Corrigé, bac S, mathématiques

Rep erage dans le plan, cours pour la classe de seconde F Gaudon 30 aout^ 2016 Table des mati eres 1 Coordonn ees dans un rep ere du plan2 2 Milieu d’un segment et distance dans un rep ere orthonorm e3

Equation dune droite - Free

Equation d'une droite A- Droites et équations 1- Définition Le plan est muni d'un repère O;i , j Soient a et b deux réels L'ensemble des points M(x; y) tels que y = ax + b forme une droite

Seconde - DEVOIR COMMUN DE MATHEMATIQUES N°2 - 19 mai 2010

Dans le plan muni d’un repère orthonormé ( O ; I, J ), on considère les droites et ′ d’équations respectives : y = 2x – 3 et 1 2 2 yx 1 a) Montrer que les droites et ′ sont sécantes et déterminer, par le calcul, les coordonnées de leur point d’intersection b) Tracer et ′ 2

DROITES I) Coefficient directeur ; ordonnée à l’origine rr

• Réciproquement : si D et z ont même coefficient directeur, alors D et z sont parallèles II) Equations de droites On considère le plan muni d’un repère (,,)Oij rr 1) Théorème Théorème : • Toute droite D non parallèle à l’axe des ordonnées a une équation de la forme y = a x + b où a et b sont deux nombres réels

LES FONCTIONS DE REFERENCE - maths et tiques

2) Dans un repère (O, I, J), la courbe de la fonction carré est appelée une parabole de sommet O 3) Dans un repère orthogonal, la courbe de la fonction carré est symétrique par rapport à l’axe des ordonnées Exercices conseillés En devoir Exercices conseillés En devoir Ex 18 à 24 (page 10 et 11) p94 n°28 p99 n°73*

Corrigé, bac S, mathématiques - ac-rouenfr

Le plan complexe est muni d’un repère orthonormal direct (O; ~u; ~v) On appelle f l’application qui à tout point M d’afﬁxe z, différente de ¡1, fait correspondre le point M0 d’afﬁxe 1 z ¯1 1 Soient A, B et C les points d’afﬁxes respectives zA ˘¡ 1 2, zB ˘¡ 1 2 ¯i et zC ˘¡ 1 2 ¡ 1 2 i a)Voir en ﬁn b) zA0 ˘ 1

Equations cartésiennes d’une droite - Parfenoff org

Réponse : Les points A et B appartiennent à la droite d donc le vecteur est un vecteur directeur de cette droite (10 – 5 ; 23 – 13), soit (5 ; 10) en divisant les coordonnées du vecteur par 5,

Corrigé, bac S, mathématiques

jeudi 21 juin 2012

Exercice 1 4 points

Le plan est muni d"un repère orthonormé (O;

On considère une fonctionfdérivable sur l"intervalle [¡3; 2].

On dispose des informations suivantes :

•f(0)AE¡1. L adér ivéef0de la fonctionfadmet la courbe représentativeC0ci-dessous.~ ıO

Pour chacune des affirmations suivantes, dire si elle est vraie ou fausse et justifier la réponse.

1. P ourtou trée lxde l"intervalle [¡3;¡1],f0(x)60. VRAI, la courbe def0se trouve en dessous de l"axe des abscisses sur cet intervalle. 2. L afonc tionfest croissante sur l"intervalle [¡1; 2].

VRAI, la courbe def0se trouve au dessus de l"axe des abscisses sur cet intervalle,f0x)>0 sur [¡1; 2]

la fonctionfest ainsi croissante sur [¡1; 2]. 3. P ourt outrée lxde l"intervalle [¡3; 2],f(x)>¡1.

FAUX. Si l"on fait un tableau de variations, on voit que le minimum est atteint pourxAE ¡1 et, du fait

que la fonctionfest croissante sur [¡1; 2], on a¡1Ç0AE)f(¡1)Çf(0)AE¡1.x f

0(x)f(x)¡3¡12

¡0Å

f(¡1)f(¡1)..0 ¡14.S oitCla courbe représentative de la fonctionf. La tangente à la courbeCau point d"abscisse 0 passe par le point de coordonnées (1; 0).

VRAI. Par lecture sur le graphique, on voit quef0(0)AE1. On calcule l"équation de la tangente au point

d"abscisse 0 :y¡(¡1)AE1(x¡0)()yAEx¡1. Elle passe par le point de coordonnées (1; 0). 1

Exercice n

o2 5 points

Pour embaucher ses cadres une entreprise fait appel à un cabinet de recrutement. La procédure retenue

est la suivante. Le cabinet effectue une première sélection de candidats sur dossier. 40% des dossiers reçus

duquel 70% d"entre eux sont retenus. Ces derniers sont convoqués à un ultime entretien avec le directeur

des ressources humaines qui recrutera 25% des candidats rencontrés. 1.

O nch oisitau h asardl ed ossierd "uncan didat;

On considère les événements suivants :

D:"Le candidat est retenu sur dossier»,

1:"Le candidat est retenu à l"issue du premier entretien»,

2:"Le candidat est recruté».

a) R eproduireet c ompléterl "arbrepondéré ci-dessou s: .DE 1E 2E 2E

1D0,40,70,25

0,75 0,3 0,6 b)

P robabilitéde l "événementE

1: p(E1)AEp(E1\D)Åp(E1\D) |{z} c)

O nnot eF l "événement" Lec andidatn "estp asr ecruté».P robabilitéd el "événementF :

p(F)AEp(D)Åp(E

1\D)Åp(E

2\E1)

AEp(D)ÅpD(E

1)£p(D)ÅpE1(E

2)£p(E1)

Donc, la probabilité que le candidat soit recruté est égal à 0,07. 2.

Cinq amis p ostulentà un em ploide ca dreda nsc etteen treprise.Les études de le urdossier so ntfaites

indépendamment les unes des autres. on admet que la probabilité que chacun d"eux soit recruté est

égal à 0,07.

On désigne par X la variable aléatoire donnant le nombre de personnes recrutées parmi ces cinq can-

didats. a)

Cha queévénemen te sti ndépendantdes autr es.I ln "ya qu edeu xissu eset on r épètecha que

événement cinq fois.

La probabilité du succès estpAE0,07, le nombre d"événement estnAE5. Nous sommes bien en présence d"une loi binomiale de paramètrenAE5 etpAE0,07. 2 b)P robabilitéqu edeu xe xactementdes cinq amis soient r ecrutés: p(XAE2)AEÃ 5 2! (0,07) 3. O ncon sidèrei ciu neloi bi nomialed ep aramètrenetpAE0,07. baucher au moins un candidat soit supérieure à 0,999 : p(X>1)AE1¡p(XAE0)>0,999()1¡Ã n 0! (0,07)

0(0,97)n>0,999()1¡0,93n>0,999

(croissance de la fonctionln)()0,001>0,93n()ln(0,001)>nln(0,93) 6n

On prendra doncnAE96.

Exercice n

o3 6 points

Partie A

On désigne parfla fonction définie sur l"intervalle [1;Å1[ par : f(x)AE1xÅ1Åln³xxÅ1´ 1.

L imited ela f onctionfenÅ1:

lim x!Å1f(x)AE0, car limx!Å11xÅ1AE0 et limx!Å1xxÅ1AElimx!Å111 x

Å1AE1

P ourtou trée lxde l"intervalle [1;Å1[ :

0(x)AE¡1(xÅ1)2Å1(xÅ1)2x

xÅ1AE¡ La dérivée est positive sur [1;Å1[, la fonctionfy est donc croissante :

Tableau de variations de la fonctionf:x

0(x)f(x)1Å1

1 2

Åln121

Åln1200

f(1)AE12

Åln12

'¡0,193 3. L afonc tionfest négative sur l"intervalle [1;Å1[, car majorée par 0. 3

Partie B

Soit (un) la suite définie pour tout entier strictement positif par : u nAE1Å12

Å13

Å¢¢¢Å1n

¡lnn

1. L av aleurexact eaffi chéep arcet a lgorithmel orsquel "utilisateuren trel av aleurnAE3 est : uAE1Å12

Å13

AE116 2.

R ecopieret compléter l "algorithmeprécéden ta finq u"ila ffichela v aleurunlorsque l"utilisateur entre

la valeur den1 VARIABLES

2 i EST_DU_TYPE NOMBRE

3 n EST_DU_TYPE NOMBRE

4 u EST_DU_TYPE NOMBRE

5 DEBUT_ALGORITHME

6 LIRE n

7 u PREND_LA_VALEUR 0

8 POUR i ALLANT_DE 1 A n

9 DEBUT_POUR

10 u PREND_LA_VALEUR u+1/i

11 FIN_POUR

12 u PREND_LA_VALEUR u-log(n)

13 AFFICHER "u: "

14 AFFICHER u

15 FIN_ALGORITHME

3. V oiciles résu ltatsf ournispar l "algorithmemodi fié,arr ondisà 10

¡3.n45678910100100015002000

Conjectures :

L asu itesemb leêt redécr oissante.

E llesemble con vergerv ers0, 5?0, 57?

Partie C

P ourtou tent ierst rictementpositif n,n>1

u nÅ1¡unAE1Å¢¢¢Å1n oùfest la fonction définie dans la partie A. Nous avons vu que, pourn>1,f(n)AEunÅ1¡unÇ0; la suite est donc décroissante. 2. a)

S oitkun entier strictement positif

Inégalité :

k6x6kÅ1()1kÅ161x 61k
()1x

¡1k

60()1k

¡1x

>0 (par intégration)()Z kÅ1 kµ 1k

¡1x

dx>Z kÅ1 k

0dxAE0

4 Z kÅ1 kµ 1k

¡1x

dx>0AE)Z kÅ1 k1k dx¡Z kÅ1 k1x dx>0()·1k x¸ kÅ1 k AE1k >Z kÅ1 k1x dx

Ainsi :

ZkÅ1

k1x dxAE[lnx]kÅ1 kAEln(kÅ1)¡lnk61k (1) b) ln2¡ln161 ln3¡ln2612 ln4¡ln3613

¢¢¢6¢¢¢

ln(nÅ1)¡lnn61n ln(nÅ1)AEln(nÅ1)¡ln161Å12

Å13

Å¢¢¢Å1n

ln(nÅ1)¡lnn61Å12

Å13

Å¢¢¢Å1n

¡lnnAEunc)L afonc tionln é tantc roissante,ln( nÅ1)>lnn()ln(nÅ1)¡lnn>0 Ainsi, pour tout entier strictement positifn,un>0. 3. L asu ite( un) étant décroissante et minorée par 0, est convergente.

Exercice n

o4 5 points Le plan complexe est muni d"un repère orthonormal direct (O; ~u;~v).

On appellefl"application qui à tout point M d"affixez, différente de¡1, fait correspondre le point M0

d"affixe

1zÅ1.

1. S oientA, B e tC l esp ointsd "affixesr espectiveszAAE¡12 ,zBAE¡12

Åi etzCAE¡12

¡12

i. a)

V oiren fi n.

b) z

A0AE1¡

Å1AE2 ;zB0AE1¡

ÅiÅ1AE

¡45

i ;zC0AE1¡ 12

¡12

iAE1Åi c)

L esp ointsA

0, B0et C0ne sont pas alignés :

B0¡zA0AE25

¡45

i¡2AE¡85

¡45

i ;zC0¡zA0AE1Åi¡2AE¡1Åi

Les vecteurs

¡¡!A0B0et¡¡!A0C0ne sont pas colinéaires, (il y a un nombre impair de signes moins). Les

trois points ne sont pas alignés. 2.

S oitgla transformation du plan qui, à tout point M d"affixezfait correspondre le point M1d"affixe

zÅ1. a)gest une translation de vecteur~u¡1

0¢.

V oirplus l oin.

5 c)L adr oiteD1est la médiatrice du segment dont les deux extrémités sont O(0,0) et (1,0).

Tout point M d"affixezde la droiteD1est donc à égale distance de ces deux points, d"où la rela-

tionjz¡1jAEjz¡0jAEjzj. 3. S oithl"application qui, à tout point M d"affixeznon nulle, associe le point M2d"affixe1z a)

N ousav ons,p ourt outp ointM d "affixezdu plan :

M g¡!M1h¡!M2 z g¡!z1AEzÅ1h¡!z2AE1z

1AE1zÅ1AEz0

Donc :h(A1)AEA0,h(B1)AEB0eth(C1)AEC0.

b) D émontrerq ue,pour t outnomb recomp lexen onn ulz, on a :

¯¯¯AE¯¯¯¯1¡1z

¯¯¯AE1

c) L "imageparhdeladroiteD1estinclusedansuncercleCdecentrelepointId"affixe1etlerayon 1. 4. Do nc,comm ele mont rela qu estion3 .a), l "imagepar l "applicationfde la droiteD.¡1012xy

¡101B

CAA 0B 0C 0B 1C 1A 16quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18

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Equations cartésiennes d’une droite - Parfenoff org

Corrigé, bac S, mathématiques

Exercice 1 4 points

Le plan est muni d"un repère orthonormé (O;

On dispose des informations suivantes :

0(x)f(x)¡3¡12

¡0Å

Exercice n

O nch oisitau h asardl ed ossierd "uncan didat;

On considère les événements suivants :

D:"Le candidat est retenu sur dossier»,

1:"Le candidat est retenu à l"issue du premier entretien»,

2:"Le candidat est recruté».

1D0,40,70,25

P robabilitéde l "événementE

1\D)Åp(E

AEp(D)ÅpD(E

1)£p(D)ÅpE1(E

2)£p(E1)

égal à 0,07.

événement cinq fois.

0(0,97)n>0,999()1¡0,93n>0,999

On prendra doncnAE96.

Exercice n

Partie A

L imited ela f onctionfenÅ1:

Å1AE1

P ourtou trée lxde l"intervalle [1;Å1[ :

0(x)AE¡1(xÅ1)2Å1(xÅ1)2x

Tableau de variations de la fonctionf:x

0(x)f(x)1Å1

Åln121

Åln1200

Åln12

Partie B

Å13

Å¢¢¢Å1n

¡lnn

Å13

2 i EST_DU_TYPE NOMBRE

3 n EST_DU_TYPE NOMBRE

4 u EST_DU_TYPE NOMBRE

5 DEBUT_ALGORITHME

6 LIRE n

7 u PREND_LA_VALEUR 0

8 POUR i ALLANT_DE 1 A n

9 DEBUT_POUR

10 u PREND_LA_VALEUR u+1/i

11 FIN_POUR

12 u PREND_LA_VALEUR u-log(n)

13 AFFICHER "u: "

14 AFFICHER u

15 FIN_ALGORITHME

¡3.n45678910100100015002000

Conjectures :

L asu itesemb leêt redécr oissante.

E llesemble con vergerv ers0, 5?0, 57?

Partie C

P ourtou tent ierst rictementpositif n,n>1

S oitkun entier strictement positif

Inégalité :

¡1k

60()1k

¡1x

¡1x

0dxAE0

¡1x

Ainsi :

ZkÅ1

¢¢¢6¢¢¢

Å13

Å¢¢¢Å1n

Å13