle ANMP est maximale.

1. Faire une figure avec un logiciel de géométrie.

2. Expérimenter et conjecturer la position du point

M donnant l'aire maximale.

3. Démontrer votre conjecture.

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Expérimenter,

conjecturer, démontrer

Aire maximale dans un

triangle Aide méthodologique

Niveau I.

1. Faire une figure avec un logiciel de géométrie.

2. En étudiant plusieurs cas de figures, conjecturer la position du point M donnant l'aire

maximale.

3. Démontrer la conjecture.

Expérimenter,

conjecturer, démontrer

Aire maximale dans un

triangle Aide méthodologique

Niveau II.

1. Faire une figure avec un logiciel de géométrie.

2. En étudiant plusieurs cas de figures conjecturer la position du point M donnant l'aire

maximale : on pourra faire afficher des longueurs et aires et faire varier ce que l'on peut faire varier.

3. Démontrer la conjecture dans le cas AB 4 et AC 3.

Expérimenter,

conjecturer, démontrer

Aire maximale dans un

triangle Aide méthodologique

Niveau III.

1. Faire une figure avec un logiciel de géométrie.

2. En étudiant plusieurs cas de figures conjecturer la position du point M donnant l'aire

maximale : on pourra faire afficher la longueur du segment [BM] et l'aire du rectangle AMNP ; puis déplacer le point M sur le segment [BC].

3. Démontrer la conjecture dans le cas AB 4 et AC 3.

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Expérimenter,

conjecturer, démontrer

Aire maximale dans un

triangle Aide mathématique

Niveau I.

1) Exprimer l'aire

fx du rectangle ANMP en fonction d'une longueur variable nommée x.

2) Si on appelle m la valeur qui semble être la valeur maximale de l'aire du rectangle ANMP,

montrer que m est un maximum pour la fonction f.

Expérimenter,

conjecturer, démontrer

Aire maximale dans un

triangle Aide mathématique

Niveau II.

1) On pose BM x. Exprimer l'aire

fx du rectangle ANMP en fonction de x.

2) Si on appelle m la valeur qui semble être la valeur maximale de l'aire du rectangle ANMP,

montrer que m est un maximum pour la fonction f , c'est à dire que pour tout x de ]0 ; 5[ on a fxm.

Expérimenter,

conjecturer, démontrer

Aire maximale dans un

triangle Aide mathématique

Niveau III.

1) On pose BM x. Exprimer MN, NB puis AN en fonction de x. En déduire l'aire

fx du rectangle ANMP en fonction de x.

2) Si on appelle m la valeur qui semble être la valeur maximale de l'aire du rectangle ANMP,

montrer que m est un maximum pour la fonction f, c'est à dire que pour tout x de ]0 ; 5[, fxm (on pourra pour cela étudier le signe de la différencefxm).

Expérimenter,

conjecturer, démontrer

Aire maximale dans un

triangle Aide mathématique

Niveau IV.

1) On pose BM x. Exprimer MN, NB puis AN en fonction de x. En déduire l'aire

fxdu rectangle ANMP en fonction de x (on pourra utiliser le théorème de Thalès, les triangles semblables ou la trigonométrie).

2) Si on appelle m la valeur qui semble être la valeur maximale de l'aire du rectangle ANMP,

montrer que m est un maximum pour la fonction f, c'est à dire que pour tout x de ]0 ; 5[, fxm. On pourra pour cela étudier le signe de la différence fxm (on essaiera de factoriser cette dernière expression à l'aide d'une identité remarquable).quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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Aire maximale dans un

Fiche professeur

I. Présentation de l'activité

Soit ABC un triangle rectangle en A.

Le point M est un point mobile sur le segment

On appelle N et P les projetés orthogonaux de

M respectivement sur les segments [AB] et

On veut déterminer pour quelle position de

M l'aire du rectangle ANMP est maximale.

ère

III. Objectifs

IV. Pré-requis

Mathématiques :

T.I.C.E. :

V. Déroulement de l'activité

élèves par poste.

Première S.

Pour la démonstration : en classe entière.

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VI. Apport de l'outil informatique

VII. Démonstrations et variantes

Démonstration par l'étude d'une fonction :

On peut prendre par exemple AB 4 et AC 3.

ère

ABC (tracer [AM] au besoin).

VIII. Annexes

Fiche élève ;

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Aire maximale dans un

Fiche élève

Vous travaillerez en autonomie.

Soit ABC un triangle rectangle en A .

On veut déterminer pour quelle position de M

1. Faire une figure avec un logiciel de géométrie.

2. Expérimenter et conjecturer la position du point

M donnant l'aire maximale.

3. Démontrer votre conjecture.

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Expérimenter,

Aire maximale dans un

Niveau I.

1. Faire une figure avec un logiciel de géométrie.

2. En étudiant plusieurs cas de figures, conjecturer la position du point M donnant l'aire

3. Démontrer la conjecture.

Expérimenter,

Aire maximale dans un

Niveau II.

1. Faire une figure avec un logiciel de géométrie.

2. En étudiant plusieurs cas de figures conjecturer la position du point M donnant l'aire

3. Démontrer la conjecture dans le cas AB 4 et AC 3.

Expérimenter,

Aire maximale dans un

Niveau III.

1. Faire une figure avec un logiciel de géométrie.

2. En étudiant plusieurs cas de figures conjecturer la position du point M donnant l'aire

3. Démontrer la conjecture dans le cas AB 4 et AC 3.

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Expérimenter,

Aire maximale dans un

Niveau I.

1) Exprimer l'aire

2) Si on appelle m la valeur qui semble être la valeur maximale de l'aire du rectangle ANMP,

Expérimenter,

Aire maximale dans un

Niveau II.

1) On pose BM x. Exprimer l'aire