1 Opérations sur les polynômes

0 avec l’une des méthode suivantes : 1 à partir de la relation de Bézout entre (X 1)4 et (X +1)4; 2 en considérant le polynôme dérivé P0 0 et en cherchant un polynôme de degré minimal Montrer que P convient si et seulement si le polynôme P P 0 est divisible par (X 1)4(X +1)4, et en déduire toutes les solutions du problème

cours, examens

Classification des EDP 2 1 Equations paraboliques 2 2 Equations hyperboliques Obiectifs: Les objectifs de ce chapitre sont Reconnaitre les différents types d'EDP Pouvoir résoudre certaines EDP élémentaires par la méthode des séparations des variables et les transformées de Fourier Contenu de l'enseignement :

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un premier cours d’algèbre linéaire, on peut déjà sentir l’intérêt de l’algèbre linéaire : celle-ci permet d’uniﬁer des problèmes et des situations à priori très diﬀérentes, en donnant un cadre général dans lequel ces problèmes vont avoir le même aspect Une telle démarche est fondamentale dans les mathématiques

MATH-S-101 Mathématique générale : analyse et algèbre linéaire

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et donc I prend des valeurs arbitrairement grandes Ceci montre ﬁnalement que I(E) = [(b −a)2,+∞[ Produit scalaire sur Mn(R) Montrer que hA,Bi = tr(ATB) d´eﬁnit un produit scalaire sur Mn(R), et que la norme associ´ee v´eriﬁe kABk ≤ kAkkBk Solution Pour A = (ai,j) et B = (bi,j), le coeﬃcient en position (i,j) de AB est Xn k

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Polynômes

Corrections de Léa Blanc-Centi.

1 Opérations sur les polynômes

Exercice 1Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel que :

P(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:

Exercice 21.Ef fectuerla di visioneuclidienne de AparB: (a)A=3X5+4X2+1;B=X2+2X+3 (b)A=3X5+2X4X2+1;B=X3+X+2 (c)A=X4X3+X2;B=X22X+4 (d)A=X57X4X29X+9;B=X25X+4 2.

Ef fectuerla di visionselon les puissances croissantes de AparBà l"ordrek(c"est-à-dire tel que le reste

soit divisible parXk+1) : (a)A=12X+X3+X4;B=1+2X+X2;k=2 (b)A=1+X32X4+X6;B=1+X2+X3;k=4 À quelle condition sura;b;c2Rle polynômeX4+aX2+bX+cest-il divisible parX2+X+1 ? 1. Déterminer les pgcd des polynômes sui vants: (a)X3X2X2 etX52X4+X2X2 (b)X4+X32X+1 etX3+X+1 (c)X5+3X4+X3+X2+3X+1 etX4+2X3+X+2 (d)nXn+1(n+1)Xn+1 etXnnX+n1 (n2N) 1

2.Calculer le pgcd Ddes polynômesAetBci-dessous. Trouver des polynômesUetVtels queAU+BV=

D. (a)A=X5+3X4+2X3X23X2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 (b)A=X62X5+2X43X3+3X22X etB=X42X3+X2X+1 1.

Montrer que si AetBsont deux polynômes à coefficients dansQ, alors le quotient et le reste de la division

euclidienne deAparB, ainsi que pgcd(A;B), sont aussi à coefficients dansQ. 2. Soit a;b;c2Cdistincts, et 0F actoriserles polynômes sui vants: a)X2+(3i1)X2i b)X3+(4+i)X2+(52i)X+23i Pour quelles valeurs deale polynôme(X+1)7X7aadmet-il une racine multiple réelle? Chercher tous les polynômesPtels queP+1 soit divisible par(X1)4etP1 par(X+1)4.

Indications.Commencer par trouver une solution particulièreP0avec l"une des méthode suivantes :

1. à partir de la relation de Bézout entre (X1)4et(X+1)4; 2. en considérant le polynôme déri véP00et en cherchant un polynôme de degré minimal.

Montrer quePconvient si et seulement si le polynômePP0est divisible par(X1)4(X+1)4, et en déduire

toutes les solutions du problème. Quels sont les polynômesP2C[X]tels queP0diviseP? 2

Exercice 10

Trouver tous les polynômesPqui vérifient la relation

P(X2) =P(X)P(X+1)

Soitn2N. Montrer qu"il existe un uniqueP2C[X]tel que 8z2CP z+1z =zn+1z n

Montrer alors que toutes les racines dePsont réelles, simples, et appartiennent à l"intervalle[2;2].

1. Soit P=Xn+an1Xn1++a1X+a0un polynôme de degrén>1 à coefficients dansZ. Démontrer que siPadmet une racine dansZ, alors celle-ci divisea0. 2. Les polynômes X3X2109X11 etX10+X5+1 ont-ils des racines dansZ? Soienta0;:::;andes réels deux à deux distincts. Pour touti=0;:::;n, on pose L i(X) =Õ 16j6n j6=iXaja iaj (lesLisont appeléspolynômes interpolateurs de Lagrange). CalculerLi(aj).

Soientb0;:::;bndes réels fixés. Montrer queP(X) =åni=0biLi(X)est l"unique polynôme de degré inférieur ou

égal ànqui vérifie:

P(aj) =bjpour toutj=0;:::;n:

Application.Trouver le polynômePde degré inférieur ou égal à 3 tel que

P(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:

Indication pourl"exer cice4 NLe calcul du pgcd se fait par l"algorithme d"Euclide, et la "remontée" de l"algorithme permet d"obtenirUetV.Indication pourl"exer cice5 NCalculer pgcd(P;P0).Indication pourl"exer cice9 NSiP=P0QavecP6=0, regarder le degré deQ.Indication pourl"exer cice10 NMontrer que siPest un polynôme non constant vérifiant la relation, alors ses seules racines possibles sont 0 et

1.Indication pourl"exer cice11 NPour l"existence, preuve par récurrence surn. Pour les racines, montrer queP(x) =2cos(narccos(x=2)).4

Correction del"exer cice1 NOn cherchePsous la formeP(X) =aX3+bX2+cX+d, ce qui donne le système linéaire suivant à résoudre:

8>>< >:d=1 a+b+c+d=0 a+bc+d=2

8a+4b+2c+d=4

Après calculs, on trouve une unique solution :a=32 ,b=2,c=12 ,d=1 c"est-à-dire

P(X) =32

X32X212

X+1:Correction del"exer cice2 N1.(a) 3 X5+4X2+1= (X2+2X+3)(3X36X2+3X+16)41X47 (b)

3 X5+2X4X2+1= (X3+X+2)(3X2+2X3)9X2X+7

(c)X4X3+X2= (X22X+4)(X2+X2)7X+6 (d)X57X4X29X+9 = (X25X+4)(X32X214X63)268X+261 2. (a)

1 2X+X3+X4= (1+2X+X2)(14X+7X2)+X3(96X)

(b)

1 +X32X4+X6= (1+X2+X3)(1X2X4)+X5(1+2X+X2)Correction del"exer cice3 NLa division euclidienne deA=X4+aX2+bX+cparB=X2+X+1 donne

4+aX2+bX+c= (X2+X+1)(X2X+a)+(ba+1)X+ca

OrAest divisible parBsi et seulement si le resteR= (ba+1)X+caest le polynôme nul, c"est-à-dire si

et seulement siba+1=0 etca=0.Correction del"exer cice4 N1.L "algorithmed"Euclide permet de calculer le pgcd par une suite de di visionseuclidiennes.

(a)X52X4+X2X2= (X3X2X2)(X2X)+2X23X2 puisX3X2X2= (2X23X2)(12 X+14 )+34 X32 puis 2X23X2= (34 X32 )(83 X+43 Le pgcd est le dernier reste non nul, divisé par son coefficient dominant: pgcd(X3X2X2;X52X4+X2X2) =X2 (b)X4+X32X+1= (X3+X+1)(X+1)X24X puisX3+X+1= (X24X)(X+4)+17X+1 donc pgcd(X4+X32X+1;X3+X+1) =pgcd(X24X;17X+1) =1 carX24Xet 17X+1 n"ont pas de racine (même complexe) commune. 5 (c)X5+3X4+X3+X2+3X+1= (X4+2X3+X+2)(X+1)X31 puisX4+2X3+X+2= (X31)(X2)+2X3+2 pgcd(X5+3X4+X3+X2+3X+1;X4+2X3+X+2) =X3+1 (d)nXn+1(n+1)Xn+1 = (XnnX+n1)(nX(n+1))+n2(X1)2 Sin=1 alorsXnnX+n1=0 et le pgcd vaut(X1)2. On constate que 1 est racine de X nnX+n1, et on trouveXnnX+n1= (X1)(Xn1+Xn2++X2+X(n1)). Sin>2: 1 est racine deXn1+Xn2++X2+X(n1)et on trouve X n1+Xn2++X2+X(n1) = (X1)(Xn2+2Xn3++(n1)X2+nX+(n+1)), donc finalement(X1)2divise X nnX+n1 (on pourrait aussi remarquer que 1 est racine de multiplicité au moins deux de X nnX+n1, puisqu"il est racine de ce polynôme et de sa dérivée). Ainsi sin>2;pgcd(nXn+1(n+1)Xn+1;XnnX+n1) = (X1)2 2. (a) A=X5+3X4+2X3X23X2 etB=X4+2X3+2X2+7X+6 doncA=BQ1+R1avecQ1=X+1,R1=2X310X216X8 puisB=R1Q2+R2avecQ2=12 X+32 etR2=9X2+27X+18 et enfinR1=R2Q3avecQ3=29 X49

DoncD=X2+3X+2, et on obtient

9D=BR1Q2=B(ABQ1)Q2=AQ2+B(1+Q1Q2)

soit U=19 (Q2) =118 X16 V=19 (1+Q1Q2) =118 X2+19 X+518 (b)

On a A=BQ1+R1avecQ1=X2+1,R1=X2X1

puisB=R1Q2+R2avecQ2=X2X+1 etR2=X+2 et enfinR1=R2Q3+R3avecQ3=X1 etR3=1

DoncD=1, et on obtient

1=R1R2Q3=R1(BR1Q2)Q3=R1(1+Q2Q3)BQ3

= (ABQ1)(1+Q2Q3)BQ3 =A(1+Q2Q3)B(Q1(1+Q2Q3)+Q3) soit

U=1+Q2Q3=X3

V=Q1(1+Q2Q3)Q3=1+X+X3+X5Correction del"exer cice5 N1.Lorsqu"on ef fectuela di visioneuclidienne A=BQ+R, les coefficients deQsont obtenus par des

opérations élémentaires (multiplication, division, addition) à partir des coefficients deAetB: ils restent

donc dansQ. De plus,R=ABQest alors encore à coefficients rationnels. Alorspgcd(A;B)=pgcd(B;R)etpourl"obtenir, onfaitladivisioneuclidiennedeBparR(dontlequotient

et le reste sont encore à coefficients dansQ), puis on recommence... Le pgcd est le dernier reste non nul,

c"est donc encore un polynôme à coefficients rationnels. 6

2.Notons P1=pgcd(P;P0): commePest à coefficients rationnels,P0aussi et doncP1aussi. OrP1(X) =

(Xa)p1(Xb)q1(Xc)r1. En itérant le processus, on obtient quePr1(X) = (Xc)est à coefficients rationnels, doncc2Q. On remonte alors les étapes:Pq1(X) = (Xb)(Xc)rq+1est à coefficients rationnels, etXbaussi en tant que quotient dePq1par le polynôme à coefficients rationnels(Xc)rq+1, doncb2Q. De

même, en considérantPp1, on obtienta2Q.Correction del"exer cice6 N1.(a) X33= (X31=3)(X2+31=3X+32=3)oùX2+31=3X+32=3est irréductible surR. On cherche

ses racines complexes pour obtenir la factorisation surC: X

33= (X31=3)(X+12

31=3i2

35=6)(X+12

31=3+i2

35=6)
(b) P assonsà X121.z=reiqvérifiez12=1 si et seulement sir=1 et 12q0[2p], on obtient donc comme racines complexes leseikp=6(k=0;:::;11), parmi lesquelles il y en a deux réelles (1 et 1) et cinq couples de racines complexes conjuguées (eip=6ete11ip=6,e2ip=6ete10ip=6,e3ip=6ete9ip=6, e

4ip=6ete8ip=6,e5ip=6ete7ip=6), d"où la factorisation surC[X]:

121= (X1)(X+1)(Xeip=6)(Xe11ip=6)(Xe2ip=6)

(Xe10ip=6)(Xe3ip=6)(Xe9ip=6)(Xe4ip=6) (Xe8ip=6)(Xe5ip=6)(Xe7ip=6) Comme(Xeiq)(Xeiq) = (X22cos(q)X+1), on en déduit la factorisation dansR[X]: X

121= (X1)(X+1)(X22cos(p=6)X+1)

(X22cos(2p=6)X+1)(X22cos(3p=6)X+1) (X22cos(4p=6)X+1)(X22cos(5p=6)X+1) = (X1)(X+1)(X2p3X+1) (X2X+1)(X2+1)(X2+X+1)(X2+p3X+1) (c) Pour X6+1,z=reiqvérifiez6=1 si et seulement sir=1 et 6qp[2p], on obtient donc comme racines complexes lesei(p+2kp)=6(k=0;:::;5). D"où la factorisation dansC[X]: X

6+1= (Xeip=6)(Xe3ip=6)(Xe5ip=6)(Xe7ip=6)

(Xe9ip=6)(Xe11ip=6) Pour obtenir la factorisation dansR[X], on regroupe les paires de racines complexes conjuguées : X

6+1= (X2+1)(X2p3X+1)(X2+p3X+1)

(d)X9+X6+X3+1=P(X3)oùP(X) =X3+X2+X+1=X41X1: les racines dePsont donc les trois racines quatrièmes de l"unité différentes de 1 (i,i,1) et X

9+X6+X3+1=P(X3)

= (X3+1)(X3i)(X3+i) = (X3+1)(X6+1) On sait déjà factoriserX6+1, il reste donc à factoriser le polynômeX3+1= (X+1)(X2X+1), oùX2X+1 n"a pas de racine réelle. Donc X

9+X6+X3+1= (X+1)(X2X+1)(X2+1)

(X2p3X+1)(X2+p3X+1) Pour la factorisation surC: les racines deX2X+1 sonteip=3ete5ip=3, ce qui donne X

9+X6+X3+1= (X+1)(Xeip=3)(Xe5ip=3)

(Xeip=6)(Xe3ip=6)(Xe5ip=6) (Xe7ip=6)(Xe9ip=6)(Xe11ip=6) 7

2.(a) Pour X2+(3i1)X2i, on calcule le discriminant

D= (3i1)24(2i) =2i

et on cherche les racines carrées (complexes!) deD:w=a+ibvérifiew2=Dsi et seulement si w=1iouw=1+i. Les racines du polynômes sont donc12 ((3i1)(1i))etP(X) = (X+i)(X1+2i). (b) Pour X3+(4+i)X2+(52i)X+23i:1 est racine évidente, etP(X) = (X+1)(X2+(3+ i)X+23i). Le discriminant du polynômeX2+(3+i)X+23ivautD=18i, ses deux racines

carrées complexes sont(3+3i)et finalement on obtientP(X) = (X+1)(Xi)(X+3+2i).Correction del"exer cice7 NSoitx2R;xest une racine multiple dePsi et seulement siP(x) =0 etP0(x) =0:

P(x) =P0(x)0()(x+1)7x7a=0

7(x+1)67x6=0

()(x+1)x6x7a=0 en utilisant la deuxième équation (x+1)6=x6 ()x6=a (x+1)3=x3en prenant la racine carrée ()x6=a x+1=xen prenant la racine cubique qui admet une solution (x=12 ) si et seulement sia=164

.Correction del"exer cice8 N1.On remarque que si Pest solution, alorsP+1= (X1)4Aet par ailleursP1= (X+1)4B, ce qui

donne 1=A2 (X1)4+B2 (X+1)4. Cherchons des polynômesAetBqui conviennent: pour cela, on écrit la relation de Bézout entre(X1)4et(X+1)4qui sont premiers entre eux, et on obtient A2 =532 X3+58

X2+2932

X+12 B2 =532 X3+58

X22932

X+12

On a alors par construction

(X1)4A1=2

1+(X+1)4B2

=1+(X+1)4B etP0= (X1)4A1 convient. En remplaçant, on obtient après calculs : P 0=516

X72116

X5+3516

X33516

X 2. Si (X1)4diviseP+1, alors 1 est racine de multiplicité au moins 4 deP+1, et donc racine de multiplicité au moins 3 deP0: alors(X1)3diviseP0. De même(X+1)3diviseP0. Comme(X1)3 et(X+1)3sont premiers entre eux, nécessairement(X1)3(X+1)3diviseP0. Cherchons un polynôme de degré minimal : on remarque que les primitives de l(X1)3(X+1)3=l(X21)3=l(X63X4+3X21) 8 sont de la formeP(X)=l(17 X735 X5+X3X+a). SiPconvient, nécessairement 1 est racine deP+1 et1 est racine deP1, ce qui donnel(1635 +a) =1 etl(1635 +a) =1. D"oùla=0 et comme on cherchePnon nul, il fauta=0 etl=3516 . On vérifie que P

0(X) =3516

(17 X735

X5+X3X) =516

X72116

X5+3516

X33516

est bien solution du problème: le polynômeA=P0+1 admet 1 comme racine, i.e.A(1)=0, et sa dérivée

admet 1 comme racine triple doncA0(1)=A00(1)=A000(1)=0, ainsi 1 est racine de multiplicité au moins

4 deAet donc(X1)4diviseA=P+1. De même,(X+1)4diviseP1.

Supposons quePsoit une solution du problème. On note toujoursP0la solution particulière obtenue ci-dessus.

AlorsP+1 etP0+1 sont divisibles par(X1)4, etP1 etP01 sont divisibles par(X+1)4. AinsiP P

0= (P+1)(P0+1) = (P1)(P01)est divisible par(X1)4et par(X+1)4. Comme(X1)4et

(X+1)4sont premiers entre eux, nécessairementPP0est divisible par(X1)4(X+1)4. Réciproquement, siP=P0+(X1)4(X+1)4A, alorsP+1 est bien divisible par(X1)4etP1 est divisible par(X+1)4. Ainsi les solutions sont exactement les polynômes de la forme P

0(X)+(X1)4(X+1)4A(X)

oùP0est la solution particulière trouvée précédemment, etAun polynôme quelconque.Correction del"exer cice9 NLe polynôme nul convient. Dans la suite on suppose quePn"est pas le polynôme nul.

Notonsn=degPson degré. CommeP0diviseP, alorsPest non constant, doncn>1. SoitQ2C[X]tel que P=P0Q. Puisque deg(P0) =deg(P)1>0, alorsQest de degré 1. AinsiQ(X) =aX+baveca6=0, et donc

P(X) =P0(X)(aX+b) =aP0(X)(X+ba

Donc siz6=ba

et sizest racine dePde multipliciték>1, alorszest aussi racine deP0avec la même multiplicité, ce qui est impossible. Ainsi la seule racine possible dePestba Réciproquement, soitPun polynôme avec une seule racinez02C: il existel6=0,n>1 tels queP=

l(Xz0)n, qui est bien divisible par son polynôme dérivé.Correction del"exer cice10 NSiPest constant égal àc, il convient si et seulement sic=c2, et alorsc2 f0;1g.

Dans la suite on supposePnon constant. NotonsZl"ensemble des racines deP. On sait queZest un ensemble

non vide, fini.

Analyse

Siz2Z, alorsP(z) =0 et la relationP(X2) =P(X)P(X+1)impliqueP(z2) =0, doncz22Z. En itérant, on obtientz2k2Z(pour toutk2N). Sijzj>1, la suite(jz2kj)kest strictement croissante doncZcontient une

infinité d"éléments, ce qui est impossible. De même si 0

ce qui est impossible pour la même raison. Donc les éléments deZsont soit 0, soit des nombres complexes de

module 1. De plus, siP(z) =0, alors toujours par la relationP(X2) =P(X)P(X+1), on a queP((z1)2) =0 donc (z1)22Z. Par le même raisonnement que précédemment, alors ou bienz1=0 ou bienjz1j=1. Enécrivantz=a+ib, on vérifiequejzj=jz1j=1équivaut àz=eip=3. Finalement,Z0;1;eip=3;eip=3.

Or sieip=3était racine deP, alors(eip=3)2devrait aussi être dansZ, mais ce n"est aucun des quatre nombres

complexes listés ci-dessus. Donc nieip=3, nieip=3ne sont dansZ. Les deux seules racines (complexes)

possibles sont donc 0 et 1. Conclusion : le polynômePest nécessairement de la formelXk(X1)`.

Synthèse

La conditionP(X2) =P(X)P(X+1)devient

lX2k(X21)`=l2Xk(X1)`(X+1)kX` 9 qui équivaut à 8 :l 2=l

2k=k+`

k=`. Autrement ditk=`etl=1 (puisqu"on a supposéPnon constant).

ConclusionFinalement, les solutions sont le polynôme nul et les polynômes(X2X)k,k2N(k=0 donne le

polynôme 1).Correction del"exer cice11 N1.Commençons par remarquer que si PetQsont deux polynômes qui conviennent, alors pour toutz2C,

Pz+1z Qz+1z =0. En appliquant cette égalité àz=eiq, on obtient(PQ)(2cosq) =0. Le polynômePQa une infinité de racines, donc il est nul, ce qui montreP=Q. 2. Montrons l"e xistencede Ppar récurrence forte surn:

Pour n=0,P=2 convient et pourn=1,P=Xconvient.

P assagedes rangs k6nau rangn+1. Si on notePkle polynôme construit pourk6n, on a z n+1+1z n+1= (z+1z )(zn+1z n)(zn1+1z n1) = (z+1z )Pn(z+1z )Pn1(z+1z doncPn+1(X) =XPn(X)Pn1(X)convient.

On a ainsi construit Pnpour toutn(avec degPn=n).

3. Fixons netnotonsPlepolynômeobtenu. Pourtoutq2R,P(eiq+eiq)=einq+einqdoncP(2cos(q))=

2cos(nq).

En posantx=2cos(q)et doncq=arccos(x2

)on obtient la relation Ainsi,

P(x) =2cos(narccos(x2

))8x2[2;2]

Le polynôme dérivée estP0(x) =np1(x2

)2sin(narccos(x2 )), il s"annule en changeant de signe en chaque a k=2cos(kpn ), ainsiP0(ak) =0 pourk=0;:::;n. On calcule aussi queP(ak) =2. Le tableau de signe montre quePest alternativement croissante (de

2 à+2) puis décroissante (de+2 à2) sur chaque intervalle[ak+1;ak], qui forment une partition de

[2;2]. D"après le théorème des valeurs intermédiaires,Ppossèdenracines simples (une dans chaque

intervalle[ak+1;ak]) dans[2;2]. PuisquePest de degrén, on a ainsi obtenu toutes ses racines.Correction del"exer cice12 N1.Si k2Zest racine deP, alorskn+an1kn1++a1k=a0ce qui donnek(kn1++a1) =a0,

donckdivisea0. 2. Si X3X2109X11 a une racinek2Z, nécessairementkdivise 11, donckvaut1, 1,11 ou 11. En testant ces quatre valeurs, on trouve que seul 11 est racine. De même, siX10+X5+1 admettait une racine entièrek, celle-ci diviserait 1 donc vautk=1, or on

vérifie que ni+1, ni1 ne sont racines. AinsiX10+X5+1 n"a pas de racine entière.Correction del"exer cice13 NOn a

L i(ai) =Õ 16j6n j6=ia iaja iaj=1 etLi(aj) =0 sij6=i 10

puisque le produit contient un facteur qui est nul:(ajaj). Puisque lesLisont tous de degrén, le polynômeP

est de degré inférieur ou égal àn, etP(aj) =åni=0biLi(aj) =bi.

Il reste à montrer qu"un tel polynôme est unique. Supposons queQconvienne aussi, alorsPQest de degré

inférieur ou égal ànet s"annule enn+1 points (lesai), donc il est identiquement nul, i.e.P=Q.

Pour l"application on utilise utilise les polynômes interpolateurs de Lagrange aveca0=0,b0=1 ;a1=1,

1=0 ;a2=1,b2=2 ;a3=2,b3=4. On sait qu"un tel polynômeP(X)est unique et s"écrit

P(X) =1L0(X)+0L1(X)2L2(X)+4L3(X)

où L

0(X) =(X1)(X+1)(X2)(01)(0+1)(02)=12

(X32X2X+2) L

1(X) =(X0)(X+1)(X2)(10)(1+1)(12)=12

(X3X22X) L

2(X) =(X0)(X1)(X2)(10)(11)(12)=16

(X33X2+2X) L

3(X) =(X0)(X1)(X+1)(20)(21)(2+1)=16

(X3X)

Ainsi :

P(X) =32

X32X212

X+1:11

quotesdbs_dbs45.pdfusesText_45

[PDF] 1 Opérations sur les polynômes - Exo7

Polynômes

Corrections de Léa Blanc-Centi.

1 Opérations sur les polynômes

P(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:

2.Calculer le pgcd Ddes polynômesAetBci-dessous. Trouver des polynômesUetVtels queAU+BV=

Exercice 10

P(X2) =P(X)P(X+1)

égal ànqui vérifie:

P(aj) =bjpour toutj=0;:::;n:

P(0) =1 etP(1) =0 etP(1) =2 etP(2) =4:

1.Indication pourl"exer cice11 NPour l"existence, preuve par récurrence surn. Pour les racines, montrer queP(x) =2cos(narccos(x=2)).4

8a+4b+2c+d=4

P(X) =32

X32X212

3 X5+2X4X2+1= (X3+X+2)(3X2+2X3)9X2X+7

1 2X+X3+X4= (1+2X+X2)(14X+7X2)+X3(96X)

1 +X32X4+X6= (1+X2+X3)(1X2X4)+X5(1+2X+X2)Correction del"exer cice3 NLa division euclidienne deA=X4+aX2+bX+cparB=X2+X+1 donne

4+aX2+bX+c= (X2+X+1)(X2X+a)+(ba+1)X+ca

DoncD=X2+3X+2, et on obtient

9D=BR1Q2=B(ABQ1)Q2=AQ2+B(1+Q1Q2)

On a A=BQ1+R1avecQ1=X2+1,R1=X2X1

DoncD=1, et on obtient

1=R1R2Q3=R1(BR1Q2)Q3=R1(1+Q2Q3)BQ3

U=1+Q2Q3=X3

2.Notons P1=pgcd(P;P0): commePest à coefficients rationnels,P0aussi et doncP1aussi. OrP1(X) =

33= (X31=3)(X+12

31=3i2

35=6)(X+12

31=3+i2

4ip=6ete8ip=6,e5ip=6ete7ip=6), d"où la factorisation surC[X]:

121= (X1)(X+1)(Xeip=6)(Xe11ip=6)(Xe2ip=6)

121= (X1)(X+1)(X22cos(p=6)X+1)

6+1= (Xeip=6)(Xe3ip=6)(Xe5ip=6)(Xe7ip=6)

6+1= (X2+1)(X2p3X+1)(X2+p3X+1)

9+X6+X3+1=P(X3)

9+X6+X3+1= (X+1)(X2X+1)(X2+1)

9+X6+X3+1= (X+1)(Xeip=3)(Xe5ip=3)

2.(a) Pour X2+(3i1)X2i, on calcule le discriminant

D= (3i1)24(2i) =2i

P(x) =P0(x)0()(x+1)7x7a=0

7(x+1)67x6=0

X2+2932

X22932

On a alors par construction

1+(X+1)4B2

X72116

X5+3516

X33516

0(X) =3516

X5+X3X) =516

X72116

X5+3516

X33516

4 deAet donc(X1)4diviseA=P+1. De même,(X+1)4diviseP1.

0= (P+1)(P0+1) = (P1)(P01)est divisible par(X1)4et par(X+1)4. Comme(X1)4et

0(X)+(X1)4(X+1)4A(X)

P(X) =P0(X)(aX+b) =aP0(X)(X+ba

Donc siz6=ba

Analyse

Synthèse

La conditionP(X2) =P(X)P(X+1)devient

2k=k+`

Pour n=0,P=2 convient et pourn=1,P=Xconvient.

On a ainsi construit Pnpour toutn(avec degPn=n).

2cos(nq).

En posantx=2cos(q)et doncq=arccos(x2

P(x) =2cos(narccos(x2

Le polynôme dérivée estP0(x) =np1(x2

2 à+2) puis décroissante (de+2 à2) sur chaque intervalle[ak+1;ak], qui forment une partition de

1=0 ;a2=1,b2=2 ;a3=2,b3=4. On sait qu"un tel polynômeP(X)est unique et s"écrit

P(X) =1L0(X)+0L1(X)2L2(X)+4L3(X)

0(X) =(X1)(X+1)(X2)(01)(0+1)(02)=12

1(X) =(X0)(X+1)(X2)(10)(1+1)(12)=12

2(X) =(X0)(X1)(X2)(10)(11)(12)=16

3(X) =(X0)(X1)(X+1)(20)(21)(2+1)=16

Ainsi :

P(X) =32

X32X212

X+1:11