Exercices corrigés de probabilités et statistique

Exercice 3 On consid ere deux variables al eatoires T 1 et T 2 prenant pour valeur les dur ees de vie en heure de deux composants de type A et B On suppose que ces deux composants suivent respectivement les lois Exp( 1) et Exp( 2) avec 1 = 0;0011 et 2 = 0;0008 Une variable al eatoire Xsuit une loi exponentielle Exp( ) si elle a pour densit e

Variables aléatoires continues : EXERCICES

3) On note X la variable aléatoire continue de densité f a) Matérialiser le nombre P(−1≤ X ≤1) sur le graphique puis préciser sa valeur b) Déterminer par une méthode de votre choix E (X ) ۝ Exercice 4 [Source : J Mugnier] On considère une variable aléatoire X suivante une loi normale centrée réduite n(0;12)

10 - Variables aléatoires Exercices

PSI Dupuy de Lôme – Chapitre 10 : Variables aléatoi res (Exercices) - 4 - 24 On considère une variable aléatoire X définie sur un espace probabilité ( Ω,Å,P) à valeurs dans

Variables aleatoires, fon´ ions cara iques Corrige´

Integrationetprobabilit´ ´es ENS Paris, 2012-2013 TD9– Variables aleatoires, fon´ ions cara eri´ iques Corrige´ 0 – Petite question 1 Calculer la fon ion cara eri´

Exercices corrigés de probabilités et statistique

Exercices corrigés de probabilités et statistique Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne Cours de deuxième année de licence de sciences économiques

COUPLES DE VARIABLES ALÉATOIRES CONTINUES

Corrigé de l’exercice (a) Il faut que f 0 et RR R2 f = 1 La première condition donne k 0 Calculons l’intégrale double pour voir quand elle vaut 1 : ZZ R2

Variables aléatoires discrètes - Exo7

2 Soit X la variable aléatoire : «nombre de lettres affranchies au tarif urgent parmi 10 lettres» : Quelle est la loi de probabilité de X, quelle est son espérance, quelle est sa variance? Correction H [006005] Exercice 2 On prend au hasard, en même temps, trois ampoules dans un lot de 15 dont 5 sont défectueuses Calculer la

PROBABILITES – EXERCICES CORRIGES

2) Soit X la variable aléatoire associant à chaque tirage le gain algébrique du joueur (une perte est comptée négativement) a) Etablir la loi de probabilité de la variable X b) Calculer l'espérance de X 3) Les conditions de jeu restent identiques

TD 2 PROBABILITÉS - VARIABLES ALÉATOIRES

Exercice 3 Soit Xune variable aléatoire continue de densité de probabilité : f(x) = kxa x2[0;1] f(x) = 0 sinon où aest un paramètre réel strictement positif ﬁxé 1) Calculer la valeur de k 2) Calculer E(Xn) pour n2N et en déduire E(X) et Var(X): 3) Déterminer la fonction de répartition de X

Exercices corrigés de

probabilités et statistique

Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne

Cours de deuxième année de licence de sciences économiques

Fabrice Rossi & Fabrice Le Lec

Cette oeuvre est mise à disposition selon les termes de la licence Creativ e Commons Paternité - Partage à l"Identique 3.0 non transposé

Table des matières

iii

1 Expériences aléatoires et probabilités

2 Conditionnement et indépendance

3 Variables aléatoires discrètes

3.1 Loi, fonction de répartition, espérance et variance

. . . . . . . . 25

3.2 Lois discrètes classiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

3.3 Variable fonction d"une autre variable

. . . . . . . . . . . . . . 44

3.4 Couples de variables aléatoires

. . . . . . . . . . . . . . . . . . 48

4 Variables aléatoires absolument continues

4.1 Densité, fonction de répartition et moments

. . . . . . . . . . . 55

4.2 Lois continues classiques

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 63

Évolutions de ce document

71
iii IntroductionCe document propose des exercices corrigés illustrant le cours de probabilités et statistique. Les corrections sont abondamment commentées pour faciliter la compréhension et expliciter le raisonnement qui conduit à la bonne solution. On trouve ainsi à la suite de l"énoncé d"un exercice une série de commentaires encadrant des éléments de correction. La réponse attendue lors d"une évaluation est constituée de l"ensemble des éléments de correction, à l"exclusion, bien entendu, des commentaires. Pour faciliter la séparation entre correction et commentaires, les éléments de correction sont présentés comme suit :Correction

Un élément de correction.

Pour profiter au maximum de ce recueil, il est très vivement conseillé de lire l"énoncé seulement, puis de rédiger une correction exhaustive (et pas seulement un brouillon) en se mettant dans les conditions d"une évaluation, c"est-à-dire en se chronométrant, en n"utilisant pas de calculatrice et, enfin, en s"abstenant de consulter des notes de cours ou d"autres documents. Une fois la correction rédigée, on pourra la confronter à la correction type, en repérant notamment les justifications manquantes. On pourra aussi rechercher dans les commentaires un éventuel raisonnement faux typique, si la correction rédigée est fortement

éloignée de la correction type.

Chapitre 1

Expériences aléatoires et

probabilités

Exercice 1.1

ÉnoncéOn étudie les connexions d"internautes à un site web. Celui-ci propose six versions de son contenu, réparties en trois versions anglaises (notéesen) et trois versions françaises (notéesfr). Pour chaque langue, les trois versions sont les suivantes : une version normale (n), une version pour les petits écrans comme ceux des téléphones (p) et une version pour les écrans de taille moyenne comme ceux des tablettes (m). En étudiant l"historique des connexions, on constate que les versions ne sont pas utilisées de façon uniforme. Plus précisément, si on choisit un internaute connecté au hasard, la probabilité de tomber sur chacune des versions est donnée par la table suivante : version(fr;n) (fr;p) (fr;m) (en;n) (en;p) (en;m)P(fversiong)a 521
121
421
b321 Dans la table, chaque version est désignée par sa langue et son type. L"ensemble des six versions forme l"univers . Les lettresaetbdésignent des paramètres à déterminer.

Question 1

Quelles propriétés doivent vérifieraetbpour quePsoit bien une probabilité sur

Question 2

On constate que le site a deux fois plus d"utilisateurs anglophones que d"utilisateurs francophones. En déduiteaetb.

Question 3

Quel pourcentage d"utilisateurs du site consultent la version pour petit écran? Dans cet exercice, l"univers est déjà fixé et l"objectif est de construire une proba- bilité sur cet univers. Les questions ont pour objectif de tester la connaissance des propriétés d"une probabilité. 1

2Chapitre 1. Expériences aléatoires et probabilitésCorrectionPour quePsoit une probabilité sur

, il faut queP(fversiong)2[0;1] pour toute version du site web. En particulier, on doit donc avoir :

P(f(fr;n)g) =a2[0;1];

P(f(en;p)g) =b2[0;1]:

De plus, on doit avoirP(

) = 1. Or, est l"union disjointe de tous les évènements élémentaires etP( )est donc la somme des probabilités indiquées dans le tableau. On a donc : P( ) =a+521 +121
+421
+b+321 = 1; soit a+b=821 Il est fréquent que la solution proposée ne soit pas aussi bien justifiée que ce qui précède. Il est pourtant important de ne pas oublier les conditions de la forme a2[0;1]et surtout de justifier qu"on peut faire la somme des valeurs données dans le tableau. Il se pourrait en effet que ne soit pas couvert complètement par les éléments du tableau (imaginons ici une version allemande du site pour laquelle on ne donne pas de probabilités précises), et il faudrait donc connaître la probabilité de l"ensemble des évènements élémentaires listés dans le tableau pour remplacer l"analyse basée surP( ) = 1.Correction Le site ayant deux fois plus d"utilisateurs anglophones que francophones, on suppose queP(fversion anglaiseg) = 2P(fversion françaiseg). Or l"évène- mentfversion anglaisegest l"union disjointe des trois évènementsf(en;n)g, f(en;p)getf(en;m)get donc la probabilité de l"évènement est la somme des probabilités des trois évènements élémentaires. Donc, d"après le tableau, on a

P(fversion anglaiseg) =421

+b+321 =b+721

De la même façon, on trouve que

P(fversion françaiseg) =a+521

+121
=a+621 3 soit finalement b+721 = 2 a+621 :En combinant cette équation avec le résultat obtenu à la question précédent,

à savoira+b=821

, on trouve b+721 = 2821 b+621 soitb=13eta=121. On constate queaetbsont bien des éléments de [0;1]ce qui montre que cette solution est acceptable. Comme pour la première question, il faut justifier les réponses en évoquant au moins une fois la décomposition d"un évènement bien choisi en évènements dont on connaît les probabilités. La dernière question se traite de cette façon aussi.Correction L"évènementfpetit écrangest l"union disjointe des évènementsf(en;p)g etf(fr;p)g, donc sa probabilité est la somme des probabilités de ces deux

évènements. On obtient ainsi :

P(fpetit écrang) =P(f(en;p)g) +P(f(fr;p)g) =521 +b=1221 :Exercice 1.2

Énoncé

On place dans un sac 5 billets de 5e, 7 billets de 10eet 10 billets de 20e. On choisit au hasard une poignée de 8 billets, chaque billet ayant la même probabilité d"être attrapé. Question 1Quelle est la probabilité de n"avoir choisi aucun billet de 5e?

Question 2

Quelle est la probabilité d"avoir obtenu uniquement des billets de 20e?

Question 3

quotesdbs_dbs3.pdfusesText_6

[PDF] Exercices corrigés de probabilités et statistique

Exercices corrigés de

Université Paris 1 Panthéon-Sorbonne

Fabrice Rossi & Fabrice Le Lec

Table des matières

Table des matières

1 Expériences aléatoires et probabilités

2 Conditionnement et indépendance

3 Variables aléatoires discrètes

3.1 Loi, fonction de répartition, espérance et variance

3.2 Lois discrètes classiques

3.3 Variable fonction d"une autre variable

3.4 Couples de variables aléatoires

4 Variables aléatoires absolument continues

4.1 Densité, fonction de répartition et moments

4.2 Lois continues classiques

Évolutions de ce document

Un élément de correction.

éloignée de la correction type.

Chapitre 1

Expériences aléatoires et

Exercice 1.1

Question 1

Question 2

Question 3

2Chapitre 1. Expériences aléatoires et probabilitésCorrectionPour quePsoit une probabilité sur

P(f(fr;n)g) =a2[0;1];

P(f(en;p)g) =b2[0;1]:

De plus, on doit avoirP(

P(fversion anglaiseg) =421

De la même façon, on trouve que

P(fversion françaiseg) =a+521

à savoira+b=821

évènements. On obtient ainsi :

Énoncé

Question 2

Question 3