FICHE : DESCRIPTION DE SÉANCES 1/2

Aire maximale 1 Niveau De la seconde à la terminale 2 Situation-problème proposée Quelle est l’aire maximale d’un rectangle inscrit dans un cercle ? 3 Support utilisé Logiciel de géométrie dynamique 4 Contenu mathématique Configurations du plan Variations d’une fonction 5 Compétences mises en œuvre 5 1 Compétences

Aire minimale rectangle - Académie dOrléans-Tours

AIRE MINIMALE Fiche descriptive Niveau d’enseignement : Classe de seconde Type d’activité : Développement des compétences TICE Durée : une heure (possibilité de prolongement par un devoir en temps libre) Outils : Logiciel de géométrie dynamique plane Compétences TICE : Créer des points libres ou repérés dans le plan

Expérimenter, Aire maximale dans un triangle

1) Exprimer l’aire f (x) du rectangle ANMP en fonction d’une longueur variable nommée x 2) Si on appelle m la valeur qui semble être la valeur maximale de l’aire du rectangle ANMP, montrer que m est un maximum pour la fonction f Expérimenter, conjecturer, démontrer Aire maximale dans un triangle Aide mathématique Niveau II

FICHE : DESCRIPTION DE SÉANCES 1/2

Niveau : Seconde Titre : Aire minimale d'un polygone dans un rectangle Notion : Fonctions Objectifs : Découvrir la notion de fonction, variations Durée : 3 séances d'une heure Type d'activité : 1) problème ouvert 2) introduction Pré-requis : aire d'un rectangle, aire d'un triangle, théoèrme de Pythagore Enoncé :

Maxima - Minima - debart

1 Aire minimum d'une lunule 2 Aire maximum de deux lunules 3 Aire de l'arbelos 4 Le quadrilatère qui tourne 5 Aire et périmètre maximums d'un rectangle 6 Aire maximum d'un triangle inscrit dans un cercle 7 Aire et périmètre maximums d'un triangle 8 Fonction définie par une aire 9 Les deux cercles - Olympiades 10

35 Relations métriques et trigonométriques dans un triangle

Exemple 35 16 Aire maximale d'un rectangle inscrit dans un cercle Soit C un cercle de rayon 1 cm Quelle est l'aire maximale d'un rectangle dont les sommets sont sur le cercle C On note O le centre du cercle et soit I et K deux points diamétralement opposés Soit M un point mobile sur le cercle et on note x une mesure en radian de l'angle (#

NOTION DE FONCTION - Maths & tiques

Avec une ficelle de longueur 10 cm, on fabrique un rectangle On désigne par x la longueur d’un côté de ce rectangle 1) Calculer l'aire du rectangle pour x = 3 cm 2) Exprimer en fonction de x l’aire du rectangle Les dimensions du rectangle sont donc : x et 5 – x En effet : P = 2x + 2(5 – x) = 10 cm

Rectangle - Losange - Carr - Cours

Comment obtenir un rectangle ? Il suffit de « redresser » un côté de ce parallélogramme afin d’obtenir un angle droit Définition : Un rectangle est un parallélogramme qui possède un angle droit Propriétés du rectangle : Un rectangle est, d’après la définition, un parallélogramme particulier Par conséquent, un rectangle a

Exercices chap 1 barbazo

PRISE D'INITIATIVE Communiquer SoitABC un triangle tel queAB = 1 2 et tel que la hau- teur issue de C coupe [AB] en H avec CH= 6 etAH= 8 Pour chaque point M du segment [AH] on construit le rectangle MNPQ comme sur la figure ci-dessous Déterminer la position du point M pour laquelle l'aire du rectangle MNPQ est maximale et calculer cette aire

Niveau : SecondeTitre :

Aire minimale d'un polygone dans un

rectangleNotion : Fonctions Objectifs : Découvrir la notion de fonction, variationsDurée : 3 séances d'une heure Type d'activité : 1) problème ouvert 2) introduction Pré-requis : aire d'un rectangle, aire d'un triangle, théoèrme de Pythagore. Enoncé :ABCD est un rectangle de dimensions AB = 5 et AD = 3 (unité de longueur : 1 cm). On place les points M, N, P et Q sur les côtés du rectangle tels que AM = BN = CP = DQ. Pour quelle position du point M, l'aire du polygone MNPQ est-elle minimale ? (Lorsque cette question est totalement traitée on change les dimensions du rectangle : AB = 10 et

AD = 5.)

Source : énoncé utilisé dans de nombreux manuels

Déroulement :Lors de la première séance d'une heure les élèves cherchent individuellement des méthodes pour

répondre à la question jusqu'à ce que la proposition d'utiliser une formule émerge.

La recherche de la formule est collective.

Les élèves testent pour la séance suivante quelques valeurs.

Lors de la deuxième séance d'une heure il y a une mise en commun des résultats obtenus pour les

valeurs testées puis débat sur ce qu'il faut penser de ces résultats.

Passage à l'autre énoncé.

Lors de la troisième séance d'une heure on termine l'exploitation du deuxième énoncé et on note la

synthèse dans le cahier de cours. Commentaires :Spontanément tous les élèves ont produit une figure.

Après un temps de réflexion individuelle certains élèves pensent que l'aire de MNPQ reste toujours

la même, d'autres répondent que l'aire varie et enfin certains pensent qu'on ne peut pas savoir.

Après confrontation des arguments, tous les élèves reconnaissent que l'aire du polygone MNPQ

varie en fonction de la position de M.

Après un deuxième temps de recherche individuelle, certains élèves cherchent des positions

particulières comme le milieu du segment [AB], d'autres font plusieurs figures avec des positions différentes pour le point M. FICHE : DESCRIPTION DE SÉANCESFICHE : DESCRIPTION DE SÉANCES22//22

Après plusieurs minutes de recherche certains décident de faire des calculs d'aires pour différentes

valeurs de AM.

Après plusieurs calculs, une élève demande alors si on a le droit d'utiliser x à la place d'une valeur.

Un élève propose de calculer l'aire du polygone MNPQ en fonction de x.

•l'expression trouvée va permettre de faire des calculs plus rapidement et ainsi de tester un

plus grand nombre de valeurs, •encore faut-il ne pas prendre n'importe quoi comme valeur pour x : on parle alors d'ensemble de définition. Pour garder une trace de toutes les valeurs testées, on les consigne dans un tableau de valeurs.

D'après le tableau de valeurs, les élèves pensent que le minimum est atteint lorsque AM = 2 et il

vaut alors 7 cm², •parce qu'on ne trouve pas de valeur plus petite que 7 dans le tableau,

•parce qu'on a essayé beaucoup de valeurs autour de 2 et que l'aire est toujours supérieure à

7. Le professeur pose ensuite le deuxième problème avec les dimensions 10 et 5.

Même si tous les élèves ne cherchent pas spontanément une formule, c'est la méthode choisie par

la majorité.

En remplissant un tableau de valeurs les élèves obtiennent des résultats qui les interpellent :

x01,522,533,544,555,56 f(x)5043373228252322222325 •La plus petite valeur obtenue est 22 mais elle est obtenue deux fois, •on va chercher à être plus précis dans notre tableau. x3,53,63,73,83,94 f(x)2221,9221,8821,8821,9222 •Le problème reste le même. Les certitudes des élèves sont remises en cause. Pour le moment on peut se contenter d'un encadrement mais il faut d'autres outils pour affiner notre réponse.

Cette activité nous a permis :

➢de revoir du vocabulaire : fonction, ensemble de définition, image, antécédent, tableau de valeurs, courbe représentative, ➢de parler de sens de variation, de minimum, de maximum,

Cette activité a montré :

➢la nécessité d'utiliser une fonction pour faciliter la recherche, ➢le besoin d'avoir de nouveaux outils pour résoudre le problème.quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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Fiche professeur Aire maximale

Aire minimale rectangle - Académie dOrléans-Tours

Expérimenter, Aire maximale dans un triangle

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Maxima - Minima - debart

35 Relations métriques et trigonométriques dans un triangle

NOTION DE FONCTION - Maths & tiques

Rectangle - Losange - Carr - Cours

Exercices chap 1 barbazo

Niveau : SecondeTitre :

Aire minimale d'un polygone dans un

AD = 5.)

La recherche de la formule est collective.

Passage à l'autre énoncé.

Cette activité nous a permis :

Cette activité a montré :