[PDF] MATHEMATIQUES Orthogonalité et distances dans l’espace

MATHEMATIQUES Orthogonalité et distances dans l’espace

aire(BIG) ×FH = 1 3 aire(BIG) × 2 3 = 2 9 aire(BIG) Comme d’après la question précédente le volume du tétraèdre vaut 1 6 on obtient l’égalité : 2 9 aire(BIG) = 1 6 On trouve alors : aire(BIG) = 1 6 × 9 2 = 3 4 Exercice 3 1 a Pour t = 0 on a S1(0)(140 ; 105 ; −170) b On sait que les sous-marins se déplacent à vitesse

CHAPITRE 5 ~Notes de cours et exercices~

L’aire de la base de ce prisme ayant un très grand nombre de côtés est approximativement égale à l’aire d’un disque Rappel : Dans un cercle : C = _____ A = _____ De quelle façon pourrais-tu calculer l’espace occupé par cet empilement de sous (cylindre)? Volume d’un cylindre :

Sujet et corrigé mathématiques bac s, obligatoire, Inde

18MASOIN1 Page 7/8 EXERCICE 4 (5 points) Candidats n’ayant pas suivi l’enseignement de spécialité Dans l’espace muni du repère orthonormé (O ; , ,ı k) d’unité 1 cm, on considère les points

Exercices de géométrie - Pyramides, cônes et sphères (CS)

Exercice GMO-CS-2 Mots-clés: 9S, pyramide, aire 3D, surface 3D Calcule l’aire des deux pyramides ci-dessous On demande bien de calculer l’aire et non le volume Exercice GMO-CS-3 Mots-clés: 9S, cône, volume, aire 3D, développement, surface 3D L’image ci-dessous représente un cône circulaire droit, appelé aussi cône de révolution

Sujet et corrigé du bac en mathématiques, série S

EXERCICE 4 [ Inde, Pondichéry 2016 ] 1 L’aire du rectangle OPMQ est-elle constante quelle que soit la position du point M sur C ƒ ? Non Justifions le L’aire du rectangle OPMQ est: Longueur x Largeur = ƒ ( ¥ ) x ¥ => ( ¥ ) = 2 ¥ – ¥ ln ¥ (2) Comme l’aire

ESPACE 5ème - TuxFamily

ESPACE 5ème Exercice 8 Un cylindre de révolution a pour base un cercle de rayon 3 cm et pour hauteur 5 cm 1) Faire un dessin en perspective cavalière 2) Calculer la longueur de sa face latérale (rectangle)

Exo7 - Exercices de mathématiques

2 n’est pas un sous-espace vectoriel 3 E 3 est un sous-espace vectoriel 4 E 4 n’est pas un sous-espace vectoriel Indication pourl’exercice3 N 1 Discuter suivant la dimension des sous-espaces 2 Penser aux droites vectorielles Indication pourl’exercice4 N 1 E 1 est un sous-espace vectoriel de R3 si et seulement si a =0 2 E 2 est

Exo7 - Exercices de mathématiques

Aau sous-espace vectoriel des matrices antisymé-triques Correction H [005792] Exercice 8 ** Soit (e 1;e 2;e 3) une base orthonormée directe d’un espace euclidien orienté E de dimension 3 Matrice de la rotation d’angle p 3 autour de e 1 +e 2 Correction H [005793] Exercice 9 *** Soit A une matrice carrée réelle symétrique positive de

SECTIONS DE SOLIDES EXERCICES CORRIGES

Cours et exercices de mathématiques M CUAZ, http://mathscyr free SECTIONS DE SOLIDES - CORRECTION Exercice n°1 1) Le volume de la pyramide ABCDE vaut ()

174 EXERCICES SUPPLÉMENTAIRES — PARTIE II

d’un sous-espace de Rn de dimension n ´ m avec l’orthant positif Le vecteur c constitue le gradient de la fonction linéaire cx, et donc est un vecteur-ligne Nous verrons plus tard que l’hypothèse que les lignes de A sont linéairement indépen-dantes n’est pas très restrictive 4 2 Solutions de base réalisables

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Terminale

MATHEMATIQUESOrthogonalité et distances dans l"espace : entraînement (corrigé)

Exercice 1

L"espace est rapporté au repère?

A;-→AB,-→AD,-→AE?

1.Dans le repère?

A;-→AB,-→AD,-→AE?

, les coordonnées des sommets du cube sont : A(0; 0; 0),B(1; 0; 0),D(0; 1; 0),E(0; 0; 1),C(1; 1; 0),F(1; 0; 1),H(0; 1; 1),G(1; 1; 1). Le pointIest le milieu de [BF] doncIa pour coordonnées?

1; 0;1

2? Le pointJest le milieu de [BC] doncJa pour coordonnées? 1;1 2; 0? Le pointKest le milieu de [CD] doncKa pour coordonnées?1

2; 1; 0?

2.Le vecteur-→AGa les mêmes coordonnées que le pointGc"est-à-dire (1; 1; 1).

IJa pour coordonnées?

1-1;1

2-0; 0-12?

0;12;-12?

AG.

IJ= 1×0 + 1×1

2+ 1×?

-12? = 0 donc-→AG?-→IJ

JKa pour coordonnées?1

2-1; 1-12; 0-0?

-12;12; 0? AG.

JK = 1×?

-1 2? + 1×12+ 1×0 = 0 donc-→AG?--→JK

Les vecteurs

IJet--→JKne sont pas colinéaires; le vecteur-→AGest orthogonal à deux vecteurs non colinéaires

du plan (IJK) donc il est normal au plan (IJK).

3.Le pointMest sur la droite (AG) donc les vecteurs-→AGet--→AMsont colinéaires et par conséquent il existe

un réelttel que--→AM=t×-→AG. De plus,Mest sur le segment [AG], on en en déduit quet?[0 ; 1].

4.En notant (x;y;z) les coordonnées du pointM, puisqueAest l"origine du repère, le vecteur--→AM a pour

coordonnées (x;y;z). De plus commeGa pour coordonnées (1; 1; 1), le vecteurt-→AGa pour coordonnées

(t;t;t) et par suite, on obtientx=t,y=tetz=t.

Le pointMa donc pour coordonnées (t;t;t).

On aIM2= (t-1)2+ (t-0)2+?

t-1 2? 2 =t2-2t+ 1 +t2+t2-t+14= 3t2-3t+54

5.Le trinômeax2+bx+caveca >0 est minimal pourx=-b

2a, donc 3t2-3t+54est minimal pourt=--32×3

donc pourt=1 2. MI

2doncMIest minimal pourt=1

2; cela correspond au pointMmde coordonnées?12;12;12?

www.mathGM.fr1

Exercice 2Les coordonnées des sommets du cube sontA(0 ; 0 ; 0),B(1 ; 0 ; 0),C(1 ; 1 ; 0),D(0 ; 1 ; 0),E(0 ; 0 ; 1),

F(1 ; 0 ; 1),G(1 ; 1 ; 1) etH(0 ; 1 ; 1).

1.I, milieu de [EH], a pour coordonnéesI?

0 ;1 2; 1? . etJ, milieu de [FB], a pour coordonnéesI?

1 ; 0 ;12?

2. a.Soit?nle vecteur de coordonnées(((((1

-2

2)))))

Le vecteur

BGa pour coordonnées(((((011)))))

et le vecteur-→BIa pour coordonnées(((((-1 1/2

1)))))

?n·--→BG= 1×0 + (-2)×1 + 2×1 = 0 donc?n?--→BG ?n·-→BI= 1×(-1) + (-2)×1

2+ 2×1 = 0 donc?n?-→BI

Les vecteurs

BGet-→BIne sont pas colinéaires donc ce sont deux vecteurs directeurs du plan (BGI). Donc

le vecteur?nest orthogonal à deux vecteurs directeurs du plan (BGI) donc le vecteur-→n est un vecteur

normal au plan (BGI). b.Le pointK, milieu du segment [HJ], a pour coordonnées

K?0 + 1

2;1 + 02;1 +1

2 2? soitK?12;12;34? Le pointKappartient au plan (BGI) si et seulement si il existe deux réelsaetbtels que : BK=a--→BG+b-→BILe plan (ABC) est l"ensemble des pointsM de l"espace tels que--→AM=x--→AB+-→ACoùxet ysont des nombre réels.

Caractérisation des points d"un plan

Le vecteur--→BKa pour coordonnées(((((-1/2 1/2

3/4)))))

Comme

BGa pour coordonnées(((((011)))))

et-→BIa pour coordonnées(((((-1 1/2

1)))))

, l"égalité vectorielle--→BK= a 1

2=a×0-b

1

2=a+12b

3 4=a+b

Ce système a pour solutiona=1

4;b=12.

On en déduit que

BK=1

4--→BG+12-→BI.

Par conséquent le pontKest bien dans le plan (BGI).On dit que--→BKs"écrit comme combinaison de

deux vecteurs non colinéaires du plan (BGI).

Remarque

Pour montrer queKest un point de (BGI) on montre que les vecteurs?n(vecteur normal de (BGI)) et--→BK

sont orthogonaux. ?n·--→BK=-1

2×1 +12×(-2) +34×2 = 0.

Donc?n?--→BKet par suiteK?(BGI).

Autre méthode

www.mathGM.fr2

3. a.Le triangleFIGest isocèle de sommet principalI. Sa hauteur issue deIvaut 1 et sa baseFGvaut 1.

Donc son aire est égale à

1×1

2=12. E FGH I Le volumeVdu tétraèdreFBIGest doncV=13(aire deFIG)×BF=13×12×1 =16.

b.En utilisant la formule fournie dans l"énoncé, la distance du pointFau plan (BGI) en prenant le point

Gdu plan (BGI) comme pointM, on a :

FH=|--→FG·?n|

||?n|| Comme

FG(((((010)))))

et?n(((((1 -22))))) ,--→FG·?n= 0×1 + 1×(-2) + 0×2 =-2 et||?n||=?

12+ (-2)2+ 22= 3

Ainsi,FH=| -2|

3=23.

c.En prenant comme base le triangleBGIpour calculer le volume du tétraèdreFIBGest donné par :

1 Comme d"après la question précédente le volume du tétraèdrevaut1

6on obtient l"égalité :

2

9aire(BIG) =16

On trouve alors :

aire(BIG) =1

6×92=34

Exercice 3

1. a.Pourt= 0 on aS1(0)(140 ; 105 ;-170) .

b.On sait que les sous-marins se déplacent à vitesse constante. Le premier sous-marin a parcouru la distance

ABavecA=S1(0) etB=S1(1) en une minute.

A(140 ; 105 ;-170) etB(80 ; 15 ;-200)

doncAB=?

602+ 902+ 302=⎷12600 = 30⎷14.

La vitesse du premier sous-marin est donc de 30⎷

14 mètres par minutes soit 1,8⎷14≈6,73 km.h-1.

c.On considère les pointsAetBdéfinis précédemment SoitCle point de l"espace à la verticale deBet ayant la même profondeur queA A BC www.mathGM.fr3 Ainsi (ABC) est le plan vertical contenant la trajectoire du premier sous-marin. AppelonsBle point atteint par le sous-marin au bout d"une minute :B(80 ; 15 ;-200). D"après la définition de la vitesse, celle-ci 30⎷

14 est égale à la distanceAB.

Ca la même abscisse et la même ordonnée queB, mais la cote deA: C(80 ; 15 ;-170). On a donc dans le triangle rectangleABC: sin?BAC=BC

AB=3030⎷14=1⎷14.

La calculatrice donne au dixième près :α≈15,5degres.

2.Au début de l"observation, le second sous-marin est situé aupointS2(0) de coordonnées (68 ; 135 ;-68)

et atteint au bout de trois minutes le pointS2(3) de coordonnées (-202 ;-405 ;-248) avec une vitesse

constante.

Les coordonnées deS2sont?????x

2(t) =x2(0) +at

y

2(t) =y2(0) +bt

z

2(t) =z2(0) +ctoù(((((a

b c))))) sont les coordonnées (constantes) du vecteur vitesse.

Au bout de trois minutes, on a :?????x

2(3) =x2(0) + 3a= 68 + 3a=-202

y

2(3) =y2(0) + 3b= 135 + 3b=-405

z

2(3) =z2(0) + 3c=-68 + 3c=-248.

On en déduit :

?a=-90 b=-180 c=-60doncS2(t)?????x

2(t) = 69-90t

y

2(t) = 135-180t

z

2(t) = 68-60t.

Les deux sous-marins ont à la même profondeur siz1(t) =z2(t) donc si : -170-30t=-68-60t??30t= 102??t= 3,4 min www.mathGM.fr4quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18