Chapitre 7 Diagonalisation

§ 2 —Diagonalisation en dimension trois Exercice 2 1 Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C) Lorsque c’est le cas, les diagonaliser

Feuille d’exercices 3 : Diagonalisation

Exercice 9 On consid`ere la matrice A = 3 −2 −1 2 −1 1 6 3 −2 Calculer son polynˆome caract´eristique, calculer A2 et d´eduire de ces calculs et du th´eor`eme de Hamilton-Cayley l’inverse de A Exercice 10 (a) Soit A une matrice carr´ee d’ordre n quelconque, a coeﬃcients r´eels, qui v´eriﬁe l’identit´e A3 −2A2

Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr

§2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M On dit que A est semblable à M si A s’écrit A =PMP−1, ou bien P−1AP =M , avec P une matrice inversible Exemple A = 3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b =P a 0 0 b P−1 avec P = 1 2 1 3 Une fois avoir exprimé A sous cette forme, il est beaucoup plus

Trigonalisation et diagonalisation des matrices

On notera que toute matrice triangulaire superieure´ ´etant semblable a une matrice triangu-` laire inferieure, une matrice est trigonalisable dans´ M n(K)si, et seulement si, elle est semblable a une matrice triangulaire inf` erieure ´ 7 1 2 Exercice — Soit A une matrice de M n(K) et soit une valeur propre de A Montrer

MATRICES EXERCICES CORRIGES - ac-rouenfr

2) Ecrire la matrice transposée At de A et donner son format Exercice n° 3 1) Donner une matrice dont la transposée est égale à son opposée 2) Donnez la matrice A telle que pour tout indice i et j avec, 1 3≤ ≤i et 1 3≤ ≤j , le terme aij soit donné par la formule a i jij = −2 Exercice n° 4 On donne 2 5 3 1 A =

Sujets de l’année 2006-2007 1 Devoir à la maison

CORRECTION DU TD 3 - TSE

la matrice suivante dans la base : Exercice 2 1) Soit En posant : , on a : 2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est : 3) Pour tout , on en déduit que : On doit donc chercher la puissance de la matrice ; pour

12 Matrices symétriques et matrices définies positives

Diagonalisation I Si A2Rn nest sym etrique, elle est toujours diagonalisable sous la forme A= S S 1 avec S; 2Rn n I est la matrice diagonale des valeurs propres (r eelles) I La matrice des vecteurs propres Scontient des vecteurs orthonormaux : C’est une matrice orthogonale que l’on notera Qa n d’avoir A= Q Q 1 = Q Q> (c’est leth eor

Chapitre 7. Diagonalisation

Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales

2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale

3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.

§1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples?

Addition, multiplication, puissance, polynôme.

déterminant, inversion (si possible), images et noyau, liéou libre, rang, résolution d"un système etc. Multiplication à droite par une matrice diagonale : ?v1,···,?vn)(((

λ1···0

0···

λn

λ1?v1,···,λn?vn?

Exemple.

(1 0 0 -1 2 1

3 1 0))

(3 0 00-1 0

0 0π))

Chapitre 7. Diagonalisation

Objectifs : 1) Comprendre la simplicité des matrices diagonales

2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale

3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.

§1 Pourquoi les matrices diagonales sont simples?

Addition, multiplication, puissance, polynôme.

déterminant, inversion (si possible), images et noyau, liéou libre, rang, résolution d"un système etc. Multiplication à droite par une matrice diagonale : ?v1,···,?vn)(((

λ1···0

0···

λn

λ1?v1,···,λn?vn?

Exemple.

(1 0 0 -1 2 1

3 1 0))

(3 0 00-1 0

0 0π))

=((3 0 0 -3-2π

9-1 0))

§2 Une matriceAsemblable à une matrice diagonaleM

On dit queAestsemblableàMsiAs"écrit

A=PMP-1,ou bienP-1AP=M,

avecPune matrice inversible.

Exemple.A=?3a-2b-2a+2b

3a-3b-2a+3b?

=P?a0 0b? P -1avec

P=?1 21 3?

Une fois avoir expriméAsous cette forme, il est beaucoup plus facile de calculerA2,A3,An, etc, il suffit de remplaceraparanetb parbn!

Preuve.

§2 Une matriceAsemblable à une matrice diagonaleM

On dit queAestsemblableàMsiAs"écrit

A=PMP-1,ou bienP-1AP=M,

avecPune matrice inversible.

Exemple.A=?3a-2b-2a+2b

3a-3b-2a+3b?

=P?a0 0b? P -1avec

P=?1 21 3?

Une fois avoir expriméAsous cette forme, il est beaucoup plus facile de calculerA2,A3,An, etc, il suffit de remplaceraparanetb parbn!

Preuve.

2= (PMP-1)2= (PMP-1)(PMP-1) =PM(P-1P)MP-1=

2P-1=P?a20

0b2? P -1=?3a2-2b2-2a2+2b2

3a2-3b2-2a2+3b2?

§3 Diagonalisation

Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((

λ1···0

0···

λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPet

M? Rappelons que

PM= (?v1,···,?vn)(((

λ1···0

0···

λn

λ1?v1,···,λn?vn?

etAP= (A?v1,···,A?vn).

§3 Diagonalisation

Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((

λ1···0

0···

λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPet

M? Rappelons que

PM= (?v1,···,?vn)(((

λ1···0

0···

λn

λ1?v1,···,λn?vn?

etAP= (A?v1,···,A?vn).

DoncAP=PM??A?v1=

λ1?v1,···,A?vn=λn?vn

§3 Diagonalisation

Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((

λ1···0

0···

λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPet

M? Rappelons que

PM= (?v1,···,?vn)(((

λ1···0

0···

λn

λ1?v1,···,λn?vn?

etAP= (A?v1,···,A?vn).

DoncAP=PM??A?v1=

λ1?v1,···,A?vn=λn?vn

§3 Diagonalisation

Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((

λ1···0

0···

λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPet

M? Rappelons que

PM= (?v1,···,?vn)(((

λ1···0

0···

λn

λ1?v1,···,λn?vn?

etAP= (A?v1,···,A?vn).

DoncAP=PM??A?v1=

λ1?v1,···,A?vn=λn?vn

?v1?Ker(A-

§3 Diagonalisation

Diagonaliserune matriceA, c"est de trouver une matrice inversible P= (?v1,···,?vn)et une matrice diagonaleM=(((

λ1···0

0···

λn telles queA=PMP-1, ou bien,AP=PM. Comment trouverPet

M? Rappelons que

PM= (?v1,···,?vn)(((

λ1···0

0···

λn

λ1?v1,···,λn?vn?

etAP= (A?v1,···,A?vn).

DoncAP=PM??A?v1=

λ1?v1,···,A?vn=λn?vn

?v1?Ker(A- des noyaux on sait faire!

Exo. Pour diagonaliserA=?5-3

6-4? , on fabrique d"abord deux nouvelles matricesA-

2IdetA-(-1)Idet on détermine pour

chacune d"elles une base du noyau ( ces deux valeurs2,-1sont les racines de l"équationdet(A-

λId) =0) :

diagonaliserA ?5-3 6-4? det(A-λId) =0λ=2? ?-1

A-λId

?3-3

6-6? ?

6-3 6-3? base du noyau ?11? ? 1 2? assemblerP=?1 11 2? etM=?20 0 -1 vérifier queAP=PMConclure queA=PMP-1.Aest diagonalisée.

Diagonaliser de même la matrice?2 11 2?

Valeurs propres et vecteurs propres

Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeur

λtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la

valeur propredeA associée à ?v.

Reprenons notre exemple :

A=?3a-2b-2a+2b

3a-3b-2a+3b?

=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?

DoncAP=P?a0

0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associée

Valeurs propres et vecteurs propres

Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeur

λtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la

valeur propredeA associée à ?v.

Reprenons notre exemple :

A=?3a-2b-2a+2b

3a-3b-2a+3b?

=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?

DoncAP=P?a0

0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associéea; ?23?

Valeurs propres et vecteurs propres

Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeur

λtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la

valeur propredeA associée à ?v.

Reprenons notre exemple :

A=?3a-2b-2a+2b

3a-3b-2a+3b?

=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?

DoncAP=P?a0

0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associéea; ?23? est un vecteur propre, de valeur propre associéeb.

Valeurs propres et vecteurs propres

Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeur

λtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la

valeur propredeA associée à ?v.

Reprenons notre exemple :

A=?3a-2b-2a+2b

3a-3b-2a+3b?

=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?

DoncAP=P?a0

0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associéea; ?23? est un vecteur propre, de valeur propre associéeb.

Nous venons de démontrer :

Valeurs propres et vecteurs propres

Définition.On dit qu"un vecteur?vnon nul est unvecteur propre deAsiA?vest proportionnel à?v, c"est-à-dire qu"il existe une valeur

λtelle queA?v=λ?v. On dit queλest la

valeur propredeA associée à ?v.

Reprenons notre exemple :

A=?3a-2b-2a+2b

3a-3b-2a+3b?

=P?a0 0b? P -1avecP=?1 21 3?

DoncAP=P?a0

0b? , etA?11? =a?11? ,A?23? =b?23? ?11? est un vecteur propre, de valeur propre associéea; ?23? est un vecteur propre, de valeur propre associéeb.

Nous venons de démontrer :

Théorème de diagonalisation. Une matrice carréen×nest diagonalisable ssi elle possèdenvecteurs propres formant une base. Un autre exemple :Aest une matrice 2×2 telle que A?11? =?22? etA?1 -1? =?1 -1? . AlorsAest diagonalisable : A ?1 11-1? 2 ?11? 1 ?1 -1?? =?1 11-1??20 0 1 avecP=??,M=??etA=??. Un autre exemple :Aest une matrice 2×2 telle que A?11? =?22? etA?1 -1? =?1 -1? . AlorsAest diagonalisable : A ?1 11-1? 2 ?11? 1 ?1 -1?? =?1 11-1??20 0 1 avecP=??,M=??etA=??. Réponse :A=1 2? 3 1 1 3?

Comment trouver les valeurs propres?

On cherche d"abord lesλi(valeurs propres).

Théorème des valeurs propres. Les valeurs propres

λid"une

matriceAsont les solutions de l"équation det(A-

λId) =0.

Comment trouver les valeurs propres?

On cherche d"abord lesλi(valeurs propres).

Théorème des valeurs propres. Les valeurs propres

λid"une

matriceAsont les solutions de l"équation det(A-

λId) =0.

Exo. Trouver les valeurs propres de?1-2

0 3? et?5-3 6-4?

Polynôme caractéristique

DéfinitionPour toute matrice carréeA, on appelle det(A-

λId)

lepolynôme caractéristiquedeA. Ainsi les valeurs propres deA sont précisément les racines du polynôme caractéristique. Exo. Déterminer le polynôme caractéristique de (1 2 30-1 2

0 0 1/2))

,((5-3 0 6-4 0

0 1 1))

,((((1 0 0 00-1 0 0 0 0 1 40

0 0 0π))))

Puis déterminer les valeurs propres pour chacune de ces matrices.

§4. Critères de diagonalisabilité

Théorème 0 (déjà vu)Une matriceAest diagonalisable ssi elle possède une famille de vecteurs propres formant une base.

Théorème 1 (facile)Si

toutes les racinesdu polynôme caractéristique deA sont simples, alorsAest diagonalisable. (sinon,

Apeut être ou ne pas être diagonalisable).

Théorème 2 (difficile)SiAest une matrice

réelle et symétrique, alors toutes les valeurs propres deAsont réelles etAest diagonalisable. Exo. Pour chacune des trois matrices suivantes, déterminersi elle est diagonalisable, et la diagonaliser si possible : 1 1 1 1? ,?1 10 1? ,?5-1 1 3? (5 0 00 5 00 0 0)) Rappel.Le polynôme caractéristiqued"une matrice carréeAest det(A-λId)(c"est un polynôme enλ).

[PDF] Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr

Chapitre 7. Diagonalisation

2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale

3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.

Addition, multiplication, puissance, polynôme.

λ1···0

0···

λ1?v1,···,λn?vn?

Exemple.

3 1 0))

0 0π))

Chapitre 7. Diagonalisation

2) Appendre à rendre une matrice non diagonale en une diagonale

3) Apprendre la notion des valeurs propres, vecteurs propres etc.

Addition, multiplication, puissance, polynôme.

λ1···0

0···

λ1?v1,···,λn?vn?

Exemple.

3 1 0))

0 0π))

9-1 0))

On dit queAestsemblableàMsiAs"écrit

A=PMP-1,ou bienP-1AP=M,

Exemple.A=?3a-2b-2a+2b

3a-3b-2a+3b?

P=?1 21 3?

Preuve.

On dit queAestsemblableàMsiAs"écrit

A=PMP-1,ou bienP-1AP=M,

Exemple.A=?3a-2b-2a+2b

3a-3b-2a+3b?

P=?1 21 3?

Preuve.

2= (PMP-1)2= (PMP-1)(PMP-1) =PM(P-1P)MP-1=

2P-1=P?a20

3a2-3b2-2a2+3b2?

§3 Diagonalisation

λ1···0

0···

M? Rappelons que

PM= (?v1,···,?vn)(((

λ1···0

0···

λ1?v1,···,λn?vn?

§3 Diagonalisation

λ1···0

0···

M? Rappelons que

PM= (?v1,···,?vn)(((

λ1···0

0···

λ1?v1,···,λn?vn?

DoncAP=PM??A?v1=

λ1?v1,···,A?vn=λn?vn

§3 Diagonalisation

λ1···0

0···

M? Rappelons que

PM= (?v1,···,?vn)(((

λ1···0

0···

λ1?v1,···,λn?vn?

DoncAP=PM??A?v1=

λ1?v1,···,A?vn=λn?vn

§3 Diagonalisation

λ1···0

0···

M? Rappelons que

PM= (?v1,···,?vn)(((

λ1···0

0···

λ1?v1,···,λn?vn?

DoncAP=PM??A?v1=

λ1?v1,···,A?vn=λn?vn

§3 Diagonalisation

λ1···0

0···

M? Rappelons que

PM= (?v1,···,?vn)(((