[PDF] Analyse 2 - Accueil

LA NATURE ET LA FONCTION D’UN MOT DANS UNE PHRASE

LA NATURE ET LA FONCTION D’UN MOT DANS UNE PHRASE En bref Analyser un mot, c’est trouver quelle est sa nature, c’est-à-dire sa classe grammaticale (nom, adjectif, verbe, etc ) et quelle est sa fonction (sujet, complément, etc ) dans une phrase On n’ana-lyse pas un mot en dehors d’une phrase

FICHE D’EXERCICES : NATURES ET FONCTIONS

Exercice 8 : indiquer la classe grammaticale des mots en gras et la fonction des groupes de mots soulignés : Phrase Classes grammaticales du mot en gras Fonction du groupe souligné 1/ Ma sœur est grande 2/ J’ai parlé à mon frère 3/ Il veut acheter une grande maison 4/ Hier, il a fait très chaud 5/ Elle est venue à pied

FICHE D’EXERCICES : NATURES ET FONCTIONS

Boire et prendre le volant est un acte dangereux Rendons-nous au jardin public Je vais au marché CVI CVD complément du nom « tortue » CVI CN adjectif attribut CVD sujet de la phrase CV lieu CV lieu Exercice 8 : indiquer la classe grammaticale des mots en gras et la fonction des groupes de mots soulignés :

Classes et fonctions grammaticales - Académie de Lille

La fonction épithète Le mot ou les mots donnent des précisions sur le nom Ils sont placés juste avant ou juste après le nom On peut les enlever Ex : Un chien méchant et affamé Un vilain petit canard Des enfants très intelligents Des leçons bien apprises Des durs travaux terminés Des murs bleu-ciel La fonction complément du nom

GRAMMAIRE : ANALYSE LOGIQUE LES PROPOSITIONS SUBORDONNEES

subordonnée dépend et complète la proposition principale On peut trouver plusieurs propositions subordonnées dans une phrase complexe Pour trouver la nature des propositions subordonnées, on utilise leurs caractéristiques particulières, comme par exemple, leur fonction dans la phrase, la nature du verbe et ce qui introduit la subordonnée

MEMO FONCTIONS GRAMM - Académie de Versailles

- La fonction « épithète » : elle apporte une précision sur le nom auquel elle est accolée - la fonction « complément du nom » : il apporte une précision sur le nom qu’il complète et auquel il est relié, en général, par une préposition - La proposition subordonnée relative : sa fonction grammaticale est

Exercice de révision - Aphasiques, Aphasie, AVC, TC et la

Les quatre étudiantes du cours de grammaire qu’a rencontrées Marie sont heureuses Le mari de la sœur de Jeanne arrivera demain Ces deux voitures dépassaient la limite de vitesse par 50Km/h Nous avons appris la mauvaise nouvelle à Marie ce jour-là 6-

Analyse 2 - Accueil

L’analyse math´ematique est l’´etude approfondie du calcul diff´erentiel et int´egral Ce cours porte sur le calcul int´egral Il se divise en trois parties La premi`ere pr´esente la d´efinition et les propri´et´es de l’int´egrale d’une fonction continue d’une variable r´eelle La seconde utilise cet outil pour introduire

Comment faire apprécier la grammaire ? Comment rendre cette

grammaire, abordons les deux exercices fondamentaux que sont l’analyse grammaticale, c’est-à-dire l’analyse des mots, et l’analyse logique, c’est-à-dire l’analyse des propositions Je voudrais témoigner devant vous de ma pratique en la matière, pratique que je vous propose non comme un modèle mais comme un exemple

[PDF] analyse grammaticale nature et fonction pdf PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] analyse grammaticales sur un extrait 4ème Français

[PDF] analyse harmonique jazz PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] Analyse histoire des arts good bye lenin 3ème Histoire

[PDF] analyse i have a dream PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] Analyse image 2nde Français

[PDF] analyse image publicitaire PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] analyse important 1ère Français

[PDF] analyse in french PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] analyse informatique cours pdf PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] analyse institutionnelle 2nde Autre

[PDF] Analyse Jeannot et Colin 2nde Français

[PDF] Analyse juridique 3ème Autre

[PDF] analyse l1 exercices corrigés pdf PDF Cours,Exercices ,Examens

[PDF] Analyse Le dejeuner sur l'herbe Claude Monet 3ème Arts plastiques

Analyse 2

Notes de cours

Andr´e Giroux

D´epartement de Math´ematiques et Statistique

Universit´e de Montr´eal

Avril 2004

Table des mati`eres1 INTRODUCTION41.1 Exercices 1. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .62 INT´EGRATION DES FONCTIONS CONTINUES72.1 La continuit´e uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .72.2 D´efinition de l"int´egrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .82.3 Propri´et´es de l"int´egrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .122.4 Exercices 2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .153 TH´EOR`EME FONDAMENTAL DU CALCUL173.1 Le th´eor`eme fondamental du calcul. . . . . . . . . . . . . . .173.2 Propri´et´es suppl´ementaires de l"int´egrale. . . . . . . . . . . .193.3 Exercices 3. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .224 LOGARITHME ET EXPONENTIELLE244.1 Le logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244.2 La fonction exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .274.3 Exposants irrationnels. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .294.4 Les fonctions hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . .304.5 Exercices 4. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .325 FONCTIONS TRIGONOM´ETRIQUES365.1 D´efinition des fonctions trigonom´etriques. . . . . . . . . . .365.2 Propri´et´es des fonctions trigonom´etriques. . . . . . . . . . .395.3 Les fonctions trigonom´etriques inverses. . . . . . . . . . . . .415.4 La notion d"angle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .435.5 Exercices 5. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .476 CALCUL DES PRIMITIVES506.1 Primitives des fonctions analytiques usuelles. . . . . . . . . .506.2 Primitives des fonctions rationnelles. . . . . . . . . . . . . .536.3 Exercices 6. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .557 INT´EGRALES IMPROPRES587.1 G´en´eralisation de l"int´egrale. . . . . . . . . . . . . . . . . . .587.2 La fonction gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .627.3 Exercices 7. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .661

8 SUITES ET S´ERIES DE FONCTIONS698.1 La convergence uniforme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .698.2 L"approximation des fonction continues. . . . . . . . . . . .748.3 Les s´eries enti`eres. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .768.4 Exercices 8. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .819 S´ERIES DE TAYLOR849.1 D´eveloppements limit´es. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .849.1.1 Notations de Landau. . . . . . . . . . . . . . . . . . .889.2 S´eries infinies. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .899.3 Exercices 9. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9510 S´ERIES DE FOURIER9710.1 La s´erie de Fourier. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9710.2 Th´eor`emes de convergence. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10110.3 L"approximation des fonctions continues p´eriodiques. . . . .10710.4 Exercices 10. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .109Table des figures1 Sommes de Riemann. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .92 Sommes de Darboux. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .113 D´efinition du logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .244 Graphe du logarithme. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .265 Graphe de l"exponentielle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .286 Les fonctions hyperboliques. . . . . . . . . . . . . . . . . . .317 L"arcsinus hyperbolique. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .328 Une fonction convexe. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .349 D´efinition de l"arccosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3610 Le sinus et le cosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3811 La tangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .3912 L"arcsinus et l"arccosinus. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4213 L"arctangente. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4314 Angle entre deux droites. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4415 Le triangle rectangle. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4516 Angle et longueur d"arc. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .4617 Une substitution. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .5618 Comparaison de s´eries et d"int´egrales. . . . . . . . . . . . . .6119 La fonction gamma. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .6320 Quelques fonctionsQn(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .742

21 Les conditions de Dirichlet. . . . . . . . . . . . . . . . . . . .9822 Quelques fonctionsDn(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10423 Fonctionsf2etS6(f2). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10624 Fonctionsf3etS12(f3). . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .10725 Quelques fonctionsFn(x). . . . . . . . . . . . . . . . . . . .1093

1 INTRODUCTION

L"analyse math´ematique est l"´etude approfondie du calcul diff´erentiel et int´egral. Ce cours porte sur le calcul int´egral. Il se divise en trois parties. La premi`ere pr´esente la d´efinition et les propri´et´es de l"int´egrale d"une fonction continue d"une variable r´eelle. La seconde utilise cet outil pour introduire les fonctions analytiques ´el´ementaires (les fonctions logarithmique, exponen- tielle, trigonom´etriques directes et inverses, eul´eriennes). La derni`ere, enfin, porte sur la repr´esentation de ces fonctions par des s´eries de Taylor et des s´eries de Fourier. Il s"agit d"un cours de math´ematique formel, avec des d´emonstrations rigoureuses et compl`etes de tous les th´eor`emes pr´esent´es. Les exercices pro- pos´es sont de mˆeme nature et exigent de l"´etudiant qu"il en compose des solutions rigoureuses et compl`etes. Ce cours est un deuxi`eme cours d"ana-

lyse et suppose que l"´etudiant connaˆıt d´ej`a les propri´et´es des fonctions conti-

nues ainsi que celles des fonctions d´erivables. Rappelons quelques-unes de ces propri´et´es. On note [a,b] un intervallecompact(c"est-`a-dire ferm´e born´e), ]a,b[ un intervalleouvert, ]a,b[={x|a < x < b}

intervalle compact peut ˆetre caract´eris´e par la propri´et´e suivante :•Toute suite{xn}n≥1de points de [a,b] contient une suite partielle{xnk}k≥1

qui converge vers un point de [a,b] (th´eor`eme de Bolzano-Weierstrass). Soitf: (a,b)→Rune fonction. Elle est ditecontinuesur (a,b) si elle est continue en chaque pointx0de (a,b), c"est-`a-dire si en chaque pointx0 de (a,b), limx→x0f(x) =f(x0).

Un fonction continue jouit des propri´et´es suivantes :•L"image d"un intervalle quelconque par une fonction continue est un in-

tervalle (propri´et´e des valeurs interm´ediaires).•L"image d"un intervalle compact par une fonction continue est un intervalle

compact (propri´et´e des valeurs extrˆemes).4 Une fonctionfcontinue et strictement monotone sur un intervalle y admet une fonction inversef-1qui est elle aussi continue et strictement monotone.

Exemple.

Sin?N, la fonctionx?→x1/nest d´efinie et continue pourx≥0 sinest pair et pour toutxsinest impair. La fonctionf: (a,b)→Rest dited´erivablesur (a,b) si elle est d´erivable en chaque pointx0de (a,b), c"est-`a-dire si en chaque pointx0de (a,b), la limite suivante lim x→x0f(x)-f(x0)x-x0 existe. On ´ecrit alors f ?(x0) = limx→x0f(x)-f(x0)x-x0. La fonctionfest ditecontinˆument d´erivablesi sa d´eriv´eef?est continue. Le th´eor`eme fondamental du calcul diff´erentiel est leth´eor`eme des ac- croissements finis(quelquefois appel´e th´eor`eme de la moyenne ou encore

th´eor`eme de Rolle lorsquef(a) =f(b) = 0) :•Sif: [a,b]→Rest continue sur [a,b] et d´erivable sur ]a,b[, il existe un

nombrec?]a,b[ tel que f(b)-f(a) =f?(c)(b-a). L"inverse d"une fonction d´erivable est d´erivable aux pointsycorrespon- dant aux pointsxo`uf?(x)?= 0 (y=f(x) etx=f-1(y)) et alors ?f-1??(y) =1f?(x).

Exemple.

Un polynˆome de degr´en,

P n(x) =a0+a1x+a2x2+···+anxn, est d´erivable sur tout l"axe r´eel et P ?n(x) =a1+ 2a2x+···+nanxn-1.

Une fonction rationnelle,

R(x) =Pn(x)Qm(x),5

est d´erivable aux points o`u elle est d´efinie (c"est-`a-dire aux points o`u le d´enominateurQm(x) ne s"annule pas) et R ?(x) =P?n(x)Qm(x)-Pn(x)Q?m(x)Q2m(x).

Sip?Q,ddxxp=pxp-1, x >0.

1.1 Exercices 1

Justifier compl`etement toutes ses affirmations.1.V´erifier que la suite de points de [-1,1] d´efinie par

x n=1 + (-1)nn1 +n

ne converge pas. En exhiber une suite partielle convergente.2.Montrer qu"une fonction continue sur un intervalle ferm´e peut toujours

ˆetre prolong´ee `a une fonction continue surRtout entier. Cela reste-t-il

vrai pour un intervalle quelconque?3.Donner un exemple d"une fonction continue sur un intervalle ferm´e qui

n"y est pas born´ee ou qui n"y atteint pas ses bornes. Mˆeme question

pour un intervalle born´e.4.Montrer qu"une fonction d´erivable sur un intervalle ferm´e peut toujours

ˆetre prolong´ee `a une fonction d´erivable surRtout entier.5.Les fonctions suivantes sont-elles d´erivables en tous les points de leur

domaine de d´efinition : x

1/2, x1/3, x3/2, x4/3?6.Soient 0< a < b. D´eterminer le pointcdu th´eor`eme des accroisse-

ments finis pour la fonctionf(x) =x2. Mˆeme question pour la fonction f(x) =x3.6

2 INT´EGRATION DES FONCTIONS CONTINUES

L"int´egration des fonctions continues repose sur une propri´et´e suppl´ementaire de ces fonctions lorsqu"on les consid`ere sur des intervalles compacts.

2.1 La continuit´e uniforme

Dire d"une fonctionf: (a,b)→Rqu"elle est continue, c"est dire qu"elle est continue en chaque pointx0de (a,b), c"est-`a-dire qu"`a chaque pointx0 et `a chaque? >0 correspondδ >0 tel que |x-x0|< δetx?(a,b) impliquent|f(x)-f(x0)|< ?.

Le nombreδd´epend `a la fois dex0et de?:

δ=δ(x0,?).

Lorsqu"il peut ˆetre choisi ind´ependamment du pointx0, on dit que la fonction est uniform´ement continue sur l"intervalle (a,b). En d"autres termes, une fonctionf: (a,b)→Restuniform´ement continuesur (a,b) si `a chaque? >0 correspondδ >0 tel que |x-y|< δetx,y?(a,b) impliquent|f(x)-f(y)|< ?. Exemples.-La fonctionf(x) =x2est uniform´ement continue sur [0,1] puisque : vertu du th´eor`eme des accroissements finis en effet, il existezentrex etytel que : soient en effetxn= (n+ 1/n) etyn=n. On a toujours |f(xn)-f(yn)|= 2 +1n2>2 bien que |xn-yn|=1n.

Aucun nombreδne peut correspondre `a?= 2.7

-La fonctionf(x) =⎷xest uniform´ement continue sur l"intervalle [0,1],

en vertu du th´eor`eme suivant.Th´eor`eme 1Une fonctionf: [a,b]→Rcontinue sur un intervalle com-

pact y est uniform´ement continue. D´emonstration. Supposons que le th´eor`eme est faux. Il existe alors? >0 tel que, quelque soitδ >0, on peut trouver deux pointsx,yde l"intervalle [a,b] pour lesquels : |x-y|< δet|g(x)-g(y)|> ?. Choisissons successivementδ= 1,1/2,1/3,1/4,...On obtient deux suites de pointsxnetynde [a,b] tels que |xn-yn|<1net|g(xn)-g(yn)|> ?. Par compacit´e, la suite{xn}n≥1contient une suite partielle{xnk}k≥1qui converge vers un pointzde [a,b]. Comme |xnk-ynk|<1nk, la suite partielle{ynk}k≥1correspondante converge aussi versz. Par conti- nuit´e, on a donc lim k→+∞(g(xnk)-g(ynk)) =g(z)-g(z) = 0 ce qui est absurde puisque l"on a toujours |g(xnk)-g(ynk)|> ?.

C.Q.F.D.

2.2 D´efinition de l"int´egrale

Soitf: [a,b]→Rune fonction continue sur un intervalle compact.`A chaque partitionPde l"intervalle, P={x0,x1,x2,...,xn}o`ua=x0< x1<···< xn=b, associons avec Riemann une somme sup´erieureS(P,f),

S(P,f) =n?

et une somme inf´erieures(P,f), s(P,f) =n? Lorsque la fonction est positive, ces sommes majorent et minorent respec- tivement l"aire d´etermin´ee par l"axe des abscisses, les droitesx=aetx=b et le graphe de la fonction (figure (1) - les points de la partition ne sont pas n´ecessairement ´equidistants).x y y?f?x abFig.1 - Sommes de RiemannIl est clair que l"on a pour toute partitionP. Observons maintenant que, siQest une partition plus fine queP, c"est-`a-dire siP ? Q, on a En effet, il suffit de v´erifier ces in´egalit´es lorsqueQs"obtient dePpar adjonc- tion d"un seul point,Q=P?{x?}; or sijest l"indice tel quexj-1< x?< xj, on a et les autres termes de la sommeS(P,f) restent inchang´es. De ceci d´ecoule

la premi`ere des in´egalit´es (1). L"autre in´egalit´e s"obtient de fa¸con similaire.9

On d´eduit de ces relations que, quelles que soient les partitionsPetQ, on a c"est-`a-dire que toute somme inf´erieure est plus petite que toute somme sup´erieure. Ainsi sup

En fait, on a toujours

sup

Ps(P,f) = infPS(P,f).(2)

Cela est une cons´equence de la continuit´e uniforme d"une fonction continue sur un intervalle compact. D´emontrons la relation (2). Soit? >0 arbitraire.

Soitδ >0 un nombre tel que

|x-y|< δetx,y?[a,b] impliquent|f(x)-f(y)|Soit aussi

P={x0,x1,x2,...,xn}

une partition pour laquelle x k-xk-1< δpour toutk.

Soient enfinuk,vk?[xk-1,xk] tels que, pour toutk,

(propri´et´e des valeurs extrˆemes). Alors

S(P,f)-s(P,f)

n? n? k=1?b-a(xk-xk-1) =? ce qui d´emontre la relation (2). On exprime l"´equation (2) en disant que la fonctionfestint´egrablesur l"intervalle [a,b], d"int´egrale : b a f(x)dx= sup

Ps(P,f) = infPS(P,f).10

Lorsquefest positive, l"int´egrale est donc exactement le nombre qui donne l"aire d´etermin´ee par l"axe des abscisses, les droitesx=aetx=bet le graphe de la fonction. La signification de l"int´egrale ayant ´et´e bien ´etablie, nous pouvons main- tenant donner avec Darboux une fa¸con plus commode de la calculer (fi- gure (2) - les points o`u la fonction est ´evalu´ee ne sont pas n´ecessairement

´equidistants).x

y y?f?x abFig.2 - Sommes de DarbouxTh´eor`eme 2 (Darboux)Quels que soient les nombres x k,n?[a+k-1n(b-a),a+kn(b-a)], on a ?b a f(x)dx= limn→+∞b-ann k=1f(xk,n).

D´emonstration. Soit

P n={a,a+1n(b-a),a+2n(b-a),...,b} la partition uniforme de [a,b]. On a et b a

Ainsi??????

b a f(x)dx-b-ann k=1f(xk,n)? Or, en utilisant la continuit´e uniforme de la fonctionfet la propri´et´e des valeurs extrˆemes, on voit comme pr´ec´edemment que lim n→+∞(S(Pn,f)-s(Pn,f)) = 0.

C.Q.F.D.

Exemple.

On a?1

0 xdx= limn→+∞1nn k=1kn= limn→+∞n+ 12n=12.

2.3 Propri´et´es de l"int´egrale

Les trois propri´et´es essentielles de l"int´egrale d"une fonction continue sont

la lin´earit´e, la positivit´e et l"additivit´e.Th´eor`eme 3 (Lin´earit´e de l"int´egrale)Soientf1,f2: [a,b]→Rdes

fonctions continues etc1,c2?Rdes nombres. Alors b a (c1f1(x) +c2f2(x))dx=c1? b a f

1(x)dx+c2?

b a f

2(x)dx.

D´emonstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient : b a (c1f1(x) +c2f2(x))dx = lim n→+∞b-ann k=1? c 1f1? a+kn(b-a)? +c2f2? a+kn(b-a)?? =c1limn→+∞b-ann k=1f 1? a+kn(b-a)? +c2limn→+∞b-ann k=1f 2? a+kn(b-a)? =c1? b a f

1(x)dx+c2?

b a f

2(x)dx.

C.Q.F.D.12

Th´eor`eme 4 (Positivit´e de l"int´egrale)Soientf1,f2: [a,b]→Rdes fonctions continues telles que f Alors ?b a f b a f

2(x)dx.

D´emonstration. En utilisant les sommes de Darboux-Riemann, on obtient : b a f

1(x)dx= limn→+∞b-ann

k=1f 1? a+kn(b-a)? k=1f 2? a+kn(b-a)? b a f

2(x)dx.

C.Q.F.D.

L"application de ce th´eor`eme aux fonctionsf1=±fetf2=|f|conduit `al"in´egalit´e du trianglepour les int´egrales : b a b a |f(x)|dx.Th´eor`eme 5 (Additivit´e de l"int´egrale)Soientf: [a,b]→Rune fonc- tion continue eta < c < b. Alors b a f(x)dx=? c a f(x)dx+? b c f(x)dx. D´emonstration. SoientP,P?etP??des partitions des intervalles [a,b],[a,c] et [c,b] respectivement. On a donc :

P ? {c}=P?? P??.

En utilisant les in´egalit´es (1), on voit d"une part que b a f(x)dx= sup

Ps(P ? {c},f) = sup

P ??P??(s(P?,f) +s(P??,f)) P ?s(P?,f) + sup P ??s(P??,f) =? c a f(x)dx+? b c f(x)dx13 (exercice (11)) et d"autre part que b a f(x)dx= infPS(P,f)≥infPS(P ? {c},f) = infP??P??(S(P?,f) +S(P??,f)) ≥infP?S(P?,f) + infP??S(P??,f) =? c a f(x)dx+? b c f(x)dx.

C.Q.F.D.

Il commode de poser

a b f(x)dx=-? b a f(x)dx.

L"int´egrale

?b a f(x)dx est ainsi d´efinie quelle que soit la position relative des bornes d"int´egration aetb- mais la propri´et´e de positivit´e ne vaut que sia < b.

Exemple.

Sif: [0,+∞[→Rest continue et limx→+∞f(x) =L, lim x→+∞1x? x 0 f(t)dt=L.

En effet, quelque soit? >0,

????1x? x 0 f(t)dt-L????=????1x? x 0 (f(t)-L)dt???? 1x? y 0 |f(t)-L|dt+1x? x y |f(t)-L|dt yxsup t≥0|f(t)-L|+x-yxsup t≥y|f(t)-L| yxsup t≥0|f(t)-L|+x-yx?2 d`es quey=y?est assez grand puis,yainsi fix´e, ????1x? x 0 f(t)dt-L????

2ysupt≥0|f(t)-L|?.14

2.4 Exercices 2

Justifier compl`etement toutes ses affirmations.1.Montrer qu"une fonctionf: (a,b)→Radmettant une d´eriv´ee born´ee

est uniform´ement continue.2.En d´eduire qu"une fonction rationnelleR:R→Rborn´ee est uni-

form´ement continue surR.3.Montrer qu"une fonctionf: (a,b)→Rqui est uniform´ement continue

sur (a,c] et sur [c,b) l"est aussi sur (a,b).4.En d´eduire que la fonctionf(x) =3⎷xest uniform´ement continue sur

R.5.La fonctionf(x) = 1/xest-elle uniform´ement continue sur l"intervalle

]0,1]? sur l"intervalle [1,+∞[?6.Les sommes sup´erieures et les sommes inf´erieures de Riemann peuvent

ˆetre calcul´ees pour toute fonction born´eef: [a,b]→Rmais il n"est plus certain que la fonction soit int´egrable, c"est-`a-dire que l"´equation (2) soit vraie. Consid´erer avec Dirichlet la fonction indicatrice des nombres rationnels : f(x) =IQ(x) =?

1 six?Q

0 sinon.

Montrer qu"elle n"est int´egrable sur aucun intervalle.7.D´emontrer l"in´egalit´e de Cauchy-Schwarz : sif,g: [a,b]→Rsont

continues, alors b a a f2(x)dx??b a g2(x)dx. (Suggestion : choisir le nombreλde fa¸con optimale dans l"in´egalit´e : b a (f(x) +λg(x))2dx.)8.En d´eduire l"in´egalit´e de Minkowski : ??b a a f(x)2dx+??b a g(x)2dx.15

9.Soitf: [a,b]→Rune fonction continue. Montrer qu"il existec?[a,b]

tel que?b a f(x)dx=f(c)(b-a).

(Premier th´eor`eme de la moyenne).10.Soitf: [a,b]→[0,+∞[ une fonction continue et positive telle que

b a f(x)dx= 0. Montrer qu"elle est identiquement nulle.11.V´erifier les relations suivantes : sup a?Aa+ sup b?Bb, inf

a?A,b?B(a+b)≥infa?Aa+ infb?Bb.12.Soientf: [a,b]→Rune fonction continue et{an}n≥1une suite de

nombres convergeant versa,an> a. Montrer que b a f(x)dx= limn→+∞? b a nf(x)dx.16

3 TH´EOR`EME FONDAMENTAL DU CALCUL

quotesdbs_dbs12.pdfusesText_18