VI ANALYSE DIMENSIONNELLE ET SIMILITUDE VI1 Introduction

La parabole des aveugles (musée Capodimonte, Naples) Chapitre1: Alexandre Calame, torrentdemontagneparorage (collection pri- 2 Similitude 23

Eléments de Mécanique des - uliegebe

Les problèmes de mécanique des fluides consistent toujours en des phénomènes complexes et variés • Ils peuvent être abordés, moyennant hypothèses simplificatrices : Introduction be simplificatrices : – par résolution analytique d’équations – par résolution numérique d’équations

Similitude en Mécanique

Similitude en Mécanique Sabine Ortiz UME, ENSTA Paris Tech Une alternative à la résolution des équations « Mécanique des Fluides » S Candel, Dunod

Chapitre2:similitude - LHE

Chapitre2:similitude Plan du chapitre Th eorie de la similitude Unit es de mesure Principaux nombres adimensionnels M ethode de Rayleigh Th eor eme de Vaschy-Buckingham Applications en ing enierie my header M ecanique des uides 2 o

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similitude est définit comme ‘tous les nombres sans dimension ont les mêmes valeurs pour le modèle et le prototype ’ La similitude en mécanique de fluide est classifiée en trois : (1) Similitude géométrique, (2) Similitude cinématique, (3) Similitude dynamique Similitude géométrique : toutes les dimensions linéaires du modèle

GCI-1004 : Mécanique des fluides - Université Laval

dimensionnelle et similitude Écoulements permanents en charge: fluide incompressible Conduites Écoulement autour d'obstacles, notions de forces de trainée et de portance Objectifs Ce cours aborde la mécanique des fluides afin de fournir la base fondamentale nécessaire pour aider les

Analyse dimensionnelle et similitude Plan du chapitre 5

2 Analyse dimensionnelle des équations de bilan: - Forme adimensionnelle des équations de continuité et de Navier-Stokes - Critères de similitude 3 Théorème de Buckingham (Théorème de P) 4 Exemples d’application 14 Notion de dimension Les grandeurs physiques pour les systèmes isothermes sont exprimées en fonction des

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traitant la cinématique des fluides, la théorie de la couche limite et l’analyse dimensionnelle et similitude Ce polycopié est conforme aux programmes ministériels de la mécanique des

Notes de cours Mécanique des ﬂuides

– le manuel de cours « Mécanique des ﬂuides » de Rhyming; – le cours « mécanique des ﬂuides: une introduction » par Botsis & Deville; – l’ouvrage « Constructions hydrauliques » de Sinniger & Hager tous publiés aux PPUR (collection Traités de Génie Civil pour les ouvrages de Graf & Altinakar et Sinniger & Hager)

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VI. ANALYSE DIMENSIONNELLE ET SIMILITUDE

VI.1 Introduction

Jusqu'à maintenant nous avons traité les méthodes analytiques pour solutionner les problèmes de m écanique de fluide. Pourtant dans la pratique, ces méthodes ne sont pas toujours satisfaisantes pour les raisons suivantes : (1) souvent des simplifications sont nécessaires pour résoudre les problèmes; (2) une analyse détaillée peut être chère. La méthode alternative est d'utiliser la méthode expérimentale et de dériver des corrélations applicables aux tous les cas rencontrés du même type de problème.

Pour mener à bien une telle étude et analys

e, il faut planifier et organiser bien les procédures expérimentales ; si non, on aura (a) des difficultés techniques, (b) de perte de temps, (c) un coût élevé. Ce-ci sera surtout le cas puisqu'on utilise souvent des modèles dans les conditions expérimentales et certaine fois des fluides différents. L'analyse dimensionnelle nous offre une procédure pour éviter les problèmes éventuels et assurer d'obtenir des corrélations sans dimension qu'on peut utiliser dans les conditions pratiques et d'une façon quasi universelle, i.e. dans les conditions dynamiques similaires incluant avec d'autre fluide qu'on a obtenu ces corrélations. La procédure principale de l'analyse dimensionnelle peut être résumée comme suit : (1) compiler une liste de variables pertinentes soit dépendante ou indépendante pour le problème considéré, (2) en utilisant une technique appropriée, identifier le nombre et la forme des paramètres adimensionnels. Une de ces techniques utilisée est du théorème Pi de Buckingham, que nous allons

étudier la suite.

VI-1

VI.2 Théorème de Buckingham

Nous allons faire les définitions suivantes:

n = le nombre de paramètres indépendants du problème ; j' = le nombre de dimensions de base trouvées dans les n paramètres ; j = le nombre de dimensions de base nécessaires à considérer simultanément ; k = le nombre de termes indépendants qui peut être identifié pour décrire le problème, k = n Les étapes à suivre pour l'analyse dimensionnelle sont :

1. Lister les n paramètres du problème

2. Exprimer les dimensions de chaque paramètre en utilisant les dimensions

de base, (M, L, t, ). Compter le nombre des dimensions de base utilisé, j', dans l'ensemble des paramètres considérés

3. Ttrouver le nombre j en supposant initialement j = j' et chercher les

paramètres répétés qui ne forment pas un produit . Si ce n'est pas possible, réduire j par un et répéter la procédure

4. Choisir j paramètres répétés qui ne forment pas le produit

5. En choisissant les paramètres non répétés, un par un, et mettant ensemble

avec les paramètres répétés, former les ; trouver algébriquement les puissances de chaque paramètre répété pour faire les sans dimension

6. Écrire la combinaison de ainsi trouvé dans une forme de fonction :

k = f( 1 2 i

Exemple 1

Nous considérons le problème de l'écoulement visqueux dans un conduit rond. Nous cherchons à trouver la chute de pression sans dimension en fonction des autres paramètres sans dimension. Les paramètres de ce problème sont : P = chute de pression, V = vitesse moyenne, D = diamètre, L = longueur, = densité, = viscosité, = rugosité. Donc, nous avons P = paramètre dépendant et (V, D, L, paramètres indépendants. Suivant la procédure discutée ci haut, nous aurons :

Solution :

1. Le nombre de paramètres indépendants : n = 7

VI-2

2. La liste des paramètres et leurs dimension en utilisant (M,L,t,) :

Paramètre P V D L

Dimension ML

-1 t -2 Lt -1

L L ML

-3 ML -1 t -1 L Nous avons le nombre de dimensions de base (M,L,t), i.e. j' = 3.

3. Choisir j = j' =3 et les paramètres répétés comme V, D, Ces paramètres ne

peuvent pas former un produit sans dimension. En effet, aucune combinaison de ces trois paramètres peut éliminer la masse M de la densité et le temps t de la vitesse.

4. Cette étape est la même que l'étape 3 ; les paramètres répétés sont V, D, et

j = 3. Donc, k = n = 7 - 3 = 4. Nous allons trouver 4 indépendants.

5. Obtenir les

1 = V a D b c ( Lt -1 a L b (ML -3 c ( ML -1 t -1

Pour que la dimension de

1 soit sans dimension il faut que la puissance de chaque dimension de base soit zéro. Donc, en prenant la somme des puissances de chaque dimension de base, nous pouvons écrire :

M : c + 1 = 0, c = -1

t : -a - 1 = 0, a = -1

L : a + b - 3c -1 = 0, b = -1

Nous avons donc,

1 = VD Nous pouvons l'écrire sans perdre la généralité comme : 1 = VD/ = Re (le nombre de Reynolds) Nous pouvons répéter la même opération pour le paramètre L : 2 = V a D b c L ( Lt -1 a L b (ML -3 c L 1

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