Transformation de Fourier

En d’autres termes, la transformée de Fourier de f en s est égale à la somme de la transformée de Laplace de f+ en 2i¼s et de la transformée de Laplace de f¡ en ¡2i¼s démonstration en annexe Cas particulier : si f est nulle pour t négatif alors f¡(t) = 0 et : F(f)(s) = L(f+)(2i¼s)

TRANSFORMEE DE FOURIER ET SES APPLICATIONS

l’analyse de Fourier Le sujet de ce cours est l’ etude de la th eorie et de certaines applications d’une transformation, ditede Fourier ", devenue fondamentale dans la science moderne Le math ematicien qui a invent e cette transformation est Jean Baptiste Joseph Fourier, n e le 21 mars 1768 a Auxerre et mort le 16 mai 1830 a Paris

Le traitement du signal - La transformée de Fourier, la

La transform´ee de Fourier La transform´ee de Fourier Discr`ete Introduction S´erie de Fourier Transform´ee de Fourier Quelques propri´et´es de la transform´ee de Fourier Quelques mots sur Jean-Baptiste Fourier Les transparents de pr´esentation des applications de TF sont ceux de Jo¨el Le Roux et extraits de son site web

Transformation de Fourier - Engineering

R´esolution La transform´ee de Fourier de l’´equation de la chaleur par rapport a la variable x est une ´eqation diﬀ´erentielle s´eparable en t avec param`etre ω : but(ω,t) = c2(−iω)2bu(ω,t) On int`egre cette ´equation et l’on emploie la transform´ee de Fourier de la condi-tion initiale : bu(ω,0) = fb(ω) On a donc :

Chapitre 02 : Transformation de Laplace Transformation de Fourier

transformation de Fourier En plus, et puisque la transformée de Laplace est un opérateur linéaire et bijectif, on déduit que la transformée de Fourier l’est aussi C Transformée de Fourier inverse : La transformée inverse d’une fon tion ̂ est définie par la formule de réciprocité de Fourier : ( ̂ ) √ ∫ ̂

TransforméedeFourierdesFonctions etProduitdeConvolution

La transformée de Fourier a d’importantes propriétés en liaison avec la dérivation Celles-ci sont réunies dans la proposition suivante On a deux types de résultats : l’un portant sur la dérivée d’une transformée de Fourier, l’autre sur la transformée de Fourier de la dérivée

Convolution, transformée de Fourier

Convolution, transformée de Fourier 1 Produit de convolution 2 Propriétés de la convolution 3 Transformation de Fourier 4 Transformation de Fourier inverse 5 Exercices corrigés 6 Avec Maple Pierre-Jean Hormière _____ 1 Produit de convolution Soient f et g deux fonctions définies sur R, à valeurs réelles ou complexes On nomme

Fonctions intégrables - Institut de Mathématiques de Bordeaux

par la transformée de Fourier Soit g ∈ B , alors, l’eﬀet de la transformée de Fourier sur une translationentrainel’existenced’unentier p ,decomplexes λ

TRANSFORMÉE DE FOURIER DISCRÈTE

Page 8 Chapter I Transformée de Fourier discrète: TFD et TFR c’est-à-dire que la suiteXc(k)=Xc(k/T0) est précisément la TFD de la suite x(n)=x(nTe) 1 4 Comparaison entre la transformée de Fourier et la TFD Soit un signal x(t) et sa transformée de Fourier X(f)

Chapitre 4 : séries de Fourier et transformées de Fourier

Chapitre 4 : séries de Fourier et transformées de Fourier 1 Introduction Les séries de ourierF constituent un outil fondamental dans l'étude des fonctions périodiques C'est à partir de ce concept que s'est développée la branche des mathématiques connue sous le nom d' analyse harmonique

[PDF] transformée de fourier pour les nuls

[PDF] transformée de fourier usuelles

[PDF] transformée de fourier traitement du signal

[PDF] propriété transformée de fourier

[PDF] similitude mécanique des fluides

[PDF] théorème de vaschy-buckingham démonstration

[PDF] similitude de froude

[PDF] similitude dynamique

[PDF] theoreme de prolongement

[PDF] comment montrer qu'une fonction est de classe c1

[PDF] classe c1 maths

[PDF] montrer que f est de classe c infini

[PDF] les effets du dopage

[PDF] contre le dopage argument

[PDF] le dormeur du val contexte historique

Analyse de Fourier

Sylvie Benzoni

1 1 erjuillet 2011 1 Universit´e de Lyon / Lyon 1 / ICJ, benzoni@math.univ-lyon1.fr 2

Table des mati

`eres I S

´eries de Fourier 5

1 Introduction . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5 2 Th ´eorie hilbertienne . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .7

3 Convergence ponctuelle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

II Transformation de Fourier 19

1 Transformation de Fourier des fonctions int

´egrables . . . . . . . . . . . . . . .19

2 Transformation de Fourier surL2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .22

3 Transformation de Fourier surS0. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .26

4 Transform

´ees de Fourier classiques . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .29

5 Applications de la transformation de Fourier . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

5.1 Espaces de Sobolev fractionnaires construits surL2. . . . . . . . . . .31

5.2 R ´esolution d"E.D.P. lin´eaires . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .31

6 Compl

´ements . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .34

6.1 Noyau de Green des ondes en dimension 3s . . . . . . . . . . . . . . .

6.2 Principe de Heisenberg . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

6.3 Th

´eorie de Paley-Wiener . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .36

III Transformation de Fourier discr

`ete 39

1 Cas d"un r

´eseau infini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .39

2 Cas d"un r

´eseau fini . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .40

3 Transformation de Fourier rapide. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

Bibliographie 43

Index45

4TABLE DES MATI`ERES

Chapitre I

´eries de Fourier

1 Introduction

Pourp2N, on noteLp(T)l"espace des (classes de) fonctions mesurables surR, 1- p ´eriodiques (au sens o`uf(x+ 1) =f(x)pour presque toutx2R) et de puissancep-i`eme int ´egrable sur[0;1], que l"on munit de la norme naturelle kfkLp(T)=Z1 0 jf(x)jpdx 1=p: (ParTon d´esigne le"tore»R=Z.) L"espaceL1(T)est celui des (classes de) fonctions essen- tiellement born

´ees, muni de la norme

kfkL1(T)=sup essx2[0;1]jf(x)j: On remarque en particulier l"inclusionLp(T)L1(T)pour toutp1(cons´equence de l"in ´egalit´e de H¨older, sur l"intervalleborn´e[0;1]). Sif2L1(T), on d´efinit sescoefficients de Fourierpar (I.1)cn(f) =Z 1 0 f(x)e2i nxdx; n2Z: La"suite»(index´ee parZ) des coefficients de Fourier(cn(f))n2Zest born´ee : jcn(f)j kfkL1(T);pour toutn2Z:

Autrement dit, les coefficients de Fourier d

´efinissent une application lin´eaire continue : L

1(T)!`1(Z)

f7!(cn(f))n2Z

de norme au plus1, et en fait´egale`a1(atteinte pour la fonction constante´egale`a1). On montre

ˆeme plus pr´ecis´ement que cette application est`a valeurs dans le sous-espace des suites tendant

vers z ´ero, ce qui est l"objet du lemme de base suivant. 5

6CHAPITRE I. S´ERIES DE FOURIER

Lemme I.1 (Riemann-Lebesgue)Pour toutf2L1(T), on a limjnj!1cn(f) = 0:D

´emonstration:On observe que pour toutn2Z,

c n(f) =Z 1 0 f(x+12n)e2i nxdx: Ceci vient du changement de variablesx7!x+ 1=(2n)et du fait que la fonctionx7! f(x)e2i nxest1-p´eriodique. On peut donc aussi´ecrire c n(f) =12 Z 1 0 (f(x)f(x+12n))e2i nxdx; d"o `u la majoration jcn(f)j 12 kfT1=(2n)fkL1(T); o

`uT1=(2n)d´esigne l"op´erateur de translation par1=(2n)enx. Si l"on note plus g´en´eralement

T af:x7!f(x+a), on montre que lim a!0kfTafkL1(T)= 0; quel que soitf2L1(T). Ceci est imm´ediat pour une fonctionfcontinue, par passage`a la limite dans l"int

´egrale sur le compact[0;1]. Dans le cas g´en´eralf2L1(T), cela r´esulte de la densit´e

des fonctions continues dansL1(T)(cons´equence du th´eor`eme de Lusin, voir par exemple Rudin

[4, p. 66]) et de l"invariance de la normeL1(T)parTa, quel que soita2R.Ainsi, en notantC0l"espace des suites index´ees parZtendant vers z´ero`a l"infini, muni de

la norme du sup, l"application f:L1(T)!C0 f7!(cn(f))n2Z est lin ´eaire continue de norme1(encore atteinte pourf1). Elle est de plus injective, c"est-`a- dire que sif2L1(T)est telle quecn(f) = 0pour toutn2Z, alorsf= 0presque partout. Pour le d ´emontrer, c"est`a nouveau plus facile (bien qu"un peu technique) dans le cas d"une fonction fcontinue (voir par exemple [2, pp. 40-41]). Le casf2L2(T)se d´eduira de l"identit´e de

Parseval (th

´eor`eme I.3 ci-apr`es). Le cas g´en´eralf2L1(T)se ram`ene au cas d"une fonction continue en faisant appel `a des propri´et´es assez fines de l"int´egrale de Lebesgue. L"id´ee, pour une fonctionf2L1(T)dont tous les coefficients de Fourier sont nuls, est de consid´erer une "primitive»bien choisie, et plus pr´ecis´ement :

F(x) =Z

x 0 f(t)dt+c; la constantec´etant choisie pour queR1

0F(x)dx= 0(ce qui donnec=Rx

0(t1)f(t)dt).

Puisquec0(f) =R1

0f(x)dx= 0, la fonctionFest1-p´eriodique, donc elle appartient bien`a

1(T). Elle est de plus continue, et mˆeme d´erivable presque partout [4, p. 158] et

0(x) =f(x);pour presque toutx2[0;1]:

2. TH

´EORIE HILBERTIENNE7

Par suite, on peut int

´egrer par parties dans la d´efinition decn(f)et l"on trouve que pourn2Z, c n(F) =cn(f)=(2in) = 0. Comme de plusc0(F) =R1

0F(x)dx= 0, on en d´eduit queFest

identiquement nulle, et donc quefest nulle presque partout. On appelles´erie de Fourierd"une fonctionf2L1(T)la s´erie formelle X nc ne2i nx; sans pr

´esager de sa convergence. On notera

N(f) :x7!NX

n=Nc ne2i nx les sommes partielles de cette s ´erie pour toutN2N: ce sont des fonctions bien d´efinies R!C, appartenant`aLp(T)quel que soitp2N, faisant partie de ce que l"on appelle les polyn

ˆomes trigonom´etriques.

2 Th

´eorie hilbertienne

On observe queL2(T)est unespace de Hilbertpour le produit hermitien hf ; gi=Z 1 0 f(x)g(x) dx naturellement associ

´e`a la normek kL2(T):

kfkL2(T)=hf ; fi1=2: D"autre part, sif2L2(T), alors n´ecessairementf2L1(T)et kfkL1(T) kfkL2(T):

Comme on l"a d

´ej`a fait remarquer, c"est une cons´equence de l"in´egalit´e de H¨older, et plus pr ´ecis´ement ici de l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz : kfkL1(T)=Z 1 0 jf(x)jdxZ1 0 jf(x)j2dx 1=2Z1 0 1 dx

1=2=kfkL2(T):

Par cons

´equent la formule (I.1) permet de d´efinir les coefficients de Fourier de toute fonction f2L2(T). Une observation cruciale pour la suite est que la famille(fn:x7!e2i nx)n2Zest ortho- normale dansL2(T). On v´erifie en effet par le calcul que kfnkL2(T)= 1ethfn; fki= 0quels que soientnetkavecn6=k: Gr ˆace`a cette propri´et´e on a le r´esultat suivant.

8CHAPITRE I. S´ERIES DE FOURIER

Th ´eor`eme I.1 (In´egalit´e de Bessel)Pour toutf2L2(T)et pour toutN2N, (I.2)kSN(f)kL2(T) kfkL2(T):D

´emonstration:Par d´efinition, on a

N(f) =X

jnjNhf;fnifn; d"o `u hSN(f);fSN(f)i= 0 et par suite kfk2L2(T)=kSN(f)k2L2(T)+kfSN(f)k2L2(T):Remarque I.1 il existeN0tel que pour toutNN0,SN(g) =g.Th

´eor`eme I.2Pour toutf2L2(T),

limN!+1kSN(f)fkL2(T)= 0:D ´emonstration:Soientf2L2(T)et" >0. Par densit´e des fonctions continues dansL2(T) (cons ´equence du th´eor`eme de Lusin, voir par exemple`a nouveau Rudin [4, p. 66]), il existef0 continue et1-p´eriodique telle que kff0kL2(T)"=4: Cette application continue1-p´eriodiquef0induit une application continueF0sur le cercle unit

´eCtelle que

0(x) =F0(e2i x):

D"apr `es le th´eor`eme de Stone-Weierstrass, l"applicationF0est limite uniforme de fonctions polyn ˆomiales sur le compactC. On en d´eduit quef0est limite uniforme de polynˆomes trigo- nom

´etriques sur l"intervalle[0;1]. En particulier, il existe un polynˆome trigonom´etriquegtel

que sup [0;1]kf0gk "=4:

Par l"in

´egalit´e triangulaire,

kSN(f)fkL2(T) kSN(f)SN(g)kL2(T)+kSN(g)gkL2(T)+kfgkL2(T)

2kfgkL2(T)+kSN(g)gkL2(T)

d"apr `es l"in´egalit´e de Bessel (I.2). Or, pourNassez grand,SN(g)g=g. On en d´eduit`a nouveau gr

ˆace`a l"in´egalit´e triangulaire,

kSN(f)fkL2(T)2kff0kL2(T)+ 2kf0gkL2(T)":

3. CONVERGENCE PONCTUELLE9

´eor`eme I.3 (Identit´e de Parseval)Sif2L2(T), ses coefficients de Fouriercnforment une famille de carr´e sommable et

(I.3) X n2Zjcnj2=kfk2

L2(T):D

´emonstration:D"apr`es le th´eor`eme I.2,

lim

N!+1kSN(f)kL2(T)=kfkL2(T):

Or gr ˆace`a l"orthonormalit´e de la famille(e2i nx)n2Z, kSN(f)k2L2(T)=X jnjNjcnj2:

Par passage

`a la limiteN! 1on obtient donc imm´ediatement X n2Zjcnj2=kfk2L2(T):Remarque I.2 Inversement, toute suite(cn)n2Z2`2(Z)est la suite des coefficients de Fourier d"une applicationf2L2(T): les sommes partiellesPN n=Ncne2i nxforment en effet une suite de Cauchy dansL2(T)qui est complet, donc convergent vers une fonctionf2L2(T), et hf;e2i mxi= limN!+1hNX n=Nc ne2i nx;e2i mxi=cm quel que soitm2Z.3 Convergence ponctuelle La th ´eorie hilbertienne peutˆetre compl´et´ee en montrant que, sous certaines conditions, la s ´erie de Fourier d"une fonction convergepoint par pointvers cette fonction, et mˆeme uni- form

´ement.

Th ´eor`eme I.4Si les coefficients de Fourier d"une fonctionf2L1(T)forment une famille sommable (cn(f))n2Z2`1(Z), alors lim

N!+1kSN(f)fkL1(T)= 0:

En particulier,fadmet un repr´esentant continu.

10CHAPITRE I. S´ERIES DE FOURIER

D ´emonstration:Si(cn(f))n2Z2`1(Z)alors la suite des sommes partielles(SN(f))N2Nde la s ´erie de Fourier defest de Cauchy donc convergente dansL1(T), et mˆemeC(T). Par in- jection continue deL1(T)dansL2(T), sa limite dansL1(T)co¨ıncide avecf, sa limite dans L

2(T). Ainsifadmet un repr´esentant continu comme limite uniforme d"une suite de fonctions

continues.Corollaire I.1 Sifest une fonction1-p´eriodiquecontinue et de classeC1par morceaux(c"est-`a-dire qu"il existe0x1< ::: < xk1tels quefj[xi;xi+1]soit de classeC1pour touti2 f1;:::;k1g), alors elle est limite uniforme de sa s´erie de Fourier.D

´emonstration:Les hypoth`eses surfpermettent d"´ecrire apr`es int´egration par parties dans chaque

intervalle[xi;xi+1], en utilisant la continuit´e defaux pointsxi: c n(f) =12incn(f0);pour toutn2Z:

Par suite, d"apr

`es l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz dans`2(Z)et l"identit´e de Parseval, X n2Zjcn(f)j X n2Z14n2! 1=2 kf0kL2(T)<+1:Sous des hypoth `eses plus faibles, on peut montrer laconvergence simpledes s´eries de Fou- rier. Th

´eor`eme I.5 (Dirichlet)Sif2L1(T)est de classeC1par morceaux (mais pas n´ecessairement continue), alors

lim

N!+1SN(f)(x) =12

(f(x+ 0) +f(x0)) quel que soitx, o`uf(x+ 0)etf(x0)d´esignent respectivement la limite`a droite et la limite `a gauche defenx.D

´emonstration:On a par d´efinition

N(f)(x) =X

jnjNZ 1 0 f(y)e2i n(xy)dy=Z 1 0 f(xy)X jnjNe

2i nydy :

Notons

N(y) :=X

jnjNe

2i ny:

Ceci d

´efinit une fonction paire,1-p´eriodique (appel´eenoyau de Dirichlet) telle que Z 1 0 K

N(y) dy= 1;

d"o `u en particulierZ1=2 0 K

N(y) dy=Z

0 1=2K

N(y) dy=12

3. CONVERGENCE PONCTUELLE11

Par suite, en r

´ecrivant

N(f)(x) =Z

1=2

1=2f(xy)KN(y)dy ;

N(f)(x)f(x+ 0) +f(x0)2

Z 1=2 0 (f(xy)f(x0))KN(y)dy+Z 0

1=2(f(xy)f(x+ 0))KN(y)dy=

Z 1=2 0 x(y)KN(y)dy ; o `u x(y) :=f(xy) +f(x+y)f(x0)f(x+ 0); y >0: D"apr `es les hypoth`eses surf, la fonction'xest born´ee sur]0;1=2], prolongeable par continuit´e en0, et la fonction prolong´ee est de classeC1sur[0;u]pouru >0assez petit : cette derni`ere propri ´et´e va permettre de compenser le probl`eme pr´esent´e par K

N(y) =sin((2N+ 1) y)sin( y);

a savoir que lim y >!0K

N(y) = 2N+ 1!+1;lorsqueN!+1:

On montre d"abord que pour tout'2L1(T), pour toutu2]0;1=2], lim N!+1Z 1=2 u '(y)KN(y)dy= 0: En effet, pour'2L1(T)etu2]0;1=2], la fonction :y7!1[u;1=2](y)'(y)=sin( y) est le produit d"une fonction born ´ee par une fonction int´egrable, elle est donc int´egrable sur [0;2](on choisit2car c"est la p´eriode dey7!sin((2N+ 1) y)). Il s"agit de montrer queR2

0 (y) sin((2N+ 1) y)dytend vers z´ero lorsqueN!+1. Ceci rel`eve des mˆemes argu-

ments que la d ´emonstration du lemme de Riemann-Lebesgue : en prolongeant en une fonction

2-p´eriodique, on a

Z 2 0 (y) sin((2N+ 1) y)dy=12 Z 2 0 ( (y) (y+ 1=(2N+ 1)) sin((2N+ 1) y)dy ; d"o `uZ 2 0 (y) sin((2N+ 1) y)dy12 Z 2 0 j( T1=(2N+1) )(y)jdy ; ce qui tend vers z

´ero lorsqueN! 1.

En particulier, en appliquant ce qui pr

´ec`ede`a'='x, on a

lim N!+1Z 1=2 u x(y)KN(y)dy= 0:

Pour montrer que

lim N!+1Z 1=2 0 x(y)KN(y)dy= 0;

12CHAPITRE I. S´ERIES DE FOURIER

il reste donc"seulement»`a montrer que lim N!+1Z u 0 x(y)KN(y)dy= 0:

Or on a (pouru >0assez petit)

Z u 0 x(y)KN(y)dy=Z u 0 Zy 0 '0x(t) dt K

N(y)dy=

Z u 0 Zu t K

N(y)dy

'0x(t) dt:

En appliquant le r

´esultat vu plus haut`a la fonction caract´eristique1[t;u], avect,u2]0;1=2], tu, on sait d´ej`a que lim N!+1Z u t K

N(y)dy= 0:

Ceci ne suffit cependant pas pour appliquer le th

´eor`eme de convergence domin´ee : nous avons besoin d"une borne pourRu tKN(y)dyind´ependante deNetdet. Par int´egration par parties on aZu t K

N(y)dy=Z

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[PDF] Transformation de Fourier - Engineering