Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f
Deuxième approche : par la règle de l’Hospital Avant de procéder à cette recherche, il est peut-être nécessaire de vous rappeler les conditions d’application de la règle de l’HOSPITAL: En analyse, la règle de l’Hospital (également appelée règle de Bernoulli) utilise les dérivées dans le but de déterminer certaines limites
Exam Analyse 1
I Règle de L’Hospital : Calculer les limites suivantes, en utilisant la règle de l’Hospital : 1°) x e x x 1 lim 2 0 − → 2°) x x x sin 1 cos lim 0 − → II Théorème des valeurs intermédiaires : Montrer que l’équation 3 x x + −= 3 1 0 admet une solution unique sur[0,+∞[ III Théorème des accroissements finis :
BA1 en Sciences économiques MATH-S-101 – « Mathématique
p 105-106 Démonstration règle de de l’Hospital p 110-111 tout ce qui concerne la dérivée logarithmique et l’élasticité p 112-113 Démonstration proposition « si f est deux fois dérivable sur un intervalle I » p 121 Corollaire transparent du bas p 122 et suivantes : tout est supprimé
Dérivées : les grands théorèmes
Guillaume François Antoine de L’Hôpital, marquis de Sainte-Mesme, comte d’Entremont, seigneur d’Oucques, La Chaise, Le Bréau et autres lieux (1661-1704)
Classical logic and the division by zero
Horandstrasse, DE-26441 Jever, Germany Abstract — The division by zero turned out to be a long lasting and not ending puzzle in mathematics and physics An end of this long discussion appears not to be in sight In particular zero divided by zero is treated as indeterminate thus that a result cannot be found out
Frontispiece and title page of Johann Bernoulli’s Opera Omnia
attachassent, car voylà un exemple, qui leur donnera de la besoigne et peutetre plus que leur methode ne pourra faire ” (Joh Bernoulli, letter to de l’Hospital, June 30, 1696) The solutions of Johann Bernoulli, Jakob Bernoulli, Leibniz, de l’Hospital, Tschirnhaus and Newton are published in the Acta Eruditorum of mai 1697 – p 16/43
M102 : Fondements de lanalyse 1
Math102 : Fondements de l’analyse 1 [S1, 5 ECTS] Prérequis : Aucun –(6 h) Nombres réels Propriétés de R (la construction de R n’est pas au programme de cette unité) : opérations sur R Relation d’ordre, R est totalement ordonnée R est archimédien Partie entière Q est dense dans R Valeur absolue Intervalles, voisinages
Extrait de la publication
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encyclopediacom Borel, Émile (F Encyclopedia
Annales de l’École Normale 3rd ser , 12 (1895), 9–55: “Démonstration élémentaire d’un théorème de M Picard sur les fonctions entières,” in Comptes rendus de l’Académie des Sciences, 122 (1896), 1045–1048: “Fondements de la théorie des
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Limite de sinx / x 1 Recherche de la limite lorsque x tend vers 0 de la fonction f(x) = Par Frank Bongongui, Samuël Lin, Ioan T'Kint et Babak Zohrevand. Centre scolaire de Ma Campagne à Ixelles Première approche : Recherche par essais Un premier réflexe lorsqu'on recherche une limite peut être de remplacer x par différentes valeurs de plus en plus proche de 0. • Recherche de la limite à droite. Si x = 0,1 alors = 0,99 x = 0,01 = 0,9999 x = 0,001 = 0,999999833 x = 0,0001 = 0,999999998 x = 0,00001 = 1 • Recherche de la limite à gauche. Si x = -0,1 alors = 0,99 x = -0,01 = 0,9999 x = -0,001 = 0,999999833 x = -0,0001 = 0,999999998 x = -0,00001 = 1 • La limite recherchée est donc 1. Nous connaissons la limite mais ceci n'est pas une démonstration !
Limite de sinx / x 2 Deuxième approche : par la règle de l'Hospital Avant de procéder à cette recherche, il est peut-être nécessaire de vous rappeler les conditions d'application de la règle de l'HOSPITAL: En analyse, la règle de l'Hospital (également appelée règle de Bernoulli) utilise les dérivées dans le but de déterminer certaines limites de quotients lorsqu'on rencontre une indétermination. Si f et g sont 2 fonctions numériques d'une variable réelle telles que • présente un cas d'indétermination du type ou , • il existe un intervalle ouvert centré en a sur lequel * f et g sont dérivables (sauf éventuellement en a) * f et g ne sont ni simultanément nulles, ni simultanément infinies, sauf éventuellement en a, * lim existe Alors lim = lim Revenons au calcul de la limite recherchée : lim = On lève l'indétermination en utilisant le théorème de l'Hospital car les conditions d'application sont vérifiées. lim = lim= = 1 Attention ! Ce procédé est tentant mais scabreux puisqu'on utilise ici la dérivée de sin x, or pour rechercher cette dérivée on a utilisé la lim. Cette démonstration est donc difficilement acceptable.
Limite de sinx / x 3 Troisième approche : à partir de longueurs 1) Il est intéressant de travailler dans le cercle trigonométrique car le rayon est 1 et on y observe 3 longueurs : sin, et tan. Nous remarquons très vite que en divisant par sin α en simplifiant en inversant et prenant la limite 1 1 Le théorème du sandwich peut être appliqué. Donc, la limite de quand tend vers 0 vaut 1. Attention ! Nous rejetons cette démonstration car nous n'avons pas pu démontrer que < tan.
Limite de sinx / x 4 2) Même genre de démonstration mais à partir d'une autre représentation de la tangente La longueur du segment de droite [AM] représente la tangente de puisque tan= On observe que sintan, ce qui est le même point de départ que la démonstration précédente. Quatrième approche : à partir d'aires Cette démonstration s'établira dans un cercle trigonométrique. La fonction sin/ apparaît lorsque nous utilisons les aires des triangles se trouvant sur le schéma ci-dessous. sinα tanα α O
Limite de sinx / x 5 L'aire du triangle OAD est (cos . sin )/2 ; celle du secteur OAC est/2 et enfin l'aire du triangle OBC est (1 . tan )/2. Nous remarquons que l'aire du triangle OAD < l'aire du secteur OAC < l'aire du triangle OBC. En remplaçant les aires par celles calculées ci-dessus cela donne : (cos . sin )/2 < /2 < (tan )/2. On multiplie par 2 et on remplace tan par sin /cos , on obtient : cos . sin < < Pour faire apparaître on divise tout par sin , ce qui nous donne : cos < < . On inverse chaque membre de l'inéquation. L'inéquation devient : > > cos Prenons la limite de tous les termes de l'inéquation lorsque tend vers 0 par des valeurs positives. limlimlim 1 lim 1 Le théorème du sandwich peut être appliqué. Donc, lim=1 Le même type de démonstration à partir d'un dessin symétrique à celui ci-dessus peut être fait pour la limite à gauche. On a donc : la limite de quand tend vers 0 vaut 1. Cinquième approche : à partir de l'aire du disque et du périmètre du cercle 1) En utilisant la notion d'aire Soit un cercle de rayon 1. Nous exprimons son aire de 2 manières : 0 Aire d'un cercle de manière générale est sachant qu'ici r = 1, l'aire du cercle est . 0 On découpe le cercle en une multitude de triangles isocèles avec un angle au centre. Nous constatons qu'il reste un triangle isocèle d'angle au centre plus petit : . Sachant que et = 2- n, on peut dire que lim= 0 (théorème du sandwich) .........
Limite de sinx / x 6 • Aire d'un triangle : En 4ème on a vu que l'aire d'un triangle quelconque est (b.c.sin)/2 L'aire d'un triangle est donc • Aire de n triangles : Comme 2- = n ⇔ n = L'aire de n triangles est donc . L'aire du cercle est égale à la somme des aires de tous les triangles lorsque l'angle tend vers 0 et donc aussi l'angle = lim + lim on regroupe = lim .lim + lim = .lim+ 0 1 = lim 2) En utilisant la notion de périmètre Reprenons la même figure et exprimons le périmètre du cercle de 2 manières : 0 Périmètre d'un cercle de manière générale est r sachant qu'ici r = 1, le périmètre du cercle est 2. 0 On utilise le même découpage en triangles Le côté du triangle opposé à vaut 2sin(/2) en effet si AE est bissectrice sin(/2)= = et donc 2 = lim(n. 2sin(/2)) + lim2sin(/2) = lim. sin(/2) + limsin(/2) = lim (2).lim +0 = 2.lim
Limite de sinx / x 7 = 2.(1/2). lim et donc 1 = lim Sixième approche : à l'aide de la formule de Mac-laurin Pour trouver la limite lorsque x tend vers 0 de, il est utile d'approximer sin x par un polynôme afin de pouvoir le diviser par x. On va utiliser la méthode de Mac-Laurin. Préliminaire : recherche de la formule de Mac-Laurin f(x) = a+ax + ax² + ax³ +...+ ax Vu qu'on cherche la valeur autour de 0, on va donc calculer l'image en 0. f(0) = a Pour l'instant on a le a mais on ne connaît pas le coefficient des autres termes en x de notre polynôme. Pour les trouver, on va donc rechercher les dérivées successives en zéro: f '(x)= a+ 2ax + 3 ax² + 4 ax³+ ... + n ax f '(0)= a f ''(x)= 2 a+ 2 . 3 ax + 3.4 ax² + ... + (n-1). n ax f ''(0)= 2 a f '''(x)=2.3 a+ 2.3.4 a x + ... + ( n-2)(n-1) n a x f '''(0)= 2.3 a On voit que l'on obtient: f(x)= f(0) + f '(0) +f ''(0)+f '''(0)+...+f(0) Revenons au calcul de limite On applique le développement de Mac-Laurin à la fonction sin x et on obtient : sin x = sin 0 + cos 0 - sin 0 - cos 0 + sin 0+ cos 0 +...
Limite de sinx / x 8 sin x = - + - + ...+(-1) =-(-1) et donc lim Donc la lim Utilité Il nous a semblé utile, après avoir recherché et critiqué tant de démonstrations, de recherché l'utilité de cette limite. En voici trois applications. 1) Remplaçons par 0 dans cette fonction, nous obtenons un cas d'indétermination () qu'il faut lever. Si nous multiplions par le binôme conjugué du numérateur, nous pouvons faire apparaître la limite de . Donc, . Par la propriété de la limite d'un produit qui est le produit des limites, nous obtenons finalement : . 2) La dérivée de la fonction sin α est cos α = Par la propriété de la limite d'un produit et d'une somme, on a Nous aurions pu aussi calculer cette dérivée en utilisant les formules de Simpson, au lieu de développer.
Limite de sinx / x 9 3) Intégration numérique de Nos méthodes habituelles ne fonctionnent pas pour calculer . Le programme de graphmatica non plus, il signale un problème en x=0 même si son graphique ne le montre pas. En utilisant la limite trouvée et la décomposition en 3 trapèzes, on trouve rapidement == avec une petite erreur qu'on pourrait minimiser avec un découpage plus fin. Remarque :Nous aurions aussi voulu comprendre son utilité dans les séries de Fourier mais cela nous semblait compliqué pour le peu de temps que nous pouvions y consacrer. Bibliographie: • www.ies-co.jp/math/java/calc/LimS • Actimath 5 H.Delfeld - F.Pasquasy - I.t'Kindt-Demulder - M.-M. Timmermans Ed Van In • Article de "The college mathematics journal" n°2 mars 1990 "The function sinx/x" de William B. Gearhart et Harris S.Shultz
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