S Amérique du Sud novembre 2016

1 D emontrer que n+ 1 divise n2 + 5n+ 4 et n2 + 3n+ 2 2 D eterminer l’ensemble des valeurs de n pour lesquelles 3n2 + 15n+ 19 est divisible par n+ 1 3 En d eduire que, quel que soit n, 3n2 + 15n+ 19 n’est pas divisible par n2 + 3n+ 2 Divisibilit e de a+ b - les di erents cas possibles a, b sont des entiers relatifs c est un entier

TS-spe Contrôle:divisibilité,divisioneuclidienne

TS-spe Contrôle:divisibilité,divisioneuclidienne Correction E1 énoncé 26 et54 sontdivisiblespar2 doncpourtousentiersrelatifsa etb 26a¡54b estdivisiblepar2,or2013 estimpairdonciln'existepasd'entiersrelatifstels que26a¡54b ˘2013 E2 énoncé Si2n¯5 divise3n¯4 alors2n¯5 diviselacombinaisonlinéaire3(2n¯5)¡ 2(3n¯4)˘7

Exercices de révision sur la divisibilité et la Année

Exercices de révision sur la divisibilité et la division euclidienne (Avec les corrigés) Année scolaire 2014/2015 Enoncés Corrigés 1) Déterminer les entiers relatifs n tels que : 11n – 6 11n-6 ⇔ ∃ k ∈ℤ, n – 6 = 11k ⇔ ∃ k ∈ℤ, n = 11k + 6 Il y a donc une infinité de solutions : S = {11k + 6, avec k ∈ℤ}

Exercice 1

Puissance de 2 reste Puissance de 2 reste Puissance de 2 reste Puissance de 2 reste 1 2 4 2 7 2 3k + 1 2 2 4 5 4 8 4 3k + 2 4 3 1 6 1 9 1 3k 1 3) On a : Exercice 8 1) On commence par chercher les restes dans la division par 12 de 5 , 5² , jusqu’à ce qu’on en trouve un congru à 1 modulo 12

Congruences - Arithm etique Apprendre a calculer avec les

2 D eterminer les restes possibles de la division de x2 par 7 3 En d eduire que l’ equation (E) n’a pas de solution Montrer qu’un nombre est divisible avec les congruences D emontrer que 24n+1 + 34n+1 est divisible par 5 quel que soit l’entier naturel n Disjonction de cas et congruence

TS spécialité Divisibilité – Division euclidienne DS n° 1

3° Déterminer le reste de la division par 7 de 214 607 14 607 = 3 × 4869 donc 214 607 = (23)4 869 2 3 4 869≡ 1 modulo 7 donc (2 ) ≡ 14 869 ≡ 1 modulo 7 Le reste de la division de 214 607 par 7 est donc égal à 1 Exercice 4 : (6 points) 1

Multiples Division euclidienne Congruence

2) Écrivons les deux divisions, en notant q et q′ les quotients respectifs : (a =bq +8 avec b >8 2a =bq′ +5 avec b >5 En multipliant la première division par 2 et en égalisant avec la deuxième, on obtient : 2bq +16 =bq′ +5 avec b >8 b(2q −q′)=−11 b(q′ −2q)=11 b est donc un diviseur positif non nul de 11, supérieur à 8

Chapitre 20 Arithmétique - MATHEMATIQUES

Commentaire Ce résultat ramène les problèmes de divisibilité entre entiers relatifs à des problèmes de divisibilité entre entiers naturels h 2) Propriétés de la divisibilité Théorème 3 1) Pour tout entier relatif non nul a, a divise 0ou aussi 0est un multiple de a 2) Pour tout entier relatif a, 1divise a ou aussi a est un

S Amérique du Sud novembre 2016 - Meilleur en Maths

2 Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 3 2 a Prouver que, pour tout entier naturel j, 10j≡1mod3 2 b En déduire que Np≡pmod3 2 c Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit Np soit divisible par 3 3 Dans cette question, on étudie la divisibilité de Np par 7 3 a

Sujets des dossiers d’arithmétique, algèbre et géométrie

7 Équations, inéquations du premier et du second degré à une inconnue (ou pouvant s’y ramener) (2) 30 CG05-7-3 : Bille dans l’eau dans un cylindre (06 2, 07 2

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Exercice 5 Candidats ayant suivi l'enseignement de spécialité 5 points

Les entiers naturels 1, 11, 111, 1111. . . . sont des rep-units. On appelle ainsi les entiers naturels ne s'écrivant

qu'avec des 1. Pour tout entier naturel p non nul, on note Np le rep-unit s'écrivant avec p fois le chiffre 1. Dans tout l'exercice, p désigne un entier naturel non nul. L'objet de cet exercice est d'étudier quelques propriétés des rep-units. Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

1. Montrer que Np n'est divisible ni par 2 ni par 5.

2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de

Np par 3.

2.a. Prouver que, pour tout entier naturel j,

10j≡1mod32.b. En déduire que Np≡pmod3

2.c. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit Np soit divisible par 3.

3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de

Np par 7.

3.a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où a est l'unque entier relatif appartenant

à {-3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3} tel que

10p≡amod7

On ne demande pas de justification.

2.b. Soit p un entier naturel non nul.

Montrer que 10p≡1mod7si et seulement si p et un multiple de 6. On pourra utiliser la division euclidienne de p par 6.

2.c. Justifier que, pour tout entier naturel p non nul, Np=10p-1

2.d. Démontrer que " 7 divise Np. » est équivalent à " 7 divise 9Np. »

2.e. En déduire que

Np est divisible par 7 si et seulement si p est un multiple de 6. Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait

1. Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On suppose que l'ériture décimale de

n2 se termine par le chiffre 1, c'est à dire n2≡1mod10

1.a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.

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1.b. En déduire qu'il existe un entier naturel n tel que n=10m+1 ou n=10m-1.

1.c. Conclure que n2≡1mod202. Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Quel est le reste de la division euclidienne de

Np par 20 ?

3. En déduire que, pour p entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit Np n'est pas le carré d'un entier.

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CORRECTION

Partie A : divisibilité des rep-units dans quelques cas particuliers

1. Pour tout entier naturel p, non nul, le chiffre des unités Np est 1.

donc Np≡1mod10et il existe un entier naturel k tel que Np=10k+1.

10=2×5 donc 10≡0mod2 et 10≡0mod5

Np≡1mod2 et Np≡1mod5 Conclusion

Np n'est pas divisible par 2 et par 5.

2.a. 10=3×3+1 donc

10≡1mod3 Pour tout entier naturel j, on a :

10j≡1jmod3 soit 10j≡1mod32.b. Pour tout entier naturel p, non nul :

Np≡pmod32.c.

Np es divisible par 3 si et seulement si p est divisible par 3 c'est à dire p=3k avec k entier naturels

non nul. 3.a.

On effectue la division euclidienne de p par 7.

p=6q+r avec r entier naturel compris entre 0 et 5.

10p=106q+r=(105)q×10r or

106≡1mod7 donc

10p≡1q∗10rmod7soit 10p≡10rmod7

10p≡1mod7⇔ 10p-1≡0mod7⇔ 10r-1≡0mod7 . Si r=1 alors 10r≡3mod7et 10r-1≡2mod7

donc

10p n'est pas congru à 1 modulo 7.

. Si r=2 alors 10r≡2mod7 et 10r-1≡1mod7 donc

10p n'est pas congru à 1 modulo 7.

. Si r=3 alors 10r≡-1mod7et

10r-1≡-2mod7 donc

10p n'est pas congru à 1 modulo 7.

. Si r=4 alors 10r≡-3mod7 et

10r-1≡-4mod7 donc

10p n'est pas congru à 1 modulo 7.

. Si r=5 alors

10r≡-2mod7 et 10r-1≡-3mod7 donc

10p n'est pas congru à 1 modulo 7.

. Si r=0 alors 10r≡0mod7 et

10r-1≡0mod7 donc 10p est congru à 1 modulo 7.

Conclusion

10p≡1mod7si et seulement si p = 6q (p est un multiple de 6)

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3.c. Pour tout entier naturel p, non nul.

Np=∑k=0k=p-1

10k=100+101++10p-2+10p-1

Somme des p premiers nombres de la suite géométrique de raison 10 et de premier terme 100=1. donc Np=10p-100

10-1=10p-1

3.d. Si 7 divise Np alors 7 duvise tout multiple de Np en particulier 7 divise 9Np.

. si 7 divise

9Np or 7 et 9 sont premiers entre eux donc le théorème de GAUSS nous permet d'affirmer

que 7 divise Np. . Conclusion

7 divise

Np si et seulement si 7 divise 9Np.

3.e. On a pour tout entier naturel p, non nul : Np=10p-1

9 soit

9Np=10p-1.

Np est divisible par 7 si et seulement si 9Np est divisible par 7 si et seulemenr si

10p-1≡0mod7 si et seulement si p est un multiple de 6.

Partie B : un rep-unit strictement supérieur à 1 n'est jamais un carré parfait

1.a. Pour remplir le tableau il suffit de déterminer le chiffre des unités du carré du chiffre des unités de n.

1.b. n2≡1mod10si et seulement si le chiffre des unités de n est 1 ou 9.

donc n=10k+1 ou n=10k+9=10k+10-1=10(k+1)-1 avec k entier naturel.

Dans le premier cas on pose m=k

(n=10m+1) et dans le deuxième cas on pose m=k+1 (n=10m-1).

1.c. Si n=10m+1 alors n2=(10m+1)2=100m2+20m+1=20(5m2+m)+1 donc

n2≡1mod20 Si n=10m-1 alors

n2=(10m-1)2=100m2-20m+1=20(5m2-m)+1 donc n2≡1mod202. Pour p entier naturel supérieur ou égal à 2.

Np=K×100+101+100=K×100×11 K est un entier naturel donc Np≡11mod20 Le reste de la division euclidienne de Np par 20 est égal à 11.

3. Pour tout entier naturel p, supérieur à 2, si Np est le carré d'un entier naturel n alors Np=n2≡1mod20

donc le reste de la division euclidienne de Np par 20 est 1. Or nous avons démontré que le reste de la division euclidienne dequotesdbs_dbs7.pdfusesText_5

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S Amérique du Sud novembre 2016

1. Montrer que Np n'est divisible ni par 2 ni par 5.

2. Dans cette question, on étudie la divisibilité de

Np par 3.

2.a. Prouver que, pour tout entier naturel j,

10j≡1mod32.b. En déduire que Np≡pmod3

2.c. Déterminer une condition nécessaire et suffisante pour que le rep-unit Np soit divisible par 3.

3. Dans cette question, on étudie la divisibilité de

Np par 7.

3.a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous, où a est l'unque entier relatif appartenant

à {-3 ; -2 ; -1 ; 0 ; 1 ; 2 ; 3} tel que

10p≡amod7

On ne demande pas de justification.

2.b. Soit p un entier naturel non nul.

2.c. Justifier que, pour tout entier naturel p non nul, Np=10p-1

2.d. Démontrer que " 7 divise Np. » est équivalent à " 7 divise 9Np. »

2.e. En déduire que

1. Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2.

On suppose que l'ériture décimale de

1.a. Recopier et compléter le tableau de congruences ci-dessous.

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1.b. En déduire qu'il existe un entier naturel n tel que n=10m+1 ou n=10m-1.

1.c. Conclure que n2≡1mod202. Soit p un entier naturel supérieur ou égal à 2.

Quel est le reste de la division euclidienne de

Np par 20 ?

3. En déduire que, pour p entier naturel supérieur ou égal à 2, le rep-unit Np n'est pas le carré d'un entier.

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CORRECTION

1. Pour tout entier naturel p, non nul, le chiffre des unités Np est 1.

10=2×5 donc 10≡0mod2 et 10≡0mod5

Np≡1mod2 et Np≡1mod5 Conclusion

Np n'est pas divisible par 2 et par 5.

2.a. 10=3×3+1 donc

10≡1mod3 Pour tout entier naturel j, on a :

10j≡1jmod3 soit 10j≡1mod32.b. Pour tout entier naturel p, non nul :

Np≡pmod32.c.

On effectue la division euclidienne de p par 7.

10p=106q+r=(105)q×10r or

106≡1mod7 donc

10p≡1q∗10rmod7soit 10p≡10rmod7

10p≡1mod7⇔ 10p-1≡0mod7⇔ 10r-1≡0mod7 . Si r=1 alors 10r≡3mod7et 10r-1≡2mod7

10p n'est pas congru à 1 modulo 7.

10p n'est pas congru à 1 modulo 7.

10r-1≡-2mod7 donc

10p n'est pas congru à 1 modulo 7.

10r-1≡-4mod7 donc

10p n'est pas congru à 1 modulo 7.

10r≡-2mod7 et 10r-1≡-3mod7 donc

10p n'est pas congru à 1 modulo 7.

10r-1≡0mod7 donc 10p est congru à 1 modulo 7.

Conclusion

10p≡1mod7si et seulement si p = 6q (p est un multiple de 6)

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3.c. Pour tout entier naturel p, non nul.

Np=∑k=0k=p-1

10k=100+101++10p-2+10p-1

10-1=10p-1

3.d. Si 7 divise Np alors 7 duvise tout multiple de Np en particulier 7 divise 9Np.

9Np or 7 et 9 sont premiers entre eux donc le théorème de GAUSS nous permet d'affirmer

7 divise

Np si et seulement si 7 divise 9Np.

3.e. On a pour tout entier naturel p, non nul : Np=10p-1

9 soit

9Np=10p-1.

10p-1≡0mod7 si et seulement si p est un multiple de 6.

1.a. Pour remplir le tableau il suffit de déterminer le chiffre des unités du carré du chiffre des unités de n.

1.b. n2≡1mod10si et seulement si le chiffre des unités de n est 1 ou 9.

Dans le premier cas on pose m=k

1.c. Si n=10m+1 alors n2=(10m+1)2=100m2+20m+1=20(5m2+m)+1 donc

3. Pour tout entier naturel p, supérieur à 2, si Np est le carré d'un entier naturel n alors Np=n2≡1mod20