DIAGONALISATION - physique-mathscom
§ 2 —Diagonalisation en dimension trois Exercice 2 1 Déterminer si les matrices suivantes sont diagonalisables (sur R ou C) Lorsque c’est le cas, les diagonaliser
Feuille d’exercices 3 : Diagonalisation
Exercice 9 On consid`ere la matrice A = 3 −2 −1 2 −1 1 6 3 −2 Calculer son polynˆome caract´eristique, calculer A2 et d´eduire de ces calculs et du th´eor`eme de Hamilton-Cayley l’inverse de A Exercice 10 (a) Soit A une matrice carr´ee d’ordre n quelconque, a coefficients r´eels, qui v´erifie l’identit´e A3 −2A2
Chapitre 7 Diagonalisation - univ-angersfr
§2 Une matrice A semblable à une matrice diagonale M On dit que A est semblable à M si A s’écrit A =PMP−1, ou bien P−1AP =M , avec P une matrice inversible Exemple A = 3a−2b −2a+2b 3a−3b −2a+3b =P a 0 0 b P−1 avec P = 1 2 1 3 Une fois avoir exprimé A sous cette forme, il est beaucoup plus
Trigonalisation et diagonalisation des matrices
On notera que toute matrice triangulaire superieure´ ´etant semblable a une matrice triangu-` laire inferieure, une matrice est trigonalisable dans´ M n(K)si, et seulement si, elle est semblable a une matrice triangulaire inf` erieure ´ 7 1 2 Exercice — Soit A une matrice de M n(K) et soit une valeur propre de A Montrer
MATRICES EXERCICES CORRIGES - ac-rouenfr
2) Ecrire la matrice transposée At de A et donner son format Exercice n° 3 1) Donner une matrice dont la transposée est égale à son opposée 2) Donnez la matrice A telle que pour tout indice i et j avec, 1 3≤ ≤i et 1 3≤ ≤j , le terme aij soit donné par la formule a i jij = −2 Exercice n° 4 On donne 2 5 3 1 A =
CORRECTION DU TD 3 - TSE
la matrice suivante dans la base : Exercice 2 1) Soit En posant : , on a : 2) D’après l’exercice 1 , la matrice est trigonalisable et la décomposition de Jordan de cette matrice est : 3) Pour tout , on en déduit que : On doit donc chercher la puissance de la matrice ; pour
12 Matrices symétriques et matrices définies positives
Diagonalisation I Si A2Rn nest sym etrique, elle est toujours diagonalisable sous la forme A= S S 1 avec S; 2Rn n I est la matrice diagonale des valeurs propres (r eelles) I La matrice des vecteurs propres Scontient des vecteurs orthonormaux : C’est une matrice orthogonale que l’on notera Qa n d’avoir A= Q Q 1 = Q Q> (c’est leth eor
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Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives
12. Matrices sym´etriques et matrices
d´eifinies positivesSections 6.4 et 6.5
MTH1007
J. Gu´erin, N. Lahrichi, S. Le Digabel
Polytechnique Montr´eal
H2023 (v3)MTH1007: alg`ebre lin´eaire1/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives Plan1. Matrices sym´etriques
2. Matrices d´eifinies positives
MTH1007: alg`ebre lin´eaire2/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives1. Matrices sym´etriques
2. Matrices d´eifinies positives
MTH1007: alg`ebre lin´eaire3/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesValeurs et vecteurs propres
SiAest une matrice sym´etrique alors ses valeurs propres sont r´eelles Les vecteurs propres d'une matrice sym´etrique qui correspondent `a des valeurs propres distinctes sont orthogonaux(preuve : exercice de TD 6.4.18) On peut donc choisir les vecteurs propres comme ´etant orthonormauxMTH1007: alg`ebre lin´eaire4/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesVecteurs propres d'une matrice sym´etrique 2x2
Avec A=a b b c et ses deux valeurs propresλ1etλ2, on a les deux vecteurs propres x 1=b 1-a et x2=λ2-c
bMTH1007: alg`ebre lin´eaire5/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesValeurs propres et pivots
Les valeurs propres d'une matrice sont tr`es difff´erentes des pivotsLe seul lien est :
d´eterminant = produit des pivots = produit des valeurs propres Pour les matrices sym´etriques, les pivots et les valeurs propres ont le mˆeme signeMTH1007: alg`ebre lin´eaire6/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesDiagonalisation
SiA∈Rn×nest sym´etrique, elle est toujours diagonalisable sous la formeA=SΛS-1avecS,Λ∈Rn×n Λest la matrice diagonale des valeurs propres (r´eelles) La matrice des vecteurs propresScontient des vecteurs orthonormaux : C'est une matrice orthogonale que l'on noteraQaifin d'avoir
(c'est le th ´eor`emesp ectralMTH1007: alg`ebre lin´eaire7/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesTh´eor`eme spectral
Une matriceAest sym´etrique si et seulement si elle peut ˆetre factoris´ee sous la forme o`uQest orthogonale etΛest la matrice diagonale des valeurs propresMTH1007: alg`ebre lin´eaire8/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesExemple 1
Illustrer le th´eor`eme spectral avec
A=1 2 2 4MTH1007: alg`ebre lin´eaire9/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives D´ecomposition en somme de matrices de projectionAvecA∈Rn×nsym´etrique, on a
q1q2...qn 1 2... n q q =λ1P1+λ2P2+...+λnPn vecteur propreqi,i∈ {1,2,...,n}MTH1007: alg`ebre lin´eaire10/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesExemple 2
Illustrer la d´ecomposition en somme de matrices de projection avec A=1 2 2 5MTH1007: alg`ebre lin´eaire11/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives1. Matrices sym´etriques
2. Matrices d´eifinies positives
MTH1007: alg`ebre lin´eaire12/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesD´eifinitions
Une matricesym´etriqueAestd´eifinie positive(not´eA≻0) si toutes ses valeurs propres sont strictement positivesUne matrice sym´etrique peut ˆetre :
D´eifinie positive :A≻0
Semi-d´eifinie positive :A⪰0
D´eifinie n´egative :A≺0
Semi-d´eifinie n´egative :A⪯0
Non-d´eifinieMTH1007: alg`ebre lin´eaire13/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positives Valeurs propres pour une matrice sym´etrique 2x2SoitA=a b
b c une matrice sym´etrique de taille2×2 Aest d´eifinie positive si ses valeurs propres sont strictement positives Les valeurs propres deAsont strictement positives :1.si et seulement sia >0etac-b2>0
2.si et seulement si les pivots sont positifs :a >0etac-b2a
>0 Sinon, sia <0et|A|=ac-b2>0,Aestd´eifinie n´egative (not´eA≺0) SinonApeut encore ˆetresemi-d´eifinie positive,semi-d´eifinie n´egative, et sinonnon-d´eifinie(ouind´eifinie)MTH1007: alg`ebre lin´eaire14/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesL'´energie d'une matrice
non nulx: x b c x y =ax2+ 2bxy+cy2>0 nul. C'est l'´energiedeA(enx) SiAest (sym´etrique) d´eifinie positive, alors l'´equation x repr´esente une ellipse dont les axes pointent dans la direction des vecteurs propres et dont les longueurs sont2MTH1007: alg`ebre lin´eaire15/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesExemple 3
Quel est le signe des matrices suivantes?
A 1=1 2 2 1 A 2=1-2 -2 6 A3=-1 2
2-6 A4=-1-5
1 4MTH1007: alg`ebre lin´eaire16/24
Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesRemarques
SiAetBsont sym´etriques d´eifinies positives, alorsA+B l'est aussi Toute matrice carr´ee sym´etriquen×npeut se d´ecomposer en colonnes deRsont ind´ependantes D´ecomposition de Cholesky :SiAest sym´etrique et d´eifinie positive, alors elle peut se d´ecomposer en avecLtriangulaire inf´erieureMTH1007: alg`ebre lin´eaire17/24 Matrices sym´etriquesMatrices d´eifinies positivesSous-matrices principales
Lesnsous-matrices principalesdeA= [aij]∈Rn×nsont A1= [a11]
A2=a11a12
a 21a22A