NOM : POLYNOMES 1ère S

NOM : POLYNOMES 1ère S Exercice 1 Parmi les 5 afﬁrmations suivantes, dire si elles sont vraies ou fausses Si elles sont vraies, les démontrer, si elles sont fausses, donner un contre-exemple 1) Si une fonction polynôme est de degré 3, alors son carré est de degré 9 2) Une fonction polynôme admet toujours une racine réelle

Exercices

exercices Premiere` S Exercice XV : Minimum 1)Etudier les variations de la fonction f déﬁnie par : f(x) = 2x2 + 4x 3 2)En déduire le minimum sur [2;2] de la fonction g déﬁnie par; g(x) = 1 2x + 4x 3 Exercice XVI : Fonction auxiliaire 1)Démontrer que l’équation 2x3 3x2 1 = 0 a une unique solution dans R et que 1 <

Exercices supplémentaires : Trigonométrie

Exercice 2 Dans chacun des cas suivant, donner trois autres réels associés au même point sur le cercle trigonométrique : 1) – 2) 3) 10 4) − Exercice 3 Parmi les mesures suivantes, indiquer celles qui sont associés au même point que − sur le cercle trigonométrique 47 12; − 49 12; 11 12; − 241 12; − 37 12; − 313 12 Exercice 4

Niveau concerné ère: 1 S Résolution de problème Comprendre

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NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 1

Parmi les 5 affirmations suivantes, dire si elles sont vraies ou fausses. Si elles sont vraies, les démontrer, si elles

sont fausses, donner un contre-exemple.

1)Si une fonction polynôme est de degré3, alors son carré est de degré9.

2)Une fonction polynôme admet toujours une racine réelle.

3)La fonction polynômePdéfinie parP(x) =x5+x4+ 7x+ 1n"a pas de racines positives.

4)Deux fonctions polynômes qui ont les mêmes racines sont égales.

5)Siest une racine de deux fonctions polynômesRetS, alors,R(x)S(x)est factorisable parx.D. LE FUR 1/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 2

Démontrer que la fonction polynômePdéfinie parP(x) =x2+x1possède une racine réelledans l"intervalle

[0 ; 1].

Il n"est pas demandé de la calculer.

IllustrationO~

i~ j(Cf)65432101234563210123456789

D. LE FUR 2/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 3

On considère les fonctionsfetgdéfinies surRparf(x) =x3etg(x) =x2+x1. On note(Cf)et(Cg)leurs représentations graphiques respectives. Calculer les coordonnées des points d"intersections de(Cf)et(Cg).

IllustrationO~

i~ j(Cf)(Cg)65432101234563210123456789

D. LE FUR 3/ 50

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Exercice 4

On considère la fonctionPdéfinie parP(x) =x3+ 6x29x+koùkest un nombre réel.

1)Déterminer la valeur du réelkpour que4soit une racine deP.

2)Pour la valeur dekdonnée à la question précédente, résoudre l"inéquationP(x)<0.Illustration

O~ i~ j(Cf)32101234563210123456789

D. LE FUR 4/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 5

Résoudre l"inéquation

2x2+ 3x10x3+ 7x214x+ 8>0.

On pourra, s"il y a lieu, factoriser le numérateur et le dénominateur puis faire un tableau de signes.Illustration

O~ i~ j(Cf)654321012345620161284048121620

D. LE FUR 5/ 50

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Exercice 6

On considère la fonction polynômePdéfinie par :P(x) =x35x2+ 3x+ 1.

On note,et

ses racines (elles existent!).

1)Ecrire en fonction de,et

la forme (totalement) factorisée deP(x).

2)Montrer que :++

= 5,+ = 3et =1.

3)Sachant que= 2p5et= 1, calculer (simplement) la troisième racine

IllustrationO~

i~ j(Cf)65432101234561210864202468

D. LE FUR 6/ 50

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Exercice 7

On considère la fonctionPdéfinie parP(x) =x2+ 12(4x+ 2)2.

1)Montrer quePest une fonction polynôme dont on précisera le degré.

2)Résoudre l"équationP(x) = 0.Illustration

O~ i~ j(Cf) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 120
110
100

90807060504030201001020

D. LE FUR 7/ 50

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Exercice 8

Le but de cet exercice est de montrer qu"un entierNest divisible par9si et seulement si la somme de ses chiffres

est divisible par9. A l"entierNqui s"écritanan1a2a1a0dans le système décimal, on associe le polynôme

P(x) =anx2+an1xn1++a2x2+a1x+a0:

Ainsi, on a :N=P(10).

Un exemple.

Au nombreN= 9873, on associe la fonction polynômeP(x) = 9x3+ 8x2+ 7x+ 3. On a bien :N=P(10).

1)SoitSla somme des chiffres deN. Montrer queS=P(1).

2)On poseP0(x) =P(x)S. Montrer que1est racine deP0(x).

3)En déduire queP(x) = (x1)Q(x) +SoùQest un polynôme de degrén1.

4)Montrer queN= 9Q(10) +S. En déduire queNest divisible par9si et seulement siSest divisible par9.D. LE FUR 8/ 50

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Exercice 9

On considère l"expression :f(x) =

x+p1 +x23+ xp1 +x23.

1)Démontrer que(a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3et que(ab)3=a33a2b+ 3ab2b3.

2)Démontrer quefest une fonction polynôme dont on précisera le degré.

3)Résoudre l"inéquationf(x)>0.

IllustrationO~

i~ j(Cf) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 20 18 16 14 12 10 8

64202468101214161820

D. LE FUR 9/ 50

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Exercice 10

On considère la fonction polynômePdéfinie parP(x) =x4+x37x213x6.

1)Quel est le degré deP?

2)Montrer quex=1est une racine deP.

3)Déterminer une fonction polynômeQdu troisième degré telle queP(x) = (x+ 1)Q(x).

4)Déterminer les racines deQ. On pourra s"inspirer des questions précédentes.

5)Résoudre l"inéquationP(x)>0.Illustration

O~ i~

D. LE FUR 10/ 50

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Exercice 11

Résoudrex46x2+ 8 = 0etx4x212 = 0.D. LE FUR 11/ 50

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Exercice 12

Soientfetgles fonctions définies parf(x) = 1x2etg(x) =x24x+ 2pour toutxréel. On note(Cf)et(Cg)leurs courbes représentatives respectives dans un repère(O;!i ;!j).

1)Dresser les tableaux de variations defetg.

2)Résoudre l"inéquationg(x)60et interpréter graphiquement.

3)Tracer(Cf)et(Cg)en précisant les coordonnées des points d"intersection éventuels.

IllustrationO~

i~ j(Cf)(Cg) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 8

7654321012345678

D. LE FUR 12/ 50

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Exercice 13

Factoriser surR:P(x) =x41.

IllustrationO~

i~ j(Cf)65432101234562101234567891011121314

D. LE FUR 13/ 50

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Exercice 14

On donne la fonction rationnellefdéfinie par :f(x) =2x3+ 11x27x20x 22x3.

1)Quel est l"ensemble de définition def?

2)Factoriser le numérateur et le dénominateur def, puis simplifier l"expression def(x).

3)Résoudre l"inéquationf(x)>0.

IllustrationO~

i~ j(Cf)A

654321012345684048121620

D. LE FUR 14/ 50

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Exercice 15

Résoudre les équations :

3+x2+x+ 1 = 0On pourra remarquer quex3+x2=x2(x+ 1).

3x3+x2+ 3x+ 1 = 0On pourra remarquer que3x3+x2=x2(3x+ 1).D. LE FUR 15/ 50

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Exercice 16

Déterminer une fonction polynômePde degré3admettant1,3et4pour racines et telle queP(2) = 90.

IllustrationO~

i~ j(Cf) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5

6403632282420161284048121620

D. LE FUR 16/ 50

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Exercice 17

On considère la fonction polynôme définie par :

Q(x) = 2x37x+ 2:

1)Vérifier que2est une racine deQ.

2)FactoriserQet résoudre l"équationQ(x) = 0.

IllustrationO~

i~ j(Cf) 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 40
36

32282420161284048121620

D. LE FUR 17/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 18

On donne la fonction rationnellefdéfinie par :f(x) =x3+ 2x232x23x+ 5.

1)Quel est l"ensemble de définition def?

2)Factoriser le numérateur et le dénominateur def, puis simplifier l"expression def(x).

3)Résoudre l"inéquationf(x)60.

IllustrationO~

i~ j(Cf)A 9 8 7 6 5 4 3 2 1 0 1 2 3 4 5 6 20 18 16

1412108642024681012

D. LE FUR 18/ 50

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Exercice 19

On considère la fonction polynômePdéfinie par :

P(x) =2x33x2+ 12x+ 20:

1)Vérifier que=2est une racine deP.

2)En déduire une factorisation maximale deP.

3)Résoudre l"inéquation :3x(4x)62(x310).

IllustrationO~

i~ j(Cf)9876543210123456840481216202428

D. LE FUR 19/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 20

On considère la fonction polynômePdéfinie par :

P(x) =x32x29x+ 18:

1)CalculerP(2). En déduire quex1= 2est une racine deP.

2)FactoriserP.

3)Résoudre l"inéquationP(x)>0.Illustration

O~ i~ j(Cf)9876543210123456840481216202428

D. LE FUR 20/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 21

Résoudre l"équation :x2(J+M)x+JM= 0.D. LE FUR 21/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 22

Résoudre l"inéquation :

41 + (M+ 1)2x2+ (M+ 1)2>0:

Indication : on pourra poserX=x2, puis factoriser et enfin faire un tableau de signes.D. LE FUR 22/ 50

[PDF] NOM : POLYNOMES 1ère S

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 1

1)Si une fonction polynôme est de degré3, alors son carré est de degré9.

2)Une fonction polynôme admet toujours une racine réelle.

3)La fonction polynômePdéfinie parP(x) =x5+x4+ 7x+ 1n"a pas de racines positives.

4)Deux fonctions polynômes qui ont les mêmes racines sont égales.

5)Siest une racine de deux fonctions polynômesRetS, alors,R(x)S(x)est factorisable parx.D. LE FUR 1/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 2

Il n"est pas demandé de la calculer.

IllustrationO~

D. LE FUR 2/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 3

IllustrationO~

D. LE FUR 3/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 4

1)Déterminer la valeur du réelkpour que4soit une racine deP.

2)Pour la valeur dekdonnée à la question précédente, résoudre l"inéquationP(x)<0.Illustration

D. LE FUR 4/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 5

Résoudre l"inéquation

2x2+ 3x10x3+ 7x214x+ 8>0.

D. LE FUR 5/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 6

On note,et

1)Ecrire en fonction de,et

2)Montrer que :++

3)Sachant que= 2p5et= 1, calculer (simplement) la troisième racine

IllustrationO~

D. LE FUR 6/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 7

1)Montrer quePest une fonction polynôme dont on précisera le degré.

2)Résoudre l"équationP(x) = 0.Illustration

90807060504030201001020

D. LE FUR 7/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 8

P(x) =anx2+an1xn1++a2x2+a1x+a0:

Ainsi, on a :N=P(10).

Un exemple.

1)SoitSla somme des chiffres deN. Montrer queS=P(1).

2)On poseP0(x) =P(x)S. Montrer que1est racine deP0(x).

3)En déduire queP(x) = (x1)Q(x) +SoùQest un polynôme de degrén1.

4)Montrer queN= 9Q(10) +S. En déduire queNest divisible par9si et seulement siSest divisible par9.D. LE FUR 8/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 9

On considère l"expression :f(x) =

1)Démontrer que(a+b)3=a3+ 3a2b+ 3ab2+b3et que(ab)3=a33a2b+ 3ab2b3.

2)Démontrer quefest une fonction polynôme dont on précisera le degré.

3)Résoudre l"inéquationf(x)>0.

IllustrationO~

64202468101214161820

D. LE FUR 9/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 10

1)Quel est le degré deP?

2)Montrer quex=1est une racine deP.

3)Déterminer une fonction polynômeQdu troisième degré telle queP(x) = (x+ 1)Q(x).

4)Déterminer les racines deQ. On pourra s"inspirer des questions précédentes.

5)Résoudre l"inéquationP(x)>0.Illustration

D. LE FUR 10/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 11

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 12

1)Dresser les tableaux de variations defetg.

2)Résoudre l"inéquationg(x)60et interpréter graphiquement.

3)Tracer(Cf)et(Cg)en précisant les coordonnées des points d"intersection éventuels.

IllustrationO~

7654321012345678

D. LE FUR 12/ 50

NOM : POLYNOMES 1ère S

Exercice 13

Factoriser surR:P(x) =x41.