Fonctions intégrables - Institut de Mathématiques de Bordeaux
Exercices - Transformation de Fourier:corrigé Onexprimelemembrededroitedecetteégalitéenfonctionde fgrâceàuneintégrationpar parties,enposantv(t) = tetu(t) = 1 ix
TD 3 Transformation de Fourier - IMJ-PRG
IUT de Cachan GEII Mathématiques S3' 2013 TD 3 Transformation de Fourier 1 Calculs de transformées de ourierF Exercice 1 Soit a>0 et fla fonction dé nie par f(x) = e ax˜ [0;+1[(x) Calculer la transformée de ourierF f^ de f Soit gla fonction dé nie par g(x) = eax˜]1 ;0](x) Calculer la transformée de ourierF ^g de g
La transform ee de Fourier 1 Exercices - CIMAT
transform ee de Fourier : bv(˘) = Z v(x)e i2ˇx ˘ dx: Le passage d’une normalisation a une autre n’implique g en eralement que des constantes multiplicatives dont le calcul est facile 1 Calculs et propri et es el emen taires a Calculer la transform ee de Fourier de la mesure de Dirac 1 b
Transformation de Fourier - u-bordeauxfr
V Propriétés de la transformation de Fourier La relation établie au paragraphe précédent entre les transformées de Laplace et de Fourier nous permet de direque que les propriétés des opérateurs L et F sont semblables On admettra les propriétés suivantes: 1 F est linéaire En e¤et, quels que soient f , g , fonctions de L1(R) et
Exercices corrigés sur les séries de Fourier
Exercices corrigés sur les séries de Fourier 1 Enoncés Exercice 1 Calculer la série de ourierF trigonométrique de la fonction 2ˇ-périodique f: R R telle que f(x) = ˇ j xj sur ] ˇ;ˇ] La série converge-t-elle vers f? Exercice 2 Calculer la série de ourier,F sous forme trigonométrique, de la fonction 2ˇ-périodique f: R
Transformation de Fourier - Engineering
R´esolution La transform´ee de Fourier de l’´equation de la chaleur par rapport a la variable x est une ´eqation diff´erentielle s´eparable en t avec param`etre ω : but(ω,t) = c2(−iω)2bu(ω,t) On int`egre cette ´equation et l’on emploie la transform´ee de Fourier de la condi-tion initiale : bu(ω,0) = fb(ω) On a donc :
Convolution, transformée de Fourier
Convolution, transformée de Fourier 1 Produit de convolution 2 Propriétés de la convolution 3 Transformation de Fourier 4 Transformation de Fourier inverse 5 Exercices corrigés 6 Avec Maple Pierre-Jean Hormière _____ 1 Produit de convolution Soient f et g deux fonctions définies sur R, à valeurs réelles ou complexes On nomme
TD n°6 : Fourier - Correction - Sujets et corrigés du bac
définie sur ℝ, ???? par morceaux sur ℝ et 2π-périodique donc on peut appliquer le théorème de Dirichlet La série de Fourier réelle de f converge simplement et a pour somme la régularisée de Or ici f est égale à sa régularisée, donc on obtient le résultat demandé 3 Montrer que : (− ) ???? ????+ ∞ ????= =
C o u rs d e Tra ite m e n t d u S ig n a l Chapitre 2 F re d
Transformation de Fourier discrète 1 Introduction Le but de ce chapitre est de montrer comment on passe de l’analyse de Fourier des signaux continus à l’aide de la transformation de Fourier (TF) au calcul numérique du contenu spectral d’un signal grâce à la transformation de Fourier discrète (TFD)
Exercices séries de Fourier
C’est toujours la même histoire J’avais l’intention de réunir quelques exercices corrigés classiques sur les séries de Fourier, me disant que ce travail serait achevé au bout de quelques pages, mais de fil en aiguille, il a pris des proportions de plus en plus vastes, se transformant en une somme théologique
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1
Exercices sur les séries de Fourier
____________1. Développements en série de Fourier.
2. Séries de Fourier.
3. Applications géométriques.
4. Séries trigonométriques.
5. Séries entières et séries trigonométriques.
6. Equations différentielles et fonctionnelles.
7. Convolution et fonctions propres.
A la mémoire de ma mère,
qui tant me manque, février 2010Pierre-Jean Hormière
____________Introduction
C"est toujours la même histoire ! J"avais l"intention de réunir quelques exercices corrigés classiques
sur les séries de Fourier, me disant que ce travail serait achevé au bout de quelques pages, mais de fil
en aiguille, il a pris des proportions de plus en plus vastes, se transformant en une somme
théologique. A la fin, c"est tout juste si les mathématiques toutes entières n"étaient plus qu"un
chapitre des séries de Fourier ! Il faut pourtant bien s"arrêter avant de sombrer dans le désespoir et
l"inachèvement, afin de ne pas finir comme ces insignes ratés que furent Léonard de Vinci, Michel-
Ange et Van Gogh !
Références :
Revue de Mathématiques Spéciales
A. Zygmund : Trigonometric series (Cambridge)
J.-M. Arnaudiès, H. Fraysse : Cours de taupe, tome 3 (Dunod) Murray R. Spiegel : Analyse de Fourier (série Schaum)1. Développements en série de Fourier.
Développer une fonction réglée périodique f en série de Fourier, c"est former sa série de Fourier
exponentielle ou trigonométrique, et étudier les relations entre f et sa série de Fourier, à la lumière
des théorèmes disponibles (ici, les trois théorèmes du programme).Dans tous les exercices, le symbole
~ signifie " a pour série de Fourier ».Exercice 1
: onde carrée ou créneau.1) Développer en série de Fourier la fonction 2p-périodique définie par :
(t) = 1 si t Î ]0, p[ , -1 si t Î ]-p, 0[ , 0 si t Î pZ.2) Représenter graphiquement les sommes partielles de la série ; vérifier les résultats précédents.
Quel phénomène nouveau voit-on apparaître ?3) Soit Sn la somme partielle d"ordre n de la série. Montrer que : Sn()2np ® p2dttt.sin0∫
p > 1Solution : est impaire et l"on a aussitôt :
(t) ~ p4(3 )3sin(1sintt++5
)5sin(t+ ... ) = p4∑012))12sin((kktk.
2 Remarque : le fait que (p - t) = (t) implique b2k() = 0.La formule de Parseval donne
³+0)²12(1kk = 8²p
On en déduit z(2) =
6²p, car z(2) = ∑
³+0)²12(1kk + ∑
³1)²2(1kk = 8²p + 41z(2).
Le théorème de Dirichlet s"applique, car est C1 par morceaux, et comme elle est réelle, on a :
("t Î R) (t) = p4(3 )3sin(1sintt++5
)5sin(t + ... ) = p4∑012))12sin((kktk.
Si l"on fait t =
2p, on retrouve 2p = ∑
³+-012)1(kkk .
La série précédente converge simplement (Dirichlet), en moyenne quadratique (Parseval), pas uniformément, car est discontinue, mais uniformément sur tout segment [a, p-a] (0 < a < p/2), par un examen précis de la transformation d"Abel, si l"on note que les sommes partielles V n = sin t + sin 3t + ... + sin (2n-1)t = tntsin²sin sont uniformément bornées sur ces segments.3) Phénomène de Gibbs
Par sommes de Riemann : S
n()2np = p4∑1012)2)12(sin(nkknk
p® C = p2dttt.sin0∫
p.Or "t Î ]0, p[
ttsin > 1 - pt. On en déduit C > 1 (cf. aussi ex. 3). Cela confirme qu"il n"y a pas convergence uniforme sur ]0, p[ : l"approximation est de mauvaise qualité au voisinage des discontinuités.Exercice 2
: Développer en série de Fourier la fonction f 2p-périodique définie par : f(t) = c2 si t Î ]0, p[ , c1 si t Î ]-p, 0[ .Solution : 1) On peut, soit faire un calcul direct, soit se ramener à l"exercice précédent si l"on note
que f = 221cc+ + 2
12cc- : on conclut alors par linéarité.
f(x) ~ 221cc+ + p
12.2cc-(3
)3sin(1sintt++5
)5sin(t + ... ) .2) Parseval redonne
³+0)²12(1kk = 8²p , d"où l"on déduit z(2) = 6²p.3) f est C
1 par morceaux, donc Dirichlet s"applique :
221cc+ + p
12.2cc-∑
012))12sin((kktk = c1 sur ]-p, 0[ , 2
21cc+ en 0 , c2 sur ]0, p[.
4) On peut faire les mêmes remarques que dans l"exercice précédent.
3Exercice 3
: Si 0 < h < p, f la fonction 2p-périodique définie par f(x) = h21 si |x| < h, 0 si h < |x| £ p.
Développer f en série de Fourier. En déduire ∑ =1²²sinnnnh = ).(2hh-p , ∑
=1sin nnnh = 2h-p.En déduire ∑
=1²²sinnnn et ∑
=1sin nnn. Calculer ∑ =1²²sinnnnx et ∑
=1sin nnnx pour tout réel x. Solution : f est paire, et C1 par morceaux. On trouve aisément : f(x) ~ p21 + ∑³1)cos(.)sin(
nnxnhnh = p21∑ ÎZninxenhnh.)sin(, en convenant que nhnh)sin( = 1 pour n = 0.Il y a convergence en moyenne quadratique.
La formule de Parseval s"écrit :
hp41 = ²41p + 21∑ =1²²²sinnhnnh, donc ∑
=1²²sinnnnh = ).(2hh-p.
La fonction f étant C
1- par mocreaux, le théorème de Dirichlet s"applique :
f(x) = p21 + ∑³1)cos(.)sin(
nnxnhnh, en convenant que f(±h) = h41. x = 0 donne : =1sin nnnh = 2h-p, et x = h donne : ∑ =12sin nnnh = 2p- h.En particulier, prenant h = 1, il vient :
=1²²sinnnn = ∑
=1sin nnn = 21-p.F(x) =
=1 ²²sinnnnx est continue, paire, p-périodique, et telle que F(x) = 2 )(xx-p sur ]0, p[.G(x) =
=1sin nnnx est impaire, 2p-périodique telle que G(x) = 2x-p sur ]0, 2p[ . Ces résultats vont être retrouvés dans les exercices suivants.Exercice 4
: le " toit d"usine ».1) Développer en série de Fourier f la fonction 2p-périodique définie par :
f(t) = 2t-p si t Î ] 0, 2p [ , f(0) = 0.2) Représenter graphiquement les sommes partielles Sn de la série ; visualiser les résultats
précédents. Quel phénomène nouveau voit-on apparaître ?3) a) Montrer que Sn(np) ® G = dttt.sin0∫
p (constante de Wilbraham-Gibbs). b) Montrer que ttsin > 1 - pt sur ]0, p[ ; en déduire G > 2p. c) La convergence de la série est-elle uniforme sur ]0, 2p[ ?4) Montrer que les sommes partielles Sn sont uniformément majorées sur R.
[ Indication : on pourra étudier leurs variations, qui conduisent à "(n, x) |Sn(x)| < G. Mais on peut
aussi prendre x Î ]0, p[, et découper la somme à l"aide de p = [p/x]. ]5) On considère la série trigonométrique ∑
³1²)cos(nnnt. Montrer qu"elle est définie et continue surR ; calculer sa somme.
Solution : 1) f est impaire, et C1 par morceaux. On a : f(t) ~ ∑ ³1 )sin( nnnt. 4 Il y a convergence en moyenne quadratique, et la formule de Parseval implique z(2) = 6²p. Le théorème de Dirichlet s"applique, et il y a convergence simple de la série : f(t) = 2 )2sin(1sintt++3
)3sin(t+ ... = ∑ ³1 )sin( nnnt.Notons que f(t) = Arctan
( tan 2t-p).Niels Abel observa en 1825 que cette série, déjà connue d"Euler, converge simplement vers une
fonction discontinue, contredisant une affirmation du Cours d"Analyse de Cauchy selon laquelletoute série simplement convergente de fonctions continues a une somme continue. En réalité, il n"y a
pas convergence uniforme, car f est discontinue, mais la convergence est uniforme sur tout segment [a, 2p-a] (0 < a < p), en vertu de la transformation d"Abel.Notons en effet V
n(x) = ∑ =n kkx1)sin( = )2/sin(1xsin2nx.sin2
)1(xn+.La transformation d"Abel donne f(x) =
+1)1()(nnnnxV. Il y a convergence normale sur [a, 2p-a].3) Phénomène de Gibbs
a) Par sommes de Riemann, Sn(np) = ∑££nkknk1
)sin(p = np∑££nknknk1/)sin(p
p® G = dttt.sin
0∫
p (constante de Wilbraham-Gibbs). b) Montrerttsin > 1 - pt sur ]0, p[ équivaut à montrer sin t - t + p²t > 0. Cela se fait par étude
des variations. On en déduit que G >2p (théorème aux 4 hypothèses).
c) La convergence de la série n"est pas uniforme sur ]0, 2p[, puisque sup | S n(x) - f(x) | ® 0.4) Les sommes partielles sont bornées
. Cela peut se montrer par étude des variations. Nous allons procéder autrement, et montrer précisément que "(n, x) | Sn(x) | < 2 + p. Par imparité et périodicité, il suffit de supposer 0 < x < p. Posons p = [xp] .· Si n £ p , | S
n(x) | = |∑ =n kkkx1 )sin(| £ ∑ =n kkkx1 = nx £ px £ p .· Si n > p , S
n(x) = ∑ =p kkkx1 )sin( + ∑ +=n pkkkx1 )sin(.Une transformation d"Abel montre que
+=n pkkkx1 )sin(| £ 2. 5 +=n pkkkx1 )sin( = ∑ -n pk kk kVV11 = ∑ +=n pk kkV1 - ∑ 1 1 n pk k kV = nV n - 1+pV p + ∑ 11).111(
n pk kVkkOr | V
n | = |∑ =n kkx1)sin(| £ )2/sin(1x, donc |∑
+=n pkkkx1 )sin(| £ )2/sin()1(2xp+ £ xp)1(2+p < 2. ( en utilisant l"inégalité de convexité : "u Î [0, 2p] sin u ³ pu2 ).5) Fixons q Î ]0, 2p[.
Par convergence uniforme de
=1)sin( nnn q sur [p, q] ou [q, p], on a ∫∑ =q p1.)sin(
ndtnnt= ∑∫ =1.)sin( ndtnnt q pLe premier membre vaut
∫-q ppdtt.2 = - 4 )²(qp-.Le second membre vaut
1²)1()cos(nnnn
q = - B(q) + ∑1²)1(nnn = - B(q) - 12²p. Ainsi :
"q Î ]0, 2p[ B(q) =4²q- 2pq + 6²p , B(0) = B(2p) = 6²p .
On a évité la difficulté en 0 car il n"y pas convergence uniforme de ∑ =1)sin( nnn q au voisinage de 0. Mais on pouvait aussi intégrer sur [0, q], q Î [0, 2p], les sommes partielles de =1)sin( nnn q obéissant au théorème de convergence dominée.Exercice 5
: 1) Développer en série de Fourier la fonction 2p-périodique impaire f définie par f(t) = 2t-p si 0 < t < p .2) Soit g la fonction 2p-périodique impaire continue, affine sur [0, 1] et égale à f sur [1, p].
Montrer que ∑
³12
²sin
nnn = ∑ ³1 sin nnn et ∑³14
²sin
nnn.Solution : [ Oral Centrale 2000, RMS n° 354 ]
1) cf. exercice précédent.
2) On trouve : g(x)
³1)sin(.²sin
nnxnn. g étant C0 et C1 par morceaux, il y a convergence normale.Par évaluation en 1 : g(1) =
³12
²sin
nnn = f(1) = ∑ ³1 sin nnn = 21-p.Enfin, Parseval donne :
³14
²sin
nnn = ∫ p p0).²(2dxxg = 6)²1( -p.Exercice 6
: La quinconce.Développer en série la fonction 2p-périodique f définie par f(t) = | t | si | t | £ p .
En considérant la quasi-dérivée de f, quels résultats retrouve-t-on ? Solution : f est paire, continue, et C1 par morceaux.