Première S - Cosinus et sinus d’un nombre réel

Enfin, dans le triangle ADE, d’après la propriété de la somme des angles orientés d’un triangle : (Microsoft Word - 1S DM AOV corrig\351 doc)

CORRIGÉ du DM de mathématiques n°7: Trigonométrie 1ère S1

CORRIGÉ du D M de mathématiques n°7: Trigonométrie 1ère S1 A rendre le mercredi 9 mai 2012 au début de l'heure Exercice 1 Ex 4 p 192 Angles orientés dans un pentagone

Devoir à la maison 1 S Devoir à la maison 1ère S

utilisant les angles orientés 1°) Faire une figure 2°) Triangle ADE : a Démontrer que le triangle ADE est isocèle b En déduire que ( ED, EA) = 5π 12 3°) Triangle BEF : a Déterminer une mesure de ( BE, BF) b En déduire une mesure de ( EB, EF) 4°) Retour au problème : a

Exercices supplémentaires : Trigonométrie

Déterminer la mesure principale des angles dont les mesures en radians sont : − 7 3; − ; 13 6; 47 12; − 49 6; 11 3; − 241 4; − 37 12;3,14 ;2013

Vecteurs et colinéarité Angles orientés et trigonométrie

Tableau des angles remarquables en radian : Degré 30˚ 45˚ 60˚ 90˚ Radian π 6 π 4 π 3 π 2 3 2 Déﬁnition Définition 5 : Un angle orienté est déﬁni par deux vecteurs~u et~v, noté (~u,~v) L’angle est alors orienté de~u vers~v Sur la ﬁgure ci-contre, on a repré-senté deux angles orientés, représen-tant le même angle (~u

Exercice 1 (2 points) - MathémaTICE

Classe de 1ère S Devoir surveillé de mathématiques 25/11/11 Exercice 1 (2 points) 1 Convertir en radians les mesures d'angles exprimées en degrés : α=12° et β=195° Les résultats exacts sont attendus, simplifiés si c'est possible 2 Convertir en degrés les mesures d'angles exprimées en radians : a= 7π 12 et b= 13π 9 Exercice 2

Première S - Cosinus et sinus d’un nombre réel

• Les angles de mesures T et – T sont symétriques par rapport à l’axe des abscisses Par symétrie on en déduit que : cos (- T) = cos T et sin (- T) = -sin T • Les angles de mesures T et è F T sont symétriques par rapport à l’axe des ordonnées Par symétrie on en déduit que : cos ( è F T) = F cos et sin ( è F T) = sin

Contrôle Mathématiques 1ère S TRIGONOMETRIE 1

U50 – Trigonométrie (devoir) www famillefutee com 1 Contrôle Mathématiques – 1ère S TRIGONOMETRIE Exercice 1 (1 point) Les 2 réels 7???? 5 et− 13???? 5 sont−ils des mesures d′un même angle orienté ?

Corrigé du sujet de Mathématiques et propositions pour une

Académies d'Aix-Marseille, Corse, Montpellier, Nice - mai 2000 Page 137 2) La durée du parcours retour est: 20 x 40 x 20 2 x T retour et la vitesse moyenne sur le parcours retour est:

Cosinus et sinus d'un nombre réel

I) Définition

Soit ݔun nombre réel. On considère le cercle trigonométrique (C) et la tangente (d) en I. On

munit (d) d'un repère (I ;ଔԦ ). (voir figure ci-dessous) Par enroulement de la droite (d) sur le cercle (C), M'(1 ; ݔ) a pour image M.

Définition :

Les coordonnées du point M sont : (cos࢞ ; sin࢞ ) Les cosinus de ࢞ noté cos ࢞ est l'abscisse du point M. Le sinus de ࢞noté sin࢞ est l'ordonnée du point M.

Exemples :

Le nombre గ

a pour image le point J de coordonnées (0 ; 1) donc cos = 1 et sin గ

Le nombre ߨ

donc cosߨ = -1 et sin ߨ

II) Propriétés :

Pour tout nombre réel ࢞ et tout nombre entier relatif ࢑ : • -1 ൑ cos ࢞ ൑ 1 -1 ൑ sin ࢞ ൑ 1

• cos (࢞൅૛࢑࣊) = cos࢞ sin (࢞൅૛࢑࣊) = sin࢞

• cos²࢞ + sin²࢞ = 1

Démonstration:

• Le périmètre du cercle étant 2ߨ ,݇ tours du cercle correspondent 2݇ߨ

ݔ' =ݔ + 2݇ߨ ( ݇߳Ժ ). D'où cos (ݔ൅ʹ݇ߨ ) = cos ݔ et sin (ݔ൅ʹ݇ߨ

• Comme cos² ݔ + sin² ݔ = 1 alors -1 ൑ cos ݔ ൑ 1 et -1 ൑ sin ݔ ൑ 1

Autre explication : comme cos ݔ et sin ݔ sont les abscisses et les ordonnées

de tout point du cercle trigonométrique alors -1 ൑ cos ݔ ൑ 1 et -1 ൑ sin ݔ ൑ 1

Soit M (ݔ ; ݕ) . Dans le triangle OMA rectangle en A, on applique le théorème de Pythagore :

OM² = OA² + AM²

AM = OE = sin ݔ

OA = cos ݔ

OM = 1 car sa mesure est le rayon du cercle

1 = cos² ݔ + sin² ݔ

III) Tableau des valeurs à connaitre

ݔ (radians) 0 ߨ

cosݔ 1 t t 0 -1 sin 0 ͳ t t 1 0 Valeurs usuelles sur le cercle trigonométrique :

IV) Cosinus et sinus d'angles orientés

1) Définition :

Soit ࢛,,& et ࢜,,& deux vecteurs. Il existe un réel ࢞ tel que (࢛,,& ; ࢜,,& ) = ࢞.

cos (࢛ ,,& ; ࢜,,& ) = cos࢞ sin (࢛ ,,& ; ࢜,,& ) = sin࢞

Exemples

Exemple 1 :

Le plan orienté est muni d'un repère orthonormé direct (O ; ଓԦ ;ଔ ,,&) . Déterminer :

Solutions:

Exemple 2 : ABC est un triangle équilatéral.

Solution :

ସ (2ߨ 6 sin (െଓ 6

ABC est un triangle équilatéral donc :

ଷ (2ߨ ) = cos (- గ ) = sin (- గ 6

2) Formules trigonométriques

Propriété 1 :

• cos ( -࢞ ) = cos ࢞ • cos (࣊െ࢞) = െ cos࢞ • cos (࣊൅࢞) = െ cos࢞

sin ( -࢞) = -sin ࢞ sin (࣊െ࢞) = sin࢞ sin (࣊൅࢞) = െsin࢞

M et N ont la même M et N ont la même M et N ont les abscisse et les ordonnée et les abscisses abscisses et les ordonnées opposées. opposées. ordonnées opposées.

Démonstration :

• Les angles de mesures ݔ et -ݔ sont symétriques par rapport à l'axe des abscisses. Par symétrie

on en déduit que : cos (-ݔ) = cos ݔ et sin (-ݔ) = -sin ݔ

Les angles de mesures ݔ et ߨ

symétrie on en déduit que : cos (ߨെݔ) = െ cosݔ et sin (ߨ

Les angles de mesures ݔ et ݔ൅ߨ

déduit que : cos (ߨ൅ݔ) = െ cosݔ et sin (ߨ

Propriété 2 :

• cos െ࢞) = sin ࢞ • cos ( ൅࢞) = െsin ࢞ sin െ࢞) = cos ࢞ sin (࣊ ૛ ൅࢞) = cos ࢞

M et N sont symétriques par rapport N

1 est le symétrique de N (de la figure à la droite (ȟ) d'équation ݕൌݔ ci-contre) par rapport à l'axe des Leurs coordonnées sont permutées : ordonnées.

L'abscisse de l'un et l'ordonnée de l'autre

et vice-versa.

Donc :

cos ( sin Un démonstration plus rigoureuse de ces formules se font à partir des formules d'addition du cosinus et sinus ( voir la fiche de cours : Application du produit scalaire :

Trigonométrie )

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