Fonctions convexes - Claude Bernard University Lyon 1
La fonction f est dite concave (resp strictement concave) sur I si −f est convexe (resp strictement convexe) sur I Remarques et exemples 1) Une fonction convexe sur un intervalle I est aussi convexe sur toute partie de I qui est un intervalle 2) Une partie E d’un espace vectoriel r´eel est dite convexe si x, y ∈ E et λ ∈ [0,1
Fonctions convexes 1 Dimension 1 - Institut de Mathématiques
Si f0est strictement croissante, le même calcul montre que fest strictement convexe Remarque 4 –Si In’est pas ouvert, la continuité au bord n’est pas assurée (par exemple si on prend I= [0;1] et la fonction fnulle sur ]0;1] et qui vaut 1 en 0, on a bien une fonction convexe non continue en 0
Fonctions convexes 1 Dimension 1 - Institut de Mathématiques
Si f0est strictement croissante, le même calcul montre que fest strictement convexe Remarque 4 —Si In’est pas ouvert, la continuité au bord n’est pas assurée (par exemple si on prend I= [0;1] et la fonction fnulle sur ]0;1] et qui vaut 1 en 0, on a bien une fonction convexe non continue en 0
FONCTIONS CONVEXES - ISIMA
On montre facilement qu’une fonction fortement convexe est strictement convexe On a aussi la caractérisation suivante : Proposition 3 1 Soit C un convexe de IRn et a ∈ IRn La fonction f : C 7→IRn est fortement convexe sur C si et seulement si la fonction g définie ci-dessous est convexe : g(x) = f(x)− α 2 kx−ak2 Démonstration
COURSOPTIMISATION CoursenMasterM1SITN IonelSorinCIUPERCA
Si f : IRnIRm est une fonction constantealors rf = 0 et J f = 0 On a aussi fortement concave) si f est convexe (respectivement strictement convexe, res-
Convexité : résumé - MATHEMATIQUES
f est strictement convexe sur I si et seulement si la fonction pente en tout x0 de I est strictement croissante sur I Théorème 10 (Cas des fonctions dérivables) Soit f une fonction définie sur un intervalle I de Rà valeurs dans R On suppose de plus que f est dérivable sur I
Optimisation convexe - u-bordeauxfr
Si fest strictement convexe sur I, elle admet au plus un minimiseur La fonction x7ex est strictement convexe sur R et n’admet pas de minimum ni de minimiseur sur R 1 2 2 Optimisation de fonctions de R dans R Si fest une fonction d e nie d’un intervalle IˆR et a valeurs dans R[f+1g,
Convexit´e - unicefr
Soit f une fonction d´erivable sur un intervalle I a) f est strictement convexe ssi f0 est strictement croissante b) Si f est deux fois d´erivable et si sa d´eriv´ee seconde est strictement positive sur I, alors f y est strictement convexe
229 Fonctions monotones et fonctions convexes Exemples et
Proposition 5 outeT fonction strictement monotone est ontinuec ssi f(I) est un intervalle Application 1 (Théorème de la bijection) [3] fest un homéomorphisme de Idans Jsi et seulement si f est ontinuec et strictement monotone 1 4 Critères de convexité Rappel: un convexe est stable par passage au barycentre Proposition 6
Convexité en optimisation, convexité forte
Soit KˆV, un convexe Une fonction f : K R est dite fortement convexe ou dans l’exemple 3 que f est strictement convexe sur V si, et seulement si Aest
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COURS OPTIMISATION
Cours en Master M1 SITN
Ionel Sorin CIUPERCA
1Table des matières
1 Introduction 4
2 Quelques rappels de calcul différentiel, analyse convexe et extremum 5
2.1 Rappel calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.1 Quelques Notations . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
2.1.2 Quelques rappels sur le calcul différentiel . . . . . . . . . . . . . . . 6
2.1.3 Rappel formules de Taylor . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10
2.1.4 Quelque rappels sur le matrices carrées réelles . . . . . . . . . . . . 11
2.2 Convexité . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11
2.2.1 Fonctions convexes, strictement convexes, fortement convexes . . . . 11
2.2.2 Exemples des fonctions convexes, strictement convexes et fortement
convexes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 162.2.3 Fonctions coercives . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
2.3 Conditions nécéssaires et suffisantes de minimum . . . . . . . . . . . . . . 17
2.4 Existence et unicité d"un point de minimum . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
3 Optimisation sans contraintes 23
3.1 Méthodes de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.1 Description de la méthode . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
3.1.2 Cas particulier des fonctions quadratiques . . . . . . . . . . . . . . 27
3.2 Méthodes de gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 28
3.2.1 Méthodes de gradient à pas optimal . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
3.2.2 Autres méthodes du type gradient . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 30
3.3 La méthode des gradients conjugués . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.1 Le cas quadratique . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33
3.3.2 Cas d"une fonctionJquelconque . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 38
4 Optimisation avec contraintes 39
4.1 Rappel sur les multiplicateurs de Lagrange . . . . . . . . . . . . . . . . . . 40
4.2 Optimisation sous contraintes d"inégalités . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
4.2.1 Conditions d"optimalité de premier ordre : multiplicateurs de Karush-
Kuhn-Tucker . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 414.2.2 Théorie générale du point selle . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
24.2.3 Applications de la théorie du point selle à l"optimisation . . . . . . 51
4.2.4 Le cas convexe . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 52
4.3 Algorithmes de minimisation avec contraintes . . . . . . . . . . . . . . . . 53
4.3.1 Méthodes de relaxation . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.2 Méthodes de projection . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
4.3.3 Méthodes de pénalisation exterieure . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
4.3.4 Méthode d"Uzawa . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61
3Chapitre 1
Introduction
En généraloptimisersignifie le fait de chercher une configuration optimale d"un sys-tème, c"est à dire, chercher la meilleure configuration parmi tous les configurations possibles
du système et ceci, par rapport à un critère donné. Pour décrire (et éventuellement résoudre) un problème d"optimisation nous utilisons la modélisation mathématique. La démarche de modélisation comporte 3 étapes : Etape 1.Choisir lesvariables de décision, qui sont les composantes du système sur lesquelles on peut agir. On supposera dans ce cours qu"il y a un nombre finit notén2INde variables de décision, chacune de ces variables étant un nombre réel. Alors les variables
de décision seront représentés par un vecteurx= (x1;x2;xn)T2IRn(vecteur colonne). Etape 2.Décrirel"étatdu système, étant donnée une configuration des variables de décision. Ceci revient mathématiquement à se donner une fonctionJ:IRn!IRqui s"appellefonction objectifoufonction coûtet que nous voulons rendre la plus petite possible ou la plus grande possible. Etape 3.Décrire lescontraintesque les variables de décision satisfont. Ceci revient à définir un ensemble de contraintesUIRnet imposer d"avoirx2U. Pour résumer on peut dire que pour décrire un problème d"optimisation on se donne