Divisibilit e - Cours et exercices de Mathématiques en

1 D emontrer que n+ 1 divise n2 + 5n+ 4 et n2 + 3n+ 2 2 D eterminer l’ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n2 + 15n+ 19 est divisible par n+ 1 3 En d eduire que, quel que soit n, 3n2 + 15n+ 19 n’est pas divisible par n2 + 3n+ 2 Divisibilit e de a+ b - les di erents cas possibles a, b sont des entiers relatifs c est un entier

TS-spe Contrôle:divisibilité,divisioneuclidienne

TS-spe Contrôle:divisibilité,divisioneuclidienne Correction E1 énoncé 26 et54 sontdivisiblespar2 doncpourtousentiersrelatifsa etb 26a¡54b estdivisiblepar2,or2013 estimpairdonciln'existepasd'entiersrelatifstels que26a¡54b ˘2013 E2 énoncé Si2n¯5 divise3n¯4 alors2n¯5 diviselacombinaisonlinéaire3(2n¯5)¡ 2(3n¯4)˘7

Exercices de révision sur la divisibilité et la Année

Exercices de révision sur la divisibilité et la division euclidienne (Avec les corrigés) Année scolaire 2014/2015 Enoncés Corrigés 1) Déterminer les entiers relatifs n tels que : 11n – 6 11n-6 ⇔ ∃ k ∈ℤ, n – 6 = 11k ⇔ ∃ k ∈ℤ, n = 11k + 6 Il y a donc une infinité de solutions : S = {11k + 6, avec k ∈ℤ}

Exercice 1

Puissance de 2 reste Puissance de 2 reste Puissance de 2 reste Puissance de 2 reste 1 2 4 2 7 2 3k + 1 2 2 4 5 4 8 4 3k + 2 4 3 1 6 1 9 1 3k 1 3) On a : Exercice 8 1) On commence par chercher les restes dans la division par 12 de 5 , 5² , jusqu’à ce qu’on en trouve un congru à 1 modulo 12

Congruences - Arithm etique Apprendre a calculer avec les

2 D eterminer les restes possibles de la division de x2 par 7 3 En d eduire que l’ equation (E) n’a pas de solution Montrer qu’un nombre est divisible avec les congruences D emontrer que 24n+1 + 34n+1 est divisible par 5 quel que soit l’entier naturel n Disjonction de cas et congruence

TS spécialité Divisibilité – Division euclidienne DS n° 1

3° Déterminer le reste de la division par 7 de 214 607 14 607 = 3 × 4869 donc 214 607 = (23)4 869 2 3 4 869≡ 1 modulo 7 donc (2 ) ≡ 14 869 ≡ 1 modulo 7 Le reste de la division de 214 607 par 7 est donc égal à 1 Exercice 4 : (6 points) 1

Multiples Division euclidienne Congruence

2) Écrivons les deux divisions, en notant q et q′ les quotients respectifs : (a =bq +8 avec b >8 2a =bq′ +5 avec b >5 En multipliant la première division par 2 et en égalisant avec la deuxième, on obtient : 2bq +16 =bq′ +5 avec b >8 b(2q −q′)=−11 b(q′ −2q)=11 b est donc un diviseur positif non nul de 11, supérieur à 8

Chapitre 20 Arithmétique - MATHEMATIQUES

Commentaire Ce résultat ramène les problèmes de divisibilité entre entiers relatifs à des problèmes de divisibilité entre entiers naturels h 2) Propriétés de la divisibilité Théorème 3 1) Pour tout entier relatif non nul a, a divise 0ou aussi 0est un multiple de a 2) Pour tout entier relatif a, 1divise a ou aussi a est un

S Amérique du Sud novembre 2016 - Meilleur en Maths

2 Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 3 2 a Prouver que, pour tout entier naturel j, 10j≡1mod3 2 b En déduire que Np≡pmod3 2 c Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit Np soit divisible par 3 3 Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 7 3 a

Sujets des dossiers d’arithmétique, algèbre et géométrie

7 Équations, inéquations du premier et du second degré à une inconnue (ou pouvant s’y ramener) (2) 30 CG05-7-3 : Bille dans l’eau dans un cylindre (06 2, 07 2

Divisibilite - Arithmetique

Specialite Maths terminale S : Exercices

Corriges en video avec le cours sur

jaicompris.com Application directe de la divisibilite

Demontrer que la somme de trois entiers consecutifs est divisible par 3.Demonstration des proprietes du cours

a,b,csont trois entiers relatifs non nuls. Demontrer les proprietes suivantes :

1) Siadivisebetbdivisecalorsadivisec.

2) Siadivisebetbdiviseaalorsaetbsont egaux ou opposes.

3) Sicdiviseaetbalors pour tous entiers relatifsuetv,cdiviseau+bv.8 divisen21?

1) Demontrer que le produit de deux entiers consecutifs est pair.

2) Demontrer que lorsquenest un entier impair, 8 divisen21.Avec la contraposee

Soitnun entier naturel. Demontrer que sin2est pair alorsnest pair.Un classique

Montrer que si l'on soustrait a un entier naturel strictement inferieur a 100, la somme de ses chires,

alors le resultat est toujours divisible par 9.Fraction est irreductible

Soitnun entier naturel.

1. Mon trerque si un en tiernaturel ddivise 12n+ 7 et 3n+ 1 alors il divise 3. 2.

En d eduireq uela fraction

12n+ 73n+ 1est irreductible.Deteminer toutes les valeurs de l'entier relatifntelles que10n43n+ 1soit un entier relatif.Le nombrendesigne un entier naturel.

1. Demontrer quen+ 1 divisen2+ 5n+ 4 etn2+ 3n+ 2.

2. Determiner l'ensemble des valeurs denpour lesquelles 3n2+ 15n+ 19 est divisible parn+ 1.

3. En deduire que, quel que soitn, 3n2+ 15n+ 19 n'est pas divisible parn2+ 3n+ 2.Divisibilite dea+b- les dierents cas possiblesa,bsont des entiers relatifs.cest un entier relatif non nul.

Rappel: Sicdiviseaetbalorscdivise8

:a+b et ab Que peut-on dire des armations suivantes. Justier par un raisonnement.

1) Sicdiviseamais pasb, alorscne divise pasa+b

2) Sicne divise nia, nibalorscne divise pasa+b.

3) 3 ne divise pas 3n+ 1 ounest un entier naturel.Resoudre une equation dansN

Donner la liste des diviseurs de 20 dans N.

2. En d eduiretou sles couples ( x;y) d'entiers naturels solutions de l'equation :

4x2y2= 20Divisibilite et combinaisons lineaires

Pour quelles valeurs de l'entier naturelna-t-onn+ 8 divisible parn? 1

Recurrence et arithmetique

Demontrer par recurrence que pour tout entier natureln, 32n1 est un multiple de 8.Demontrer par recurrence que pour tout entier natureln, 7n1 est divisible par 6.Demontrer par recurrence que pour tout entier natureln, 4n+ 15n1 est divisible par 9.SoitP(n) la propriete denie surNpar :

4 n+ 1 est divisible par 3

1) Demontrer que siP(n) est vraie alorsP(n+ 1) est vraie.

2) Que peut-on conclure?Erreur classique dans les recurrences

Pour tout entier natureln, on considere les deux proprietes suivantes : P n: 10n1 est divisible par 9 Q n: 10n+ 1 est divisible par 9

1) Demontrer que siPnest vraie alorsPn+1est vraie.

2) Demontrer que siQnest vraie alorsQn+1est vraie.

3) Un eleve arme : " DoncPnetQnsont vraies pour tout entier natureln.

Expliquer pourquoi il commet une erreur grave.

4) Demontrer quePnest vraie pour tout entier natureln.

5) Demontrer queQnest fausse pour tout entier natureln.

On pourra utiliser un raisonnement par l'absurde.Divisibilite : une equation de Pell-Fermat On considere l'equation (E) :a22b2= 1 et (a;b) un couple d'entiers solution de cette equation. 1. (a)

Mon trerque aest impair.

(b)

Mon trerque best pair.

Mon trerque aetbsont premiers entre eux.

3. Mon trerque le couple (3 a+ 4b; 2a+ 3b) est aussi un couple solution de l'equation (E). 4. A l'aide d'un esolution evidente,trouv erun couple solution a vecdes en tierssup erieurs a100. 5.

Ecrire un algorithme en langage natur elp ermettantde trouv erun couple solution a vecdes en tierssup erieurs aun s euil

xe a l'avance.2quotesdbs_dbs10.pdfusesText_16

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