math series T - Examens & Concours
4- Colin”arit” de deux vecteurs : a) condition de colin”arit” b) d”terminant de deux vecteurs 5- Changement de rep‘re par translation 6- Equations de droites a) Vecteur directeur b) Equation cart”sienne, syst‘me dÕ”quations param”triques c) Passage dÕune ”quation cart”sienne ‹ un syst‘me dÕ”quations param
math series G - APAMS
acquis dans le cycle moyen Construire le vecteur somme de plusieurs vecteurs Connafltre et utiliser lÕ”quation cart”sienne dÕune droite crire lÕ”quation dÕun cercle dont on connaflt le centre et le rayon Calculer le d”terminant de deux vecteurs
Al3 : Déterminants
vecteurs, des n-uplets d’éléments de K, si on confond les deux on se perd II 1 Application multilinéaire Une application f: E1 £¢¢¢En ¡F définie sur un produit E1 £¢¢¢En d’espaces vectoriels à valeurs dans un espace vectoriel F est dite multilinéaire lorsque, pour tout i, pour tout
Transformations géométriques : rotation et translation
dans le repère A : •La position de P, exprimée dans le repère A, est donc l’addition des deux vecteurs et : 178 x A y A x r y r 10 5 réf A réf B P B AT BP B AAP P T B B B AA AA x y B B T T º » »¼ Tous cela fonctionne tant que les repères A et B ont la même orientation Sinon, il faut tenir compte des rotations
Me thodes mathe matiques pour physiciens 2 LP207
- somme de deux vecteurs de me^me origine : c'est la fameuse r egle du paralle logramme, voir gure 1(b) 1 Pluto^t que la e che, on utilise souvent dans les livres des caracte res gras pour repre senter un vecteur OM : pas tre s facilesa fairea la main ou au tableau noir ::: J -B Z 24 Juin 2011
Exercice 4P184 BE DC⃗ CF⃗ BF⃗ - dimension-kcom
Il nous faut commencer par trouver un repère dans lequel travailler (généralement on vous le donne pour vous faciliter la vie) Quand on regarde l’énoncé on voit que tout tourne autour du point A et qu’on utilise deux vecteurs comme
Chapitre 4 Valeurs propres, vecteurs propres Diagonalisation
tinctes, elle est diagonalisable `a condition de “passer dans les complexes” ; ses vecteurs propres sont alors eux-mˆemes a` composantes complexes, comme on verra ci-dessous Sur R,enrevanche,lamatricen’estpasdiagonalisable(pourα =0 ,π) ’ Trace et de´terminant en termes des valeurs propres
Inte´gration Questions de cours Annexe A : Fondements 01
et du de´terminant de ces deux vecteurs en fonction de leurs coordonne´es ? 6 Interpre´ter la valeur absolue du de´terminant de deux vecteurs du plan en terme d’aire 7 Rede´montrer cette dernie`re formule 0 3 2 Droites dans le plan Soit (a,b,c) ∈ R3 et ax+by+c = 0 l’e´quation carte´sienne d’une droite D du plan dans un
Colinéarité
deux vecteurs sont colinéaires ou non Donner des exemples de vecteurs co-linéaires et non colinéaires Dire si trois p oints sont alignés ou non Dire si deux droites sont rallèles pa ou non Déterminer les cordonnées o d'un p oint de façon à ce qu'il soit aligné avec deux autres p oints ou que droits soient rallèles pa 5
math 2de S - Examens & Concours
vecteurs˚: § ”galit” § addition § multiplication d’un vecteur par un r”el § colin”arit” ¥ On montrera l’utilit” de l’outil vectoriel dans d’autres disciplines ¥ On utilisera des combinaisons lin”aires de vecteurs sans en donner la d”finition Elles permettront en particulier de faire des d”compositions de vecteurs
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Chapitre4.Valeurspropres, vecte urspropres.Diagonalis ation.49 Chapitre4.Valeursprop res,ve cteurspropres.Diagon alisation. Etantdonn´ee unematricecarr´eeA,oncherche`alamettresousuneformesemblable(au sensduch ap.1, (4.4))particuli` erementsim ple,`asavoirunefo rmediagonale.Autre ment ditonche rcheunebas edanslaquelleseuls les ´el´ement sdiagonauxdelamat riceson t nonnuls. Onverraquece lan'est pastoujourspossibl e,mais quelesv aleurssus ceptibles ment. Lesim plicationsphysiquesdecetteop´erationde "diagonalisation",dansdesprobl`e mes impliquantdesoscillateursm´ ecaniques ou´electriquescoupl´es,sontimportanteset seront discut´eesensuite.Maisilexist ebiend'autresprobl`eme sphysiqueso`ucesconceptssont importants.Signalonsainsiqu'enPhys iqueQuantique,o`ulesquan tit´esobservablessont
repr´esent´eespardesop´erateurslin´eairesa gissantsu rl'espacevectorieldes´etats(oudes
"fonctionsd'onde"),lesvaleu rspropresdecesop´erateu rsconstituentlesvaleurssuscepti- blesd'ˆetre observ´eesdansuneexp´e rience...1.Ve cteursetvaleurspropres
1.1.D´efi nitionsdebase
Consid´eronsunematricecarr´eediag onalen!n,c'est-`a-diredelaforme a ij i ij cequ 'on´ecriraencoreA=diag(! 1 n Si#e i ,i=1,···,nd´esignentlesvecteursdela baseo`uAacetteforme,onvoitque Ae i i e i o`ue i estla matrice colonnerepr´esentant#e i ,soit(e i j ij Celanousm` ene`alad´efin itionsuivante, pourun ematri ceAcarr´eequelconque D´efinition:SoitAunema tricecarr´ee,soitXunve cteur(matricecolonne) nonnultel queAX=!X,(1.1)
J.-B.Z.23F´ evrier2013
50M´ethodesmath´ematiquesp ourphysiciens2.LP207
avec!unnom brer´eel(ouco mplexe,voirplusbas ).OnditqueXestvecteurpropredeA pourlavaleurpropre!. Onvi entdevoirquesil amatri ceAestdi agonale,alorschaquevecteurdeba seestun vecteurproprepourla valeurpropredonn´ eeparleterme correspondantdeladiagonale deA. R´eciproquement,supposonsquel'onaittrouv´e nvecteurspropreslin´ eairementind´ependants X i (unehypoth `esepasinnocente,commeonvale voir).Alor scesX i peuventˆetrechoisis commenouvelleb asedel'espacevectoriel,etdan scettebase,Aestd iagonale.Unetelle matriceestditediagonalisable.Autrementdit,silamatriceAestdi agonalisable,ilexiste unema triceVtellequeV !1AVsoitunemat ricediagon aledevaleurspropres,
V !1AV=!=diag(!
1 2 n 10···0
0! 2···0
00···!
n "#A=V!V !1 (1.2) Maistoutema tricen'estpasdia gonalisable.Ainsicommeonvale voirpl usbas,lamatr ice "triangulairesup´erieure" 1a 01 n'estpasdiagonalisable.1.2.Valeu rspropresd'unematricesi nguli`ere
Supposonsquelamatric eAestsin guli`ere.CelasignifiequesesnvecteurscolonnesA j ne sontpasind ´ependants( cfchap.1,Th´eor`emedu§4.6),doncqu' ilexistennombresnon tousnulsx j telsque j x j A j =0,soitencore $i=1,···,n j a ij x j =0.(1.3)Celaexprim equelevecteurXdeco mposantesx
j estvect eurpropredeApourlavale ur proprenulle.Lar ´eciproqueest´ev idente: lacondition(1.3)expr imelad´ependancelin´ea ire descolo nnesdeA,donclefaitqu'elleestsinguli`ere. Proposition1:Unematri ceestsinguli`ere(no ninversi ble)ssielleadmetlava leurpropre 0.23F´ evrier2013J.-B.Z.
Chapitre4.Valeurspropres, vecte urspropres.Diagonalis ation.511.3.Sous- espacepropre.
SoientXetYdeuxvect eurspropresdeAdemˆ emevaleurpropre:AX=!X,AY=!Y. Iles tclairque toutecombinais onlin´eai redeXetYestau ssivecteurprop repourlavaleu r propre!:A($X+%Y)=!($X+%Y).Le svecteursp ropresdeApouruneva leurpropr e donn´ee!formentdoncunsous-e spacevector iel,ap pel´eespacepropredel avaleurpropre Proposition2:Deuxvecteu rsproprespourdeuxvaleur spropres!%=µsont n´ecessairementind´ependants. Preuve.SoientXunv ecteurproprepourlavale urpropre!etYunve cteurpropre deuxnombre saetbnontousde uxnuls:suppos onsparex emplebnonnul.A ppliquant A`ac ett ere lat ion ,on aur ait 0=A(aX+bY)=a!X+bµY=0,soituneautrerelation lin´eaireentreXetY.Encombinantcesdeuxrelations(parexemple,!foislaprem i`ere moinslasecond e),ona uraitb(!&µ)Y=0,avecb%=0etY%=0,cequiimplique!=µ contrairement`al'hypoth`ese.Laproposi tionest d´emontr´ee. Plusg´en´e ralementond´emontre(parr´ecurrence)queqvecteursproprescorresp ondant`aq valeurspropresdisti nctessontn´ecessaire mentlin´eairementind´epen dants. Corollaire1:Siunem atr icecarr´een!nposs`edenvaleurspropresdisti nctes,cette matriceestdiagona lisable. Ene etelle poss`edealorsnvecteurspropresind´epe ndants(Prop.2),onpeu tleschoisir commebase,etlama triceestdonc di agonal isable. Proposition3:Unematri ceestdiagonalisabl essilaso mmedesdimensionsdesesespaces propresest´egale` an.1.4.Polyn ˆomecaract´eristique
Soit!uneva leurpropredeA.Nousr´ecrivonslacondition(1.1)souslaforme (A&!II)X=0.(1.4) Commeonl'avu` alapro position1 ci-de ssus,l 'exist enced'unve cteurXsatisfaisant(1.4) estla conditi onn´ecessaireetsu santepourque A&!IIso itsinguli`er e.Maisserappelant leTh ´eor`emefondamentalduchapitre2 (§3),cela est´equivale nt`adet(A&!II)=0.J.-B.Z.23F´ evrier2013
52M´ethodesmath´ematiquesp ourphysiciens2.LP207
Pourunemat ricecarr´ een!n,l'expression
P(z)=det(A&zII)(1.5)
estun polynˆ omedelavariablez,dedegr´enenr aisondelamultili n´earit ´edud´ eterminant.
D´efinition:Cepo lynˆomeestappel´epolynˆomecaract´eristiqu edeA. Onvi entdevoirquetou tevale urpropreest uneracine dupolynˆomecaract´e ristique. R´eciproquement(grˆaceaufaitquetoutesles propositionsimpliqu´eessontdesconditions n´ecessairesetsu santes),touteracinede P(z)estunevaleurpropredeA. Th´eor`eme1:Lesva leurspropressontlesra cinesdupolynˆomecara ct´eristique. Selonquel'ontr availl esurR,ensembledesnombresr´eels,ousurC,leschosessont unpe udi ´erentes.SurClepo lynˆomecaract´eristiqueaex actementnracines,distinctes ounon ("th´e or`emefondamentaldel'alg`ebre").Onp eutdonc´e crireP(z)=det(A&zII)=
n i=1 i &z)(1.6) aveclecoe cientdez n´ega l`a (&1)
n (pourquoi?).Parcontreilpeu tarriv erquele polynˆomecaract´eristique n'aitpasderacinesurR,auquelcaslamatriceAn'apasde valeurproprer´ee lle,ouqu'iln'aitq uen1.Soi tA=
211&1 P(z)= 2&z1 1&1&z =(2&z)(&1&z)&1=z 2 &z&3 etad euxr acinesdisti nctes 1 2 (1±