FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3

2 SECOND DEGRÉ 2 Second degré Fiche professeur 2A —Fiche élève correspondante : page5 — Fichier AlgoBox associé (algorithme complet) : algo_2A alg — Contexte (1S/1ES/1STL/1STMG) : Recherche et codage des conditions pour que les va-leurs d’un trinôme soient toujours strictement positives – 4 –

DM dalgorithmique Le second degré 1 Rendre cette

D M d'algorithmique Le second degré Seuls les algorithmes en langage naturel seront évalués Il est cependant recommandé de traduire en Python et tester les algorithmes créés On pourra donc écrire sur la copie les traductions en Python 1 Ecrire en langage naturel un algorithme permettant : de demander les valeurs de a, b et c

Le second degré - lyceedadultesfr

1 1 Le trinôme du second degré Définition 1 : On appelle trinôme du second degré ou simplement trinôme, le polynôme P(x), à coefﬁcients réels, de la forme : P(x)=ax2 +bx +c avec a 6= 0 Remarque : Le coefﬁcient a est parfoit appelé le coefﬁcient quadratique Exemple : Les trois polynômes suivants sont des trinômes :

Thème : Trinôme du second degré

Mauvaise utilisation du produit en croix et difficulté pour aboutir à la bonne inéquation du second degré _ Analyse binôme 2: algorithme Les bonnes idées : le test d’arrêt de la boucle Les erreurs rencontrées : Choix de la bonne boucle Indication donnée pour aider le binôme : saisir le poids voulu y, calculer P(x) tant que P(x)>y

MATHÉMATIQUES 1re S - Free

Second degré † 9 1 Second degré Objectifs et pré–requis Le programme de première s’inscrit, comme celui de la classe de seconde, dans le cadre de la réso-lution de problèmes Les situations proposées ici répondent à des problématiques d’origine mathé-matique ou en lien avec d’autres sciences

DevoirSurveillén°2 Correction PremièreES Seconddegré

Correction CorrectionDSn°2 - PremièreES- Octobre2017 • Signe de x −→(4x+3) Pas besoin d’étude designe pour voir que si x est positif, alors 4x l’est aussi et donc4x+3>0

Devoir de mathématiques

2) En déduire le maximum de f et la valeur de x pour lequel il est atteint Exercice3 Équations et inéquations (6,5 points) Résoudre dans R, les équations et inéquations suivantes : 1) −3x2 +2x −3 = x −1 2) x +1 x −3

VOUS AVEZ DIT «DIDACTIQUE DES MATHEMATIQUES

dans le premier comme dans le second degré, démarches utilisées en didactique des mathé-matiques, surtout en France et quelques l’algorithme

1 Exercices de base - u-bordeauxfr

Le vecteur sera donn e en d ebut de programme Il sera a ch e a l’ ecran avant le d ebut de l’algorithme et a la n Exercice 14 Ecrire un programme qui : 1 choisit un nombre au hasard entre 0 et 100 (utiliser la subroutine intrins eque random_number qui renvoie un nombre nau hasard entre 0 et 1, et la fonction nint qui renvoie la partie

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3 - maths et tiques

2 sur 4 Yvan Monka – Académie de Strasbourg – www maths-et-tiques III Forme factorisée d’une fonction polynôme de degré 3 Exemple :

1 sur 4

FONCTIONS POLYNÔMES DE DEGRÉ 3

Partie 1 : Définition

Exemples et contre-exemples :

=4�� +1 -2 sont des fonctions polynômes de degré 3. =1+�� -2�� =-��+4 est une fonction polynôme de degré 1 (fonction affine). =2�� +5��-1 est une fonction polynôme de degré 5. Définition : Les fonctions définies sur ℝ par ��⟼�� ou ��⟼�� +�� sont des fonctions polynômes de degré 3. Les coefficients �� et �� sont des réels donnés avec ��≠0.

Partie 2 : Représentation graphique

Propriétés :

Soit �� une fonction polynôme de degré 3, telle que�� - Si ��<0 : �� est strictement croissante. - Si ��<0 : �� est strictement décroissante.

2 sur 4

Partie 3 : Forme factorisée d'une fonction polynôme de degré 3

Exemple :

La fonction ��définie par ��

=5 ��-4 ��-1 ��+3 est une fonction polynôme de degré 3 sous sa forme factorisée. Si on développe l'expression de ��à l'aide d'un logiciel de calcul formel, on obtient bien l'expression de degré 3 : �� =5�� -10�� -55��+60 Définition : Les fonctions définies sur ℝ par �� sont des fonctions polynômes de degré 3.

Les coefficients ��, ��

et �� sont des réels avec ��≠0.

En partant de l'expression développée précédente, on peut vérifier que 4, 1 et -3 sont des

racines du polynôme ��. 4 =5×4 -10×4 -55×4+60=320-160-220+60=0 1 =5×1 -10×1 -55×1+60=5-10-55+60=0 -3 =5× -3 -10× -3 -55× -3 +60=-135-90+165+60=0

4, 1 et -3, solutions de l'équation ��

=0, sont donc des racines de f. Propriété : Soit la fonction �� définie sur ℝ par ��

L'équation ��

=0 possède trois solutions (éventuellement égales) :��=�� et appelées les racines de la fonction polynôme f. Méthode : Étudier le signe d'un polynôme de degré 3

Vidéo https://youtu.be/g0PfyqHSkBg

Étudier le signe de la fonction polynôme �� définie sur ℝ par : =2 ��+1 ��-2 ��-5

Correction

2 étant un nombre positif, le signe de 2

��+1 ��-2 ��-5 dépend du signe de chaque facteur : ��+1, ��-2 et ��-5. On étudie ainsi le signe de chaque facteur et on présente les résultats dans un tableau de signes. ��+1=0 ou ��-2=0 ou ��-5=0 ��=-1 ��=2 ��=5

3 sur 4

-1, 2 et 5 sont donc les racines du polynôme ��. En appliquant la règle des signes dans le tableau suivant, on pourra en déduire le signe du produit �� =2 ��+1 ��-2 ��-5 On en déduit que ��(��)≥0 pour ��∈ -1;2

5;+∞

et -∞;-1 2;5

La représentation de la fonction �� à l'aide d'un logiciel permet de confirmer les résultats

établis précédemment.

Partie 4 : Équation de la forme x

3 = c

Propriété :

L'équation ��

=��, avec c positif, possède une unique solution

Cette solution peut également se noter ��

4 sur 4

Méthode : Résoudre une équation du type x 3 = c

Vidéo https://youtu.be/4tQJRkpIH3k

Résoudre dans ℝ les équations : a) �� =27, b) 2�� -6=16

Correction

a) On cherche le nombre qui, élevé au cube, donne 27. Ce nombre est égal à la racine cubique de 27, soit : ��= 27
=3. b) 2�� -6=16

2��

=16+6

2��

=22 =11 L'équation admet donc une unique solution ��= 11quotesdbs_dbs5.pdfusesText_10

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Algorithmique en classe de première avec AlgoBox

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Thème : Trinôme du second degré

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1 sur 4

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Partie 1 : Définition

Exemples et contre-exemples :

Partie 2 : Représentation graphique

Propriétés :

2 sur 4

Exemple :

La fonction ��définie par ��

Les coefficients ��, ��

4, 1 et -3, solutions de l'équation ��

L'équation ��

Vidéo https://youtu.be/g0PfyqHSkBg

Correction

2 étant un nombre positif, le signe de 2

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5;+∞

établis précédemment.

Partie 4 : Équation de la forme x

Propriété :

L'équation ��

Cette solution peut également se noter ��

4 sur 4

Vidéo https://youtu.be/4tQJRkpIH3k

Correction

2��

2��

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1 sur 4

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Partie 1 : Définition

Exemples et contre-exemples :

Partie 2 : Représentation graphique

Propriétés :

2 sur 4

Exemple :

La fonction ���définie par ���

Les coefficients ���, ���

4, 1 et -3, solutions de l'équation ���

L'équation ���

Vidéo https://youtu.be/g0PfyqHSkBg

Correction

2 étant un nombre positif, le signe de 2

3 sur 4

5;+∞

établis précédemment.

Partie 4 : Équation de la forme x

Propriété :

L'équation ���

Cette solution peut également se noter ���

4 sur 4

Vidéo https://youtu.be/4tQJRkpIH3k

Correction

2���

2���

La fonction ��définie par ��

Les coefficients ��, ��

4, 1 et -3, solutions de l'équation ��

L'équation ��

L'équation ��

Cette solution peut également se noter ��

2��

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