Variables aleatoires, fon´ ions cara iques Corrige´

Exercice 3 On consid ere deux variables al eatoires T 1 et T 2 prenant pour valeur les dur ees de vie en heure de deux composants de type A et B On suppose que ces deux composants suivent respectivement les lois Exp( 1) et Exp( 2) avec 1 = 0;0011 et 2 = 0;0008 Une variable al eatoire Xsuit une loi exponentielle Exp( ) si elle a pour densit e

Variables aléatoires continues : EXERCICES

3) On note X la variable aléatoire continue de densité f a) Matérialiser le nombre P(−1≤ X ≤1) sur le graphique puis préciser sa valeur b) Déterminer par une méthode de votre choix E (X ) ۝ Exercice 4 [Source : J Mugnier] On considère une variable aléatoire X suivante une loi normale centrée réduite n(0;12)

10 - Variables aléatoires Exercices

PSI Dupuy de Lôme – Chapitre 10 : Variables aléatoi res (Exercices) - 4 - 24 On considère une variable aléatoire X définie sur un espace probabilité ( Ω,Å,P) à valeurs dans

Variables aleatoires, fon´ ions cara iques Corrige´

Integrationetprobabilit´ ´es ENS Paris, 2012-2013 TD9– Variables aleatoires, fon´ ions cara eri´ iques Corrige´ 0 – Petite question 1 Calculer la fon ion cara eri´

Exercices corrigés de probabilités et statistique

Exercices corrigés de probabilités et statistique Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Cours de deuxième année de licence de sciences économiques

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES

Corrigé de l’exercice (a) Il faut que f 0 et RR R2 f = 1 La première condition donne k 0 Calculons l’intégrale double pour voir quand elle vaut 1 : ZZ R2

Variables aléatoires discrètes - Exo7

2 Soit X la variable aléatoire : «nombre de lettres affranchies au tarif urgent parmi 10 lettres» : Quelle est la loi de probabilité de X, quelle est son espérance, quelle est sa variance? Correction H [006005] Exercice 2 On prend au hasard, en même temps, trois ampoules dans un lot de 15 dont 5 sont défectueuses Calculer la

PROBABILITES – EXERCICES CORRIGES

2) Soit X la variable aléatoire associant à chaque tirage le gain algébrique du joueur (une perte est comptée négativement) a) Etablir la loi de probabilité de la variable X b) Calculer l'espérance de X 3) Les conditions de jeu restent identiques

TD 2 PROBABILITÉS - VARIABLES ALÉATOIRES

Exercice 3 Soit Xune variable aléatoire continue de densité de probabilité : f(x) = kxa x2[0;1] f(x) = 0 sinon où aest un paramètre réel strictement positif ﬁxé 1) Calculer la valeur de k 2) Calculer E(Xn) pour n2N et en déduire E(X) et Var(X): 3) Déterminer la fonction de répartition de X

Corrig

´e0 - Petite question

1.C alculerla f on?ion cara?´eri?ique de la loi de probabilit´e de densit´e (1jxj)?jxj<1?

2.?uelle e?la fon?ion cara?´eri?ique de la loi de probabilit´e de densit´e (1cos(x))=(x2)?

Corrig

´e :

1.On cal cule,en in t´egrant par parties pourt,0:

Z R (1jxj)?jxj<1eitxdx=2Z 1 0 (1x)cos(tx)dx=21cos(t)t 2: Pourt=0, la premi`ere int´egrale vaut1(normal, c"e?une densit´e de probabilit´e!).

2.D" apr`eslecours,sie?unemesuredeprobabilit´esdontlafon?ioncara?´eri?iquebe?int´egrable

par rapport `a la mesure de Lebesgue, alorse?absolument continue par rapport`a, et sa densit

´e e?donn´ee-p.p. par

x7!12Z R b(t)eitxdt:

On en d

´eduit que pour presque toutx2R:

(1jxj)?jxj<1=12Z R dt21cos(t)t

2eitx:

Les deux membres

´etant des fon?ions continues enx, on a l"´egalit´e pour toutx2R. En faisant le

changement de variablex=x, il s"ensuit que la fon?ion cara?´eri?ique de la loi de probabilit´e de

densit ´e (1cos(x))=(x2) e?x7!(1jxj)?jxj<1.1 - Lois de variables al ;A;P).

1.On suppose que X=Yp.s. Montrer queXetYont la mˆeme loi. Montrer que la r´eciproque e?

fausse.Pour des que?ions, demande de pr´ecisions ou explications,n"h´esitez pas`a m"envoyer un mail`a

igor.kortchemski@ens.fr , ou bien `a venir me voir au bureau V4. 1

2.On suppose que XetYont la mˆeme loi.

(a) Soit f:R!Rune fon?ion bor´elienne. Montrer que les variables al´eatoiresf(X) etf(Y) ont la m

ˆeme loi.

(b)

Mon trerque les v ariablesal

´eatoiresXZetYZn"ont pas n´ecessairement la mˆeme loi.

Corrig

´e :

1.Si X=Yp.s. alors pour toute fon?ion bor´eliennef:R!R+:

E(f(X)) =Z

f(X(!))P(d!) =Z f(X(!))P(d!) =E(f(Y)):

Pour la deuxi

`eme´egalit´e, on a utilis´e le fait que l"int´egrale de deux fon?ions presque partout egales e?la mˆeme. Ceci montre queXetYont la mˆeme loi. La r ´eciproque e?fausse. Consid´erons une variable al´eatoireXde loi normaleN(0;1) (c"e?-`a- dire de densit ´ep21ex2=2par rapport`a la mesure de Lebesgue). PosonsY=X. AlorsYe?une variable al ´eatoireXde loi normaleN(0;1). En effet soitg:R!R+une fon?ion bor´elienne. Alors

E(g(Y)) =Z

+1 1 g(x)ex2=2dx=Z +1 1 g(x)ex2=2dx: DoncXetYont la mˆeme loi mais ne sont pas´egales p.s (en effetP(X=Y) =P(X=0) =0carXe? une variable al

´eatoire`a densit´e).

2.(a) P ourtoute f on?ion bor´elienneg:R!R+, la fon?iongfe?bor´elienne. CommeXetYont

la m

ˆeme loi, on a

E(gf(X)) =E(gf(Y));

ce qui montre quef(X) etf(Y) ont la mˆeme loi. (b) On reprend les variablesXetYde la que?ion1. SoitZ=X. AlorsXZ=X2etYZ=X2. La loi deX2e?une mesure de probabilit´e surR+(diff´erente de la mesure de Dirac0) et la loi deX2

e?une mesure de probabilit´e surRdoncXZetYZn"ont pas la mˆeme loi.Exercice 2.(Simulation de variables al´eatoires.) SoientXune variable al´eatoire r´eelle d´efinie sur un

espace de probabilit

´e (

quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

[PDF] Variables aleatoires, fon´ ions cara iques Corrige´

Variables al eatoires continues

Variables aléatoires continues : EXERCICES

10 - Variables aléatoires Exercices

Variables aleatoires, fon´ ions cara iques Corrige´

Exercices corrigés de probabilités et statistique

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES

Variables aléatoires discrètes - Exo7

PROBABILITES – EXERCICES CORRIGES

TD 2 PROBABILITÉS - VARIABLES ALÉATOIRES

Corrig

´e0 - Petite question

1.C alculerla f on?ion cara?´eri?ique de la loi de probabilit´e de densit´e (1jxj)?jxj<1?

2.?uelle e?la fon?ion cara?´eri?ique de la loi de probabilit´e de densit´e (1cos(x))=(x2)?

Corrig

´e :

1.On cal cule,en in t´egrant par parties pourt,0:

2.D" apr`eslecours,sie?unemesuredeprobabilit´esdontlafon?ioncara?´eri?iquebe?int´egrable

´e e?donn´ee-p.p. par

On en d

´eduit que pour presque toutx2R:

2eitx:

Les deux membres

1.On suppose que X=Yp.s. Montrer queXetYont la mˆeme loi. Montrer que la r´eciproque e?

2.On suppose que XetYont la mˆeme loi.

ˆeme loi.

Mon trerque les v ariablesal

Corrig

´e :

1.Si X=Yp.s. alors pour toute fon?ion bor´eliennef:R!R+:

E(f(X)) =Z

Pour la deuxi

E(g(Y)) =Z

´eatoire`a densit´e).

2.(a) P ourtoute f on?ion bor´elienneg:R!R+, la fon?iongfe?bor´elienne. CommeXetYont

ˆeme loi, on a

E(gf(X)) =E(gf(Y));

´e (