[PDF] Transformations géométriques : rotation et translation

math series T - Examens & Concours

4- Colin”arit” de deux vecteurs : a) condition de colin”arit” b) d”terminant de deux vecteurs 5- Changement de rep‘re par translation 6- Equations de droites a) Vecteur directeur b) Equation cart”sienne, syst‘me dÕ”quations param”triques c) Passage dÕune ”quation cart”sienne ‹ un syst‘me dÕ”quations param

math series G - APAMS

acquis dans le cycle moyen Construire le vecteur somme de plusieurs vecteurs Connafltre et utiliser lÕ”quation cart”sienne dÕune droite crire lÕ”quation dÕun cercle dont on connaflt le centre et le rayon Calculer le d”terminant de deux vecteurs

Al3 : Déterminants

vecteurs, des n-uplets d’éléments de K, si on confond les deux on se perd II 1 Application multilinéaire Une application f: E1 £¢¢¢En ¡F définie sur un produit E1 £¢¢¢En d’espaces vectoriels à valeurs dans un espace vectoriel F est dite multilinéaire lorsque, pour tout i, pour tout

Transformations géométriques : rotation et translation

dans le repère A : •La position de P, exprimée dans le repère A, est donc l’addition des deux vecteurs et : 178 x A y A x r y r 10 5 réf A réf B P B AT BP B AAP P T B B B AA AA x y B B T T º » »¼ Tous cela fonctionne tant que les repères A et B ont la même orientation Sinon, il faut tenir compte des rotations

Me thodes mathe matiques pour physiciens 2 LP207

- somme de deux vecteurs de me^me origine : c'est la fameuse r egle du paralle logramme, voir gure 1(b) 1 Pluto^t que la e che, on utilise souvent dans les livres des caracte res gras pour repre senter un vecteur OM : pas tre s facilesa fairea la main ou au tableau noir ::: J -B Z 24 Juin 2011

Exercice 4P184 BE DC⃗ CF⃗ BF⃗ - dimension-kcom

Il nous faut commencer par trouver un repère dans lequel travailler (généralement on vous le donne pour vous faciliter la vie) Quand on regarde l’énoncé on voit que tout tourne autour du point A et qu’on utilise deux vecteurs comme

Chapitre 4 Valeurs propres, vecteurs propres Diagonalisation

tinctes, elle est diagonalisable `a condition de “passer dans les complexes” ; ses vecteurs propres sont alors eux-mˆemes a` composantes complexes, comme on verra ci-dessous Sur R,enrevanche,lamatricen’estpasdiagonalisable(pourα =0 ,π) ’ Trace et de´terminant en termes des valeurs propres

Inte´gration Questions de cours Annexe A : Fondements 01

et du de´terminant de ces deux vecteurs en fonction de leurs coordonne´es ? 6 Interpre´ter la valeur absolue du de´terminant de deux vecteurs du plan en terme d’aire 7 Rede´montrer cette dernie`re formule 0 3 2 Droites dans le plan Soit (a,b,c) ∈ R3 et ax+by+c = 0 l’e´quation carte´sienne d’une droite D du plan dans un

Colinéarité

deux vecteurs sont colinéaires ou non Donner des exemples de vecteurs co-linéaires et non colinéaires Dire si trois p oints sont alignés ou non Dire si deux droites sont rallèles pa ou non Déterminer les cordonnées o d'un p oint de façon à ce qu'il soit aligné avec deux autres p oints ou que droits soient rallèles pa 5

math 2de S - Examens & Concours

vecteurs˚: § ”galit” § addition § multiplication d’un vecteur par un r”el § colin”arit” ¥ On montrera l’utilit” de l’outil vectoriel dans d’autres disciplines ¥ On utilisera des combinaisons lin”aires de vecteurs sans en donner la d”finition Elles permettront en particulier de faire des d”compositions de vecteurs

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173

Transformations

géométriques : rotation et translation

Repères

En robotique, on doit constamment transférer

174
xm ym 12 7 référentiel carte/global

Coordonnées du repère (robot):3

1

Coordonnées globales du repère:12

7

Autre exemple : caméra

Si les objets sont directement en coordonnées de la caméra, on peut facilement calculer une image GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile175

1 0 0 0

0 1 0 0

1 0 0 1/ 01

y z x A P A

AuAvAf

coordonnées 3D coordonnées image 2D

Autre exemple : caméra

facilement. 176
le référentiel du monde (global) = référentiel caméra

Convention sur la notation

Point Pdéfini dans le repère B:

de B, selon les axes de B, et se terminant à P GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile177 xB yBP BP

Transformation pour repères translatés

dans le repère A : La position de P, exprimée dans le repère A, est 178
xA yA xr yr 10 5 réf. A réf. B P B AT B ATBPB

AABP P T

B B AA AA x x x y y y B B P P T P P T

Tous cela fonctionne tant

que les repères A et B ont la même orientation. Sinon, il faut tenir comptedes rotations.

DĠfinir l'opĠration de rotation

Correspond à déplacer un point (vecteur), avec antihoraire Opération linéaire*: multiplication de matrice 179
x y

21cos sin, sin cosR P RP

TT P1 (prémultiplication)

Exemple rotation 2D

Rotation de =15o †ǯ— rectangle autour de (0,0) : on applique cette équation pour chaque point GLO-4001/7021 Introduction à la robotique mobile180 % Rotation d'un rectangle

P(:,1) = [0 0]';

P(:,2) = [2 0]';

P(:,3) = [2 1]';

P(:,4) = [0 1]';

angle = 15*pi/180; % radian

R = [cos(angle) -sin(angle) ; ...

sin(angle) cos(angle) ];

P2 = R*P; %rotat. sur tous les points

PP2 2 1 1 2 1 1 cos15 sin15 0.9659 0.2588

0.2588 0.9659sin15 cos15

oo oo x x x y y y

Transformation pour des repères pivotés

Soit le repère B pivoté de =45opar rapport à A. Soit un point Pdéfini dans ce repèreB: BP=(9,16) xA yA réf. A AAB

BP R P

-4.9 17,7 cos(45 ) sin(45 ) sin(45 ) cos(45 4.9

17.71)

9 6 oo oo

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